Nom :
Classe : 2nde 4 DS n°3
le 10/12/2019 Note :
… / 20
Evaluation des capacités Non Oui Avoir une bonne connaissance du cours (vocabulaire, définitions, propriétés et remarques)
Réussir convenablement des exercices déjà travaillés en classe.
Calculer avec des valeurs absolues.
Calculer la distance entre deux réels.
Simplifier / Calculer avec des racines carrées.
Communiquer (à l'écrit) et résoudre un problème concret.
Contrôle de la connaissance du cours : Compléter les extraits du cours suivants. … / 3,5 1. Soient x, a et b trois nombres réels tels que a < b.
Un intervalle I, délimité par deux extrémités a et b appelées respectivement ………
et ……… , est l'ensemble de tous les réels x compris entre a et b.
On dit que [a ; b ] est un intervalle ……… et que ]a ; b [ est un intervalle ………
L'ensemble R des nombres réels est assimilable à l'intervalle ………
2. Soient un réel et n un nombre entier naturel.
Il existe un unique nombre entier relatif a tel que : … < ………
Cet encadrement est appelé l'encadrement décimal de à près.
3. a) La valeur absolue d'un nombre réel est le réel positif noté | | et défini par :
▪ si ≥ 0 alors |x | = …
▪ si < 0 alors |x | = …
b) La distance entre les points A et B est définie par AB = ………
c) Soit et deux réels quelconques.
L'intervalle [ – ; + ] est l'ensemble des réels tels que ………
Exercices contrôlés : … / 6,5
1. Le volume d'une boule de rayon r est donné par la formule v = .
a) Ecrire une fonction en python qui calcule le volume d'une boule, son rayon étant mis en paramètre.
b) La lune est assimilable à une boule de rayon km. Calculer son volume, à l'unité près.
2. Pour tout nombre réel on pose = .
Le nombre a-t-il des antécédents par la fonction ? Si oui, lesquels ?
3. L'unité de mesure de température utilisée aux USA est le degré Fahrenheit (°F).
La relation = permet de convertir une température donnée en degré Celsius en une température exprimée en degré Fahrenheit.
Déterminer la relation qui permet de calculer en fonction de .
4. Soit un nombre réel tel que ≤ . Justifier si l'affirmation suivante est vraie ou fausse.
- ∈ ]-∞ ; - ]
5. a) A l'aide de la calculatrice donner l'encadrement décimal de à près.
b) En déduire un encadrement de - .
c) Expliquer pourquoi l'encadrement obtenu n'est pas l'encadrement décimal de - à près ? 6. Déterminer l'ensemble des valeurs de vérifiant l'inégalité donnée.
a) | | ≤ b) | | ≤
4 3¼r3
r
x f(x) 4(2x¡3)2+ 15
15 f
1 737
f 1,8c+ 32 c
f
c f
x x 5
1
2x+ 1 1,5 10-n
a
a a
r
r r x
x x
x x
x x x
¼ 10-3
4¼¡7 10-3 4¼¡7
x x¡ 12 14 x+ 23 16
a 10n
Exercice n°2 : Calculer (en justifiant par des étapes de calculs ou de raisonnement). … / 3 A = | | – |- | B = | | C = | | D = |- | (| | – |- |)
Exercice n°3 : … / 1,5
Soient et deux réels. On note ( ; ) la distance entre les nombres et . Calculer les distances suivantes (en détaillant les étapes de calculs) :
a) ( ; ) b) ( ; ) c) ( ; )
Exercice n°4 : Simplifier (en détaillant les étapes de calculs). … / 4
A = B = C = D =
Exercice n°5 : Communiquer (à l'écrit) et résoudre un problème. … / 1,5
Un cylindre a pour rayon 5 cm et pour hauteur 14 cm.
Une boule a pour rayon 5 cm.
Quelle hauteur d'eau maximum , en cm, le cylindre doit-il contenir pour que, en plongeant la boule dans ce récipient, l'eau ne déborde pas ? Indications : La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur.
On rappelle la formule de calcul du volume v d'un cylindre de rayon et de hauteur :
v =
Ainsi que la formule de calcul du volume v d'une boule de rayon : v =
11¡19 14 + 1 p
3¡p
2 ¼¡4 5 £ ¼ ¼
a b d
a b a b
d -3 4 d p
8 2p 2
p32£p
50 pp
144 3p
45 +p
180 2p
15
3 £ -7p p 3
35
14 cm
h
h
c r
h
c ¼r2h
b r
b
4 3¼r3 d -6 -7
Correction du DS n°3
Contrôle de la connaissance du cours : Compléter les extraits du cours suivants.
1. Soient x, a et b trois nombres réels tels que a < b.
Un intervalle I, délimité par deux extrémités a et b appelées respectivement borne inférieure et borne supérieure, est l'ensemble de tous les réels x compris entre a et b.
On dit que [a ; b ] est un intervalle fermé et que ]a ; b [ est un intervalle ouvert.
L'ensemble R des nombres réels est assimilable à l'intervalle ]-∞ ; +∞ [.
2. Soient un réel et n un nombre entier naturel.
Il existe un unique nombre entier relatif tel que : ≤ < . Cet encadrement est appelé l'encadrement décimal de à près.
3. a) La valeur absolue d'un nombre réel est le réel positif noté | | et défini par :
▪ si ≥ 0 alors |x | =
▪ si < 0 alors |x | = -
b) La distance entre les points A et B est définie par AB = | | c) Soit et deux réels quelconques.
L'intervalle [ – ; + ] est l'ensemble des réels tels que | | ≤ . Exercices contrôlés :
1. Le volume d'une boule de rayon r est donné par la formule v = .
a) Ecrire une fonction en python qui calcule le volume d'une boule, son rayon étant mis en paramètre.
b) La lune est assimilable à une boule de rayon km. Calculer son volume, à l'unité près.
v = = ≈ 21 952 706 175 km
2. Pour tout nombre réel on pose = .
Le nombre a-t-il des antécédents par la fonction ? Si oui, lesquels ? On résout =
= = = = = = =
Ainsi, le nombre a un seul antécédent par la fonction . Il s'agit du nombre . 3. L'unité de mesure de température utilisée aux USA est le degré Fahrenheit (°F).
La relation = permet de convertir une température donnée en degré Celsius en une température exprimée en degré Fahrenheit.
Déterminer la relation qui permet de calculer en fonction de .
= ⇔ = ⇔ =
x
x x 10-n
x x
x x
a r
a r a r x
4 3¼r3
r
1 737
x f(x) 4(2x¡3)2+ 15
15 f
f 1,8c+ 32 c
f
c f
a 10n
a+ 1 10n a
x x
xB¡xA
r x¡a
4
3¼r3 4
3¼£1 7373 3
4(2x¡3)2+ 15 15 0 4(2x¡3)2 (2x¡3)2 0
4 (2x¡3)2 0
0 2x¡3 2x 3 x 3
2
15 f 3
2 f(x) 15
f 1,8c+ 32 1,8c f ¡32 c f ¡32 1,8
4. Soit un nombre réel tel que ≤ . Justifier si l'affirmation suivante est vraie ou fausse.
- ∈ ]-∞ ; - ] Si ≤
Alors - ≥ - car - <
Donc : - ≥ - - ≥ - - ≥ - - ≥ -
Autrement dit : - ∈ [- ; +∞[. Ainsi, l'affirmation - ∈ ]-∞ ; - ] est fausse.
5. a) A l'aide de la calculatrice donner l'encadrement décimal de à près.
≤ <
b) En déduire un encadrement de - . ≤ <
En multipliant chaque membre de l'encadrement par - < on obtient : ≥ >
≥ >
< ≤ En retranchant à chaque membre de l'encadrement on obtient :
< - ≤ < - ≤
c) Expliquer pourquoi l'encadrement obtenu n'est pas l'encadrement décimal de - à près ?
On a : < - ≤
L'amplitude de l'encadrement est : = = >
Donc l'encadrement obtenu n'est pas l'encadrement décimal de - à . 6. Déterminer l'ensemble des valeurs de vérifiant l'inégalité donnée.
a) | | ≤ b) | | ≤
a) Si | | ≤ Alors | | ≤ avec = et =
On en déduit : ∈ [ – ; + ] = [ – ; + ] = [ – ; + ] = [ ; ] b) Si | | ≤ Alors | | ≤ avec = et =
On en déduit : ∈ [ – ; + ] = [ – ; + ] = [ – ; + ] = [ ; ] = [ ; ] Exercice n°2 : Calculer (en justifiant par des étapes de calculs ou de raisonnement).
A = | | – |- |
A = | | – |- |
A = =
B = | |
On sait que : donc : >
Donc : B =
C = | | On sait que : ≈ Donc <
C = -( ) =
D = |- | (| | – |- |)
D = ( )
D = =
Exercice n°3 :
Soient et deux réels. On note ( ; ) la distance entre les nombres et . Calculer les distances suivantes (en détaillant les étapes de calculs) :
a) ( ; ) = | |
( ; ) = | | = | | =
b) ( ; ) = | |
( ; ) = | | = | | =
c) ( ; )
= =
( ; ) = | | =
x x 5
1
2x+ 1 1,5
¼ 10-3
4¼¡7
4¼¡7 10-3
x x¡ 12 14 x+ 23 16
a b d a b a b
x 5 1 2x 1
2 £5 1
2 0 5
2 + 1 1
2x+ 1 1
2x+ 1 5 2 + 2 1 2
2x+ 1 3 1 2
2x+ 1 1,5 1
2x+ 1 1,5 1
2x+ 1 1,5
¼
3,141 3,142
3,141 ¼ 3,142
4 0
-4£3,141 -4£3,142 -12,564 -12,568
-4¼ -4¼ -4¼
-12,568 -12,564 7
4¼¡7
-12,568¡7 -12,564¡7 4¼¡7
-19,568 -19,564
-19,568 4¼¡7 -19,564
-19,564¡(-19,568) -19,564 + 19,568 0,004 10-3 4¼¡7 10-3
x¡12 14 x¡a r a 12 r 14 a r a r
x 12 14 12 14 24 14 24 14 14 34
x a r a r
x¡a r a r
x+ 2 3
1
6
-
23 16-
23 16-
23 16-
46 16-
46 16-
56-
36-
56-
1211¡19 14 + 1 p 3¡p
2 ¼¡4 5 £ ¼ ¼
-8 13
8¡13 -5
p3>p p 2
3¡p p 2
3¡p 2
3,14
¼
¼¡4 0 0
¼¡4 4¡¼
¼¡¼ 5£
5 £0 0
d -3 4 d d p
8 2p 4¡(-3) 2
4 + 3
d -3 4 7 7 d 1
-6 -7 -7 -6
-7¡(-6)
-7 + 6 -1 p
8 p 4£p
2 2p 2 d p
8 2p
2 2p
2¡2p 2 0
Exercice n°4 : Simplifier (en détaillant les étapes de calculs).
A = A = A =
A = =
B = B = B = B =
C = C = C = C = C =
D = D = D = D = D = D =
D = =
Exercice n°5 : Communiquer (à l'écrit) et résoudre un problème.
Un cylindre a pour rayon 5 cm et pour hauteur 14 cm.
Une boule a pour rayon 5 cm.
Quelle hauteur d'eau maximum , en cm, le cylindre doit-il contenir pour que, en plongeant la boule dans ce récipient, l'eau ne déborde pas ? Indications : La figure ci-contre n'est pas en vraie grandeur.
On rappelle la formule de calcul du volume v d'un cylindre de rayon et de hauteur :
v =
Ainsi que la formule de calcul du volume v d'une boule de rayon : v =
Le volume du cylindre de rayon cm et de hauteur cm est : v = = = cm
Le volume d'eau contenue dans le cylindre est : v = = = cm
Le volume de la boule est :
v = = = = cm
En plongeant la boule dans le cylindre, l'eau ne débordera pas si et seulement si v + v ≤ v On résout l'inéquation : + ≤
≤ ≤
En multipliant membre à membre par > on obtient : ≤ En divisant membre à membre par > on obtient : ≤
On en déduit : ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ Ainsi, la hauteur maximale de l'eau doit être de cm, soit environ cm.
h
c r
h
c ¼r2h
b r
b
4 3¼r3
14 cm
h p32£p
50 pp
144 3p
45 +p
180 2p
15
3 £ -7p p 3 p 35
16p 2p
25p 2 4£5£(p
2)2 20£2 40
p12 p4£p
3 2p
3
3p 9p
5 +p 36p
5 3£3p
5 + 6p 5 9p
5 + 6p 5 15p
5
2p 3p
5£(-7)p 3 3p
7p 5 -14 (p
3)2 3p
7 -14£3
3p 7 -14p
7 -14p
7 (p
7)2 -14p
7
7 -2p 7
c ¼r2h
5 14
14£52£¼ 350¼ 3
¼r2h 3
e 52£h£¼ 25h¼
b 3
4
3¼r3 4£125
3 ¼
4
3¼£53
e b c
25h¼ 350¼
350¼
350¼ 3 0
¼ 0 1 050
75h 75h h h
500 3 ¼
500 3 ¼ 75h¼
3 + 500¼ 3 (75h+ 500)¼
3
(75h+ 500)¼ 3£350¼ 75h+ 500
1 050¡500 550 550
75
22 22 3
3 7,3
