Nom :
Classe : 2nde 4 DS n°1
le 26/09/2019 Note :
… / 20
Evaluation des capacités Non Oui Avoir une bonne connaissance du cours (vocabulaire, définitions, propriétés et remarques)
Savoir refaire la démonstration d'une propriété travaillée en classe.
Réussir convenablement des exercices déjà travaillés en classe.
Calculer.
Déterminer le plus petit ensemble auquel appartiennent des nombres.
Simplifier des décompositions.
Ecrire des nombres en notations scientifiques.
Résoudre un problème.
Exercice bonus : Démontrer / Justifier si une proposition est vraie ou fausse.
Contrôle de la connaissance du cours : Compléter les extraits du cours suivants. … / 5,5 1. a) a est un multiple de b si et seulement si le ……… de la division euclidienne de … par … vaut …
b) Un nombre entier est divisible par 3 si ………
………
c) Un nombre premier est un entier naturel qui ………
………
d) Soit a un nombre entier relatif.
▪ a est pair si et seulement s'il existe un entier relatif q tel que …………
▪ a est impair si et seulement s'il existe un entier relatif q tel que …………
2. Tout nombre irrationnel peut s'écrire sous une forme irréductible unique … où p et q sont des entiers relatifs tels que … ≠ 0 et ………(p;q) = 1.
3. a) Soient a un nombre réel et n un entier naturel.
• Si n > 0 alors =
• Si a ≠ 0 alors =
• Si a ≠ 0 alors =
b) Soient a et b deux nombres réels non nuls. Soient n et m deux entiers relatifs.
• × = • = • ( ) = • × =
Exercice contrôlé n°1 : Soit a un nombre entier relatif. … / 1,5
Démontrer que la somme de deux multiples de a est un multiple de a.
Exercice contrôlé n°2 : Soit la fonction définie pour tout nombre réel par : … / 1 =
Calculer en détaillant les étapes du calcul.
am am
a-n an
a0
an am am n bm
an
f x
f(x) 4(-6x¡2)2 ¡3(x+ 3)3 f(-2)
Exercice contrôlé n°3 : … / 2 1. Décomposer en produits de facteurs premiers puis réduire.
a) = ………
b) = ………
2. Donner la forme irréductible du nombre rationnel suivant en décomposant le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers.
= ………
Exercice n°4 : … / 4,5
Donner le plus petit ensemble (parmi N, Z, D, Q et R) auquel appartiennent les nombres suivants. Justifier.
A = B = C = D = E = F = G =
Exercice n°5 : Simplifier les décompositions suivantes. … / 2
A = B =
Exercice n°6 : Donner l'écriture scientifique des nombres suivants. … / 1,5
A = B = C =
Exercice n°7 : Résolution d'un problème. … / 2
Dans des conditions normales de pression et de température, une molécule d'hydrogène pèse unité de masse atomique. Une unité de masse atomique représente kg. Dans un litre d'hydrogène il y a molécules. Quelle est la masse d'un litre d'hydrogène au milligramme près ?
Exercice Bonus : + … / 2
1. Démontrer que la somme de deux entiers impairs est toujours un nombre pair.
2. La proposition suivante est elle vraie ou fausse ? Justifier.
« Le carré d'un nombre pair peut être un nombre impair ».
40 54
126 24
4¼ 8¼
7 3 ¡ -2
3 (p
7)2¡1 -3
2(11¡3)
5 3
3 2p
2
27£10-5£310 10-9£25£37
(2ab)3£b-5 b-8£8a2
1,008 1,660 538 922£10-27
5,38£1022
2 3 ¡1 2 3 + 1
232 0,958 7 135,4£10-5
Correction du DS n°1
Contrôle de la connaissance du cours :
1. a) a est un multiple de b si et seulement si le reste de la division euclidienne de a par b vaut 0.
b) Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
c) Un nombre premier est un entier naturel qui possède exactement deux diviseurs distincts positifs : 1 et lui-même.
d) Soit a un nombre entier relatif.
▪ a est pair si et seulement s'il existe un entier relatif q tel que a =
▪ a est impair si et seulement s'il existe un entier relatif q tel que a =
2. Tout nombre irrationnel peut s'écrire sous une forme irréductible unique où p et q sont des entiers relatifs tels que q ≠ 0 et PGCD(p;q) = 1.
3. a) Soient a un nombre réel et n un entier naturel.
• Si n > 0 alors = a × a × a × … × a
• Si a ≠ 0 alors = 1
• Si a ≠ 0 alors =
b) Soient a et b deux nombres réels non nuls. Soient n et m deux entiers relatifs.
• × = • = • ( ) = • × =
Exercice contrôlé n°1 : Soit a un nombre entier relatif.
Démontrer que la somme de deux multiples de a est un multiple de a.
Soit un multiple de . Alors il existe un entier relatif tel que = Soit un autre multiple de . Alors il existe un entier relatif tel que =
= + =
Puisque et sont des entiers relatifs alors + est aussi un entier relatif. Ainsi est un multiple de . Exercice contrôlé n°2 : Soit la fonction définie pour tout nombre réel par :
= Calculer en détaillant les étapes du calcul.
= = = = =
Exercice contrôlé n°3 :
1. Décomposer en produits de facteurs premiers puis réduire.
a) = = =
b) = = =
2. Donner la forme irréductible du nombre rationnel suivant en décomposant le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers.
= = = = = =
an a0
a-n
am an a
m
an am n am bm
f x
f(x) 4(-6x¡2)2 ¡3(x+ 3)3 f(-2)
40 54
126 24
2q
2q+ 1
p q
n fois
1 an
am+n am¡n am£n (a£b)m
q£a b
q a
b
a
c q0 c q0£a
b+c q£a q0£a (q+q0)£a
q q0 q q0 b+c a
f(-2) 4(-6£(-2)¡2)2¡3(-2 + 3)3 4(12¡2)2¡3£13 4£102¡3 400¡3 397
5£8 5£2£2£2 23£5 6£9 2£3£3£3 2£33
2£63 2£12
2£3£21 2£4£3
2£3£21 2£2£2£3
21 4 2£3£3£7
2£2£2£3
3£7 2£2
Exercice n°4 : Donner le plus petit ensemble auquel appartiennent les nombres suivants. Justifier.
A = = = = ∈ D car = B = = = = ∈ N
C = = = = ∈ Z D = = = ∈ N
E = = = = = = ∈ D car =
F = = = = ∈ Q car la division décimale de par ne s'arrête jamais.
G = ∈ R car ne pouvant s'écrire sous forme d'une fraction, son double non plus.
G est donc un nombre irrationnel.
Exercice n°5 : Simplifier les décompositions suivantes.
A = = = =
A = =
B = = = = = =
Exercice n°6 : Donner l'écriture scientifique des nombres suivants.
A = = B = =
C = = =
Exercice n°7 : Résolution d'un problème.
Dans des conditions normales de pression et de température, une molécule d'hydrogène pèse unité de masse atomique. Une unité de masse atomique représente kg. Dans un litre d'hydrogène il y a molécules. Quelle est la masse d'un litre d'hydrogène au milligramme près ?
On multiplie le nombre de molécules d'hydrogène contenues dans litre par la masse de chacune.
M = =
M = kg
En multipliant la masse M en kg par = , on obtient la masse en grammes :
M = g ≈ g
On en déduit, en multipliant de nouveau par , que la masse d'un litre d'hydrogène est d'environ mg.
Exercice Bonus :
1. Démontrer que la somme de deux entiers impairs est toujours un nombre pair.
Si et sont deux nombres entiers impairs alors il existe deux entiers relatifs et tels que : = et : =
Dans ce cas : = = =
Puisque et sont des entiers relatifs alors est aussi un entier relatif. Ainsi est pair.
2. La proposition suivante est elle vraie ou fausse ? Justifier.
« Le carré d'un nombre pair peut être un nombre impair ».
Si est un nombre pair alors il existe un entier relatif tel que = Dans ce cas : = = =
Puisque est un entier relatif alors est aussi un entier relatif. Ainsi est pair.
La proposition est donc fausse. Le carré d'un nombre pair est toujours un nombre pair.
4¼ 8¼
7 3 ¡ -2
3 -3
2(11¡3) (p
7)2¡1 2
3 ¡1 2 3 + 1 5 3 3 2p
2
27£10-5£310 10-9£25£37
(2ab)3£b-5 b-8£8a2
1,008 1,660 538 922£10-27
5,38£1022 4 8
1
2 0,5 7
3 + 2 3
9 3 3 -3
2 £8 -24
2 -12 7¡1 6
2 3¡ 3 2 3
3+ 3 3
-1 35
3 -1
3 ¥ 5 3
-1 3 £ 3
5 -1
5
5
3 ¥3 5 3 £1
3 5
9 5 9
p2
27¡5£10-5+9£310¡7 22£104£33 22£(2£5)4£33 22£24£54£33 26£33£54
23£a3£b3£b-5 b-8£8a2
8£a3£b3¡5
8£a2£b-8 a3¡2£b3¡5+8 a1£b6 a£b6
2,32£102 0,958 9,58£10-1 232
7,1 354£10-2 7,1 354£103£10-5
7 135,4£10-5
5,38£1022£1,008£1,660 538 922£10-27 5,38£1,008£1,660 538 922£1022¡27 9,005 169£10-5
1
1 000 103 9,005 169£10-2 0,090
90
a q
q q0
b q0
a 2q+ 1 b 2q0+ 1 a+b 2q+ 1 + 2q0+ 1 2q+ 2q0+ 2 2(q+q0+ 1)
q+q0+ 1 a+b
a q a
q
2q a2 (2q)2 4q2 2£(2q2)
2q2 a2
0,5 5 10
-2 10 -1
5
103
