www.etude-generale.com Première Spé Matière : Mathématiques
Professeur : Yahya MATIOUI
Le produit scalaire (Partie 02)
Produit scalaire et orthogonalité
Vecteurs orthogonaux
Propriété 1 Soient !u et !v deux vecteurs non nuls.
Les vecteurs !u et !v sont orthogonaux si et seulement si !u :!v = 0:
Projection orthogonale
Dé…nition 2 .
La projection d’un point M sur une droite (D) parallèlement à une droite orthogonale ( ) s’appelle la projection orthogonale sur ( ):
Équation d’un cercle dé…nie par son diamètre
Propriété 3 On considère deux points A et B du plan. Le cercle (C) de diamètre [AB] est l’ensemble des points M du plan tels que M A:!M B!= 0:
Démonstration 4 Soit M(x; y) un point du plan.
M(x; y) (C) () M =A ou M =B ou AM B est un triangle rectangle en M:
() M A:!M B!= 0:
Exemple 5 Déterminons une équation du cercle (C) de diamètre [AB] tel que A(1;3) et B( 1;1):
Soit M(x; y) un point du plan.
M(x; y) (C) () AM :!BM!= 0
() (x 1) (x+ 1) + (y 3) (y 1) = 0 () x2 +y2 4y+ 2 = 0:
1
Produit scalaire dans un repère orthonormé
Le plan est muni d’un repère orthonormé O;!i ;!j :
Propriété 6 Soit !u (x; y) et !v (x0; y0) deux vecteurs du plan, on a
!u :!v =x:x0+y:y0:
Démonstration 7 Soit !u =x!i +y!j et !v =x0!i +y0!j : Alors
!u :!v = x!i +y!j x0!i +y0!j
= xx0!i !i +xy0!i !j +yx0!j !i +yy0!j !j
= xx0 !i 2+xy0!i !j +yx0!j !i +yy0 !j 2
= xx0+yy0
Exemple 8 Dans un repère orthonormé O;!i ;!j , !u (6;3); !v (3; 1) et !w ( 2;2): Calculer !u :!v ; !u :!w et !v :!w :
!u :!v = 6 3 + 3 ( 1) = 15:
!u :!w = 6 ( 2) + 3 2 = 6:
!v :!w = 3 ( 2) + ( 1) 2 = 8:
FIN
Pr : Yahya MATIOUI
www:etude generale:com
2
