Utilisation des ordinateurs dans les calculs sur les idéaux des corps de nombres algébriques

Astérisque

R ^ENÉ S ^MADJA

Utilisation des ordinateurs dans les calculs sur les idéaux des corps de nombres algébriques

Astérisque, tome 41-42 (1977), p. 277-282

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© Société mathématique de France, 1977, tous droits réservés.

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UTILISATION DES ORDINATEURS DANS LES CALCULS SUR LES IDEAUX D E S CORPS DE NOMBRES ALGEBRIQUES

par René SMADJA

Cet exposé est la description de représentations matricielles des éléments et des idéaux d'une extension finie quelconque K de © et de méthodes permettant d'effectuer les calculs arithmétiques dans les ordres de K . Ces représentations ont abouti pour 1'instant à des tables donnant les groupes de classes ; les procédés décrits peuvent se révéler utiles dans tous les calculs faisant intervenir les idéaux des corps de nombres et la recherche d'éléments appartenant à une partie b o r n é e d'un réseau de Rn .

Les démonstrations et les tables numériques se trouvent dans [l] .

1. N O T A T I O N S . Le corps K = Q( e ) est donné par le polynôme m i n i m a l de e,F(X) = Xⁿ +. . . . O n fixe un plongement de K dans <Cn en c h o i ­ sissant un ordre Q^t • • • tQ sur les racines de F ; on note s le nombre des racines réelles et 2t le nombre des racines imaginaires.

L'objet A étudié est un ordre de K , c'est-à-dire un réseau de rang n qui est un sous-anneau de l'anneau des entiers A ^ de K .

R. S M AD JA

L'ensemble des m a t r i c e s à i lignes et j colonnes à coefficients dans l'ensemble X est noté M. .(X) .

2. R E P R E S E N T A T I O N D E S ELEMENTS D E A . L'anneau A est donné p a r une Z-base 3= (a , ,...,a ) c'est-à-dire p a r une m a t r i c e inversible

n-1 o

B € Mn n(<C) représentant les coordonnées du système (a n_ i ' • • • 'a 0) sur la b a s e canonique de <Cn .

Tout élément £ de A est représenté p a r

- la m a t r i c e £_ C M _(Z) de ses coordonnées sur S ; n, 1

- la m a t r i c e £ ^ € Mn ^(Œ) de ses coordonnées sur la b a s e canonique de <Cn .

Le p a s s a g e d'une forme à l'autre se fait p a r m u l t i p l i c a t i o n p a r B o u B ~ ^ . U n e m a t r i c e M de M ^ -^(C) représente un élément de A si et seulement si B'^.M est à coefficients dans Z . Cela permet de d é t e r - m i n e r si un corps K' est contenu dans K (K¹ c= K < > 0' € A ^ ) et en p a r t i c u l i e r d'énumérer les p e r m u t a t i o n s a de ( 5n représentant les © - a u t o m o r p h i s m e s de K dans <C laissant K invariant (groupe de Galois si K est g a l o i s i e n ) .

3. BASE D ' E N T I E R S . Lorsque K est de degré trois o u lorsque le d i s c r i m i n a n t D de F n'est p a s divisible p a r u n e p u i s s a n c e q u a t r i è m e , il suffit de résoudre d e s systèmes de congruences à u n e variable p o u r o b t e n i r u n e Z-base 3 = (a , , . .., a ) de A - . .

n-l o T\

D a n s le cas g é n é r a l , on obtient une telle b a s e de en cherchant a. sous la forme z^-1 , où a,...,b,c sont des entiers

1 c

n a t u r e l s inférieurs à D . La représentation complexe permet d ' e f f e c - tuer simplement sommes et p r o d u i t s donc de trouver le p o l y n ô m e m i n i m a l de tout élément de K : on choisit p o u r ou un tel élément entier de d é n o m i n a t e u r maximum.

Ceci ne nécessite qu'un nombre fini d ' o p é r a t i o n s .

4. REPRÉSENTATION DES IDEAUX DE A . Soit J = Z + . . .+ £ Z un

1 P

idéal de A . L'idéal J est représenté par

- la m a t r i c e J £ M (Z) du système ( £, , ) sur <8 ; 2i n / p x p

- la matrice € Mn de ce système sur la b a s e canonique de <Cn . Le p a s s a g e d'une forme à l'autre se fait par multiplication à gauche

-1 par B ou B

Les représentations complexes permettent d'effectuer simplement les produits d'idéaux ; les représentations entières permettent de comparer les idéaux :

Proposition 1. Parmi toutes les matrices entières associées à J , il y en a une et une seule qui est triangulaire inférieure (d'ordre n) à coefficients positifs ou nuls, tels que sur chaque ligne le c o e f f i - cient diagonal soit majorant strict.

Cette forme peut être obtenue à partir de n'importe quelle r e p r é - sentation entière de J au moyen d'un nombre fini d'opérations élémen- taires sur les c o l o n n e s .

Cette matrice, canoniquement associée à J une fois $ choisie, est notée J_

Zcan

Proposition 2. L'indice de J dans A est le produit des facteurs diagonaux de J^can • a 0 = ' le dernier facteur diagonal est le générateur positif de J n Z . Si A = Z[ e ] , les facteurs diagonaux sont les facteurs invariants de J dans A .

5. LA METHODE DE REDUCTION C O N T I N U E L L E . A tout élément s+t

a = ( a ^ , . . . , ag + t) de R+ , on associe une norme sur K , définie par

= sup (a U i D •

a i=l 1 1

Soit J un idéal primitif (c'est-à-dire sans facteur rationnel) de A ; notons J n Z = m Z . L'idéal J est dit réduit (pour la norme

R. SMADJA

a ) si || c|| a > I M L P o u r tout l £ J - | o ) . cl a.

P r o p o s i t i o n 3. Si J est réduit pour a , il est réduit p o u r 1 = (1,...,1) . Il n'y a qu'un nombre fini d'idéaux r é d u i t s .

P r o p o s i t i o n 4. Tout idéal est équivalent à un idéal réduit. On peut t r o u v e r tous les idéaux réduits équivalents à un idéal J donné en résolvant un nombre fini de systèmes d'inéquations à inconnues e n t i è r e s .

Indications sur la d é m o n s t r a t i o n :

Si J n'est pas réduit, soit a un élément de J - { o } m i n i m a l

NK / Q(a)

p o u r la norme 1 ; l'idéal p r i m i t i f J déduit de J' = — " J est

•K a réduit ; supposons donc J réduit.

Le cône {a GR++t| J réduit p o u r a } s'appuie sur un polygone dont les sommets se déduisent d'éléments de J dont tous les conjugués sont b o r n é s ; chacun de ces sommets conduit à un idéal réduit équivalent à J ; en d é t e r m i n a n t les cônes ainsi associés aux idéaux réduits obtenus de p r o c h e en p r o c h e , on obtient tous les idéaux réduits équivalents à J .

6. SYSTÈMES D ' I N E Q U A T I O N S . Soient J un idéal de A , m1#. . .fmg+t

des nombres réels p o s i t i f s . Pour énumérer les éléments £ de J tels que J£.J 4 p o u r i = l,...,s+t , on plonge K dans Rn et on cherche les éléments Ç de J tels que la partie réelle et la p a r t i e i m a g i n a i r e de ^ soient comprises entre -ITK et ITK .

M a t r i c i e l l e m e n t , le p r o b l è m e se déduit du suivant : Soient A C M (R) une m a t r i c e de rang p = n + l - j , et

n, p

P ï

B,C C M i( R ) . Trouver toutes les m a t r i c e s X = * G M ,(Z) n,l l • / n,l

^ x ' n telles que B < A . X C .

On résout un tel système en encadrant chacune des v a r i a b l e s x ^ s u c c e s s i v e m e n t compte tenu des valeurs prises par les p r é c é d e n t e s . On décompose tout d'abord ce système en systèmes p a r t i e l s B ' ^ A ' . X ^ C¹

correspondant à des m a t r i c e s principales carrées A1 ; le calcul de A ' "1 permet de déduire de l'encadrement de A * . X un encadrement de X et en p a r t i c u l i e r de x.. ; on regroupe les encadrements ainsi obtenus et on fait varier x^ entre ces b o r n e s . Pour chaque valeur de x^ , on a à résoudre un système analogue en X j^{+ 1}, . . . , xn ., auquel on applique le m ê m e p r o c é d é .

7. CALCUL DU G R O U P E DES C L A S S E S . La méthode décrite dans la p r o p o - sition 4 permet d'associer à tout idéal J un idéal réduit JR ; elle permet également d'obtenir tous les idéaux réduits p r i n c i p a u x de A à p a r t i r de l'idéal réduit A . Les procédés décrits au paragraphe 4 indiquent comment faire des produits et des comparaisons d'idéaux.

Soit E un ensemble totalement ordonné d'idéaux engendrant toutes les classes (par exemple les idéaux premiers de degré inférieur ou égal à ^ et de norme inférieure à la constante de M i n k o w s k i ) . On construit à p a r t i r de E une suite de composition à quotients cycliques du groupe des classes :

Soit G = { lfc l ( P ^ )#. . . / C l ( P ^ ) } un sous-groupe du groupe des classes (construit avec une partie de E) et P l'élément suivant de E . On calcule tout d'abord PR , ( P . P ^ )R, .. ., ( P . P ^ )R .; si aucun de ces idéaux réduits n'est p r i n c i p a l , la classe de P n'est pas dans G .

A 2 3

On fait les mêmes calculs en remplaçant P par P puis P ,...

jusqu'à trouver une p u i s s a n c e de P dont la classe est dans G . On remplace alors G par le groupe < G , P > ainsi obtenu et on c o n t i n u e .

Le groupe des classes est obtenu lorsque E est épuisé ou lorsque le nombre de classes est suffisant (dans le cas où celui-ci est connu p a r a i l l e u r s ) .

8. U N I T E S . En effectuant les produits des facteurs permettant de p a s s e r d'un idéal réduit à un idéal réduit voisin, on peut obtenir un

R. S M AD J A

système générateur du groupe des unités ; p o u r les corps quadratiques et cubiques, on aboutit directement à un système d'unités f o n d a m e n t a l e s .

9. RESULTATS A C T U E L S . Un programme utilisant ces p r o c é d é s a été écrit dans le cas général et utilisé sur de nombreux corps de degré trois et quatre pour obtenir une b a s e d'entiers, le groupe de Galois et le groupe des classes ; la durée des calculs est très r a i s o n n a b l e .

1 0 . G É N É R A L I S A T I O N S . L'anneau Z peut être remplacé p a r tout anneau euclidien dans lequel on connaît un système de représentants m o d u l o les u n i t é s . Le corps (C peut être remplacé par un corps quelconque, p o u r v u que l'on sache y faire travailler un ordinateur, <C(X^, . . . , Xm) p a r exemple.

BIBLIOGRAPHIE

[l] René SMADJA.- Calculs effectifs sur les idéaux des corps de nombres algébriques. Département de mathématiques-informatique

Luminy (Mars 1976)

René SMADJA

Département de m a t h é m a t i q u e s - informatique de L u m i n y

Laboratoire de m a t h é m a t i q u e s pures a s s o c i é au C . N . R . S .

70, route Léon L a c h a m p 13288 MARSEILLE C E D E X 2