On suppose que l’´equation : (P) −u00(x)−b(x)u0(x) +g0(u(x)) =f(x) dans ]0,1[, u(0) =u(1

Facult´e des Sciences et Techniques - TOURS Ann´ee 2015-2016 Module Analyse Num´erique & Optimisation

EXAMEN (Dur´ee 2h)

Soit g :IR→IRune fonction de classe C^∞. On suppose qu’il existe α, β >0 tels que : α≤g⁰⁰(t)≤β pour tous t∈IR .

0. Montrer que, pour toust, s∈IR :

g(t)≥g(s) +g⁰(s)(t−s) + 1

2α(t−s)² .

Cette ´egalit´e pourra ´evidemment ˆetre utilis´ee mˆeme si cette question n’est pas r´esolue.

Soient b etf des fonctions continues de [0,1] dansIR. On suppose que l’´equation : (P) −u⁰⁰(x)−b(x)u⁰(x) +g⁰(u(x)) =f(x) dans ]0,1[, u(0) =u(1) = 0.

a au moins une solution dans C²([0,1]).

1. Soient v₁, v₂ : [0,1] → IR deux fonctions continues qui sont de classe C² dans ]0,1[ et qui satisfont :

−v₁⁰⁰(x)−b(x)v⁰₁(x) +g⁰(v₁(x))≤f₁(x) dans ]0,1[,

−v₂⁰⁰(x)−b(x)v⁰₂(x) +g⁰(v2(x))≥f2(x) dans ]0,1[, v₁(0)≤v₂(0) , v₁(1)≤v₂(1) ,

o`uf₁, f₂ ∈C([0,1]). Prouver que :

x∈[0,1]max(v₁(x)−v₂(x))≤ 1

αmax(f₁−f₂)⁺(x), o`u l’on rappelle que t⁺ = max(t,0).

2. En d´eduire que le probl`eme (P) n’admet qu’une seule solution de classe C² qui satisfait de plus :

||u||∞ ≤ 1

α||f||∞ , si g⁰(0) = 0. Montrer queu∈C⁴([0,1]) si b, f ∈C²([0,1]).

3. On consid`ere, surC₀¹([0,1]), la fonctionnelle : J(v) =

Z 1 0

1

2a(t)|v⁰(t)|²+a(t)g(v(t))

dt−

Z 1 0

a(t)f(t)v(t)dt ,

o`ua est une fonction strictement positive qui est au moins de classeC¹ sur [0,1]. Prouver que, pour un bon choix de a, la solution u de (P) est l’unique point de minimum de J (on pourra montrer que, pour un bon choix de a, J(u+h) ≥ J(u) pour toute fonction h ∈ C₀¹([0,1]) et que cette in´egalit´e est stricte si h n’est pas la fonction nulle).

4.Pour calculer la solution de (P) de mani`ere approch´ee, on consid`ere les sch´emas num´eriques : (S1) −u_j+1+u_j−1−2u_j

(∆x)² −b(xj)(u_j+1−u_j

∆x ) +g⁰(uj) =f(xj) (S2) −u_j+1+uj−1−2u_j

(∆x)² −b(x_j)(u_j+1−uj−1

2∆x ) +g⁰(u_j) =f(x_j)

pour 1 ≤ j ≤ N, o`u x<sub>j</sub> = j∆x, ∆x = <sub>N</sub><sup>1</sup><sub>+1</sub> o`u u_j est une approximation de u(x_j), avec la convention habituelle u₀ =u_N+1 = 0. Montrer que ces sch´emas sont consistants et d´eterminer leurs ordres.

5.Montrer que ces sch´emas sont monotones¹ pour ∆xassez petit et en d´eduire qu’ils satisfont le principe du maximum discret² (faire la preuve pour l’un d’entre eux).

On suppose d´esormais que chacun des sch´emas a une solution et on la notera U = (u_j)_j, sans distinguer s’il s’agit d’une solution de (S1) ou de (S2).

6. En d´eduire de la question 5. que, si ∆xassez petit et si g⁰(0) = 0 :

||U||∞ ≤ 1

α||f||∞.

7. On suppose que b, f ∈C²([0,1]). Donner une estimation de max

1≤j≤N |u(x_j)−u_j| pour chacun des sch´emas. (On demande une esquisse de la preuve de l’estimation ci-dessus en indiquant les principales ´etapes mais pas une preuve compl`ete, en remarquant que l’hypoth`eseg⁰⁰(t)≥α pour tous t ∈ IR permet de g´en´eraliser les arguments donn´es dans le cours). Quel sch´ema choisiriez-vous pour calculer une approximation de u?

8. Voyez-vous une autre m´ethode pour calculeru num´eriquement ?

1. On rappelle qu’un sch´ema qui s’´ecrit G_j(u_j+1, u_j, u_j−1) = 0 pour j = 1,2,· · ·, N, est monotone si les fonctionsG_j sont d´ecroissantes par rapport `a u<sub>j+1</sub> et `a u_j−1 et croissantes enu_j pour tousj.

2. l’analogue en discret de l’´enonc´e de la question 1.