Nature de séries numériques

(1)

Compléments sur les séries numériques

Nature de séries numériques

Exercice 1 [ 02432 ][Correction]

(a) ÉtudierPu_n oùu_n =R1 0

dx 1+x+···+xⁿ. (b) ÉtudierPvn oùvn=R1

0

xⁿdx 1+x+···+xⁿ. Exercice 2 [ 03881 ][Correction]

Poura >0, étudier la convergence de X

n≥1

a^Pⁿ^k=1¹^k.

Donner la nature de la série des ^√^jⁿ_n.

Montrer la convergence de la série de terme général

u_n= 1

ln(1)²

+ ln(2)²

+· · ·+ ln(n)².

Pourα >1, on pose

SN =

N

X

n=1

1

n^α etRN =

+∞

X

n=N+1

1 n^α. Étudier la nature de la sérieP

n≥1 R_n

Sn selon la valeur du réel α.

On noteun=Rπ/4

0 (tant)ⁿdt. (a) Déterminer la limite deu_n.

(b) Trouver une relation de récurrence entreun etun+2. (c) Donner la nature de la série de terme général(−1)ⁿun.

(d) Discuter suivantα∈R, la nature de la série de terme généralun/n^α.

Nature de séries de signe non constant

Déterminer la nature dePun pour : (a) u_n =⁽⁻¹⁾_n₂₊₁ⁿ

(b) un =⁽⁻¹⁾^√_n+1ⁿ

(c) un = ln

1 +⁽⁻¹⁾_n+1ⁿ

(d) u_n = cos π√

n²+n+ 1

Déterminer la nature de

X

n≥1

(−1)ⁿ

√n

n! .

Déterminer la nature de

X

n≥1

sin

nπ+π n

.

Déterminer la nature de la série de terme général

un = cos n²πln

1 + 1 n

! .

(2)

Déterminer la nature de la série de terme général : un= (−1)ⁿ

Pn k=1

√1

k + (−1)ⁿ⁻¹. Exercice 12 [ 02351 ][Correction]

Déterminer la nature dePun pour : (a) u_n =

pn+ (−1)ⁿ−√ n

(b) un= _ln(n+(−1)⁽⁻¹⁾ⁿ n) (c) un= _ln(n)+(−1)⁽⁻¹⁾ⁿ n

Convergence de la série de terme généralu_n= sin π√

n²+ 1.

Étudier la série de terme général

un= (−1)ⁿsin(lnn) n . Exercice 15 [ 01337 ][Correction]

Quelle est la nature de la série de terme général eⁱ

√n

√n?

αdésigne un réel strictement positif.

Déterminer la nature de la série de terme général un=

Z (−1)ⁿ/n^α 0

p|x|

1 +xdx. Exercice 17 [ 05040 ][Correction]

Déterminer la nature des séries qui suivent :

(a) P nⁿ

eⁿ·n! (b) Pln cos

1 n

!

(c) P 1 2^√ⁿ.

Convergence de séries à termes positifs Emploi du critère spécial

(a) Justier l'existence, pourn∈Nde Rn=

+∞

X

k=n+1

(−1)^k k . (b) Montrer que

Rn+Rn+1=

+∞

X

k=n+1

(−1)^k k(k+ 1). (c) Déterminer un équivalent deRn.

(d) Donner la nature de la série de terme généralR_n.

Montrer que

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ8ⁿ (2n)!

est un réel négatif.

On rappelle la convergence de l'intégrale de Dirichlet I=

Z +∞

0

sint t dt. En observant

I=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ Z π

0

sint nπ+tdt déterminer le signe deI.

(3)

On pose

s_n =

n

X

k=1

(−1)^k+1

k et u_n = ln e^sⁿ−1 .

(a) Énoncer le théorème des séries spéciales alternées, en faire la preuve.

(b) Prouver que les suites (sn)_n≥1 et(un)_n≥1 convergent.

(c) Étudier la nature dePun.

Déterminer les natures des séries (a) P(−1)^b^√^nc

n (b) P(−1)^bln(n)c

n

Nature de séries dépendant d'un paramètre

Déterminer la nature de la série de terme général un=

√1 +√

2 +· · ·+√ n

n^α (avecα∈R).

Même question avec la série de terme général(−1)ⁿu_n.

Soitα >0. Préciser la nature de la sérieP

n≥2un avec u_n= (−1)ⁿ

pn^α+ (−1)ⁿ.

Étudier la nature de la série de terme général u_n= ln

1 + sin(−1)ⁿ n^α

pourα >0.

Nature de la série de terme général un= ln

1 + (−1)ⁿ n^a

oùa >0.

Nature de la série de terme général un= ln

√

n+ (−1)ⁿ

√n+a

oùa∈R.

Soient(a, α)∈R+×Ret, pourn∈N^∗ :

un=a^Pⁿ^k=1^1/k^α.

(a) Pour quels couples(a, α)la suite(un)est-elle convergente ? Dans la suite, on suppose que tel est le cas, on note`= limun et on pose, sin∈N^∗,

v_n=u_n−`. (b) Nature des séries de termes généraux vn et(−1)ⁿvn.

Soientp∈Netα >0. Déterminer la nature des séries de termes généraux vn=

n+p p

^−α

et wn= (−1)ⁿ n+p

p ^−α

.

(a) En posantx= tant, montrer Z π/2

0

dt

1 +asin²(t) = π 2√

1 +a.

(4)

(b) Donner en fonction deα >0la nature de la série XZ π

0

dt

1 + (nπ)^αsin²(t). (c) Même question pour

XZ (n+1)π

nπ

dt 1 +t^αsin²(t). (d) Donner la nature de l'intégrale

Z +∞

0

dt 1 +t^αsin²(t).

On pose

u_n=

+∞

X

p=n

1

(p+ 1)^α et v_n=

+∞

X

p=n

(−1)^p (p+ 1)^α. (a) Déterminer la nature de la série de terme généralu_n selonα. (b) Déterminer la nature de la série de terme généralvn selon α.

Transformation d'Abel

Pourn∈N^∗, on pose

Σn =

n

X

k=1

sink etSn =

n

X

k=1

sink k . (a) Montrer que(Σn)_n≥1 est bornée.

(b) En déduire que(Sn)_n≥1 converge.

Soitθ∈Rnon multiple de2π. On pose Sn =

n

X

k=0

cos(kθ)etun= cos(nθ) n .

(a) Montrer que la suite(Sn)_n∈N est bornée.

(b) En observant quecos(nθ) =Sn−S_n−1, établir que la série de terme général un converge.

(c) En exploitant l'inégalité|cosx| ≥cos²x, établir que la série de terme général

|un|diverge.

Soient(an)une suite positive décroissante de limite nulle et(Sn)une suite bornée.

(a) Montrer que la série P

(an−an+1)Sn est convergente.

(b) En déduire que la sérieP

an(Sn−S_n−1)est convergente.

(c) Établir que pour toutx∈R\2πZ, la sériePcos(nx)

n est convergente.

(a) Montrer l'existence, pourθ∈]0 ;π[, d'un majorantMθde la valeur absolue de Sn=

n

X

k=1

cos(kθ).

(b) Montrer que x7→

√x

x−1 est décroissante sur[2 ; +∞[.

(c) En remarquant decos(nθ) =Sn−S_n−1, étudier la convergence de la série de terme général

u_n=

√n

n−1cos(nθ). (d) En utilisant

cos(kθ)

≥cos²(kθ), étudier la convergence deP

|un|.

Soitzn le terme général d'une série complexe convergente. Établir la convergence de la série

X

n≥1

z_n n.

Soit(an)une suite complexe. On suppose que la sériePan

n diverge.

Établir que pour toutα∈]−∞; 1], la sériePa_n

n^α diverge aussi.

(5)

Soit(un)n≥1une suite décroissante de réels strictement positifs.

(a) On suppose que P

un converge. Montrer que la série de terme général vn=n(un−un+1)converge et

+∞

X

n=1

v_n=

+∞

X

n=1

u_n.

(b) Réciproquement, on suppose que la série de terme généraln(un−un+1) converge. Montrer que la série de terme généralun converge si, et seulement si, la suite(un)converge vers 0.

(c) Donner un exemple de suite(un)qui ne converge pas vers 0, alors que la série de terme généraln(un−un+1)converge.

On donne une suite réelle(a_n). On suppose que les sériesPa_n etP

|an+1−a_n|convergent. Montrer que la série Pa²_n converge.

Calcul de somme

Existence et valeur de

+∞

X

n=2

ln

1 +(−1)ⁿ n

.

Nature et calcul de la somme de la série de terme général

+∞

X

k=n

(−1)^k k² .

On pose

un= Z 1

0

xⁿsin(πx) dx.

Montrer que la sérieP

un converge et que sa somme vaut Z π

0

sint t dt.

Étudier

n→+∞lim lim

m→+∞

n

X

i=0 m

X

j=0

(−1)^i+jt^i+j+1.

Calcul de somme par dérivation ou intégration

Soitα >0. Montrer

+∞

X

k=0

(−1)^k k+α =

Z 1

0

x^α−1 1 +xdx.

Soitx∈]−1 ; 1[. Calculer

+∞

X

k=0

kx^k.

Calculer

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ 4n+ 1.

Calculer

+∞

X

n=0

1

(4n+ 1)(4n+ 3).

(6)

Étude de séries à termes positifs Comparaison séries intégrales

Soit, pourx∈R,

f(x) = cos(x^1/3) x^2/3 . (a) Nature la série de terme général

u_n= Z n+1

n

f(x) dx−f(n). (b) Nature de la série de terme général f(n).

On pourra montrer quesin n^1/3n'admet pas de limite quandn→+∞. (c) Nature de la série de terme général

sin(n^1/3) n^2/3 .

On posef(x) =^sin(ln_x ^x) pour toutx≥1 etu_n=Rn

n−1f(t) dt−f(n)pour tout entiern≥2.

(a) Montrer quef⁰ est intégrable sur[1 ; +∞[.

(b) Montrer que la série de terme généralu_n est absolument convergente.

(c) Montrer que la suite(cos(lnn))diverge.

(d) En déduire la nature de la série de terme général f(n).

Pourn∈N^∗, soit

fn:x∈]n; +∞[→

n

X

k=1

1 x−k.

Soita >0. Montrer qu'il existe un unique réel, notéx_n tel que f_n(x_n) =a. Déterminer un équivalent dex_n quandn→+∞.

Étudier

n→+∞lim n

+∞

X

k=n

1 k²eⁿ^k

.

Soitf: [0 ; +∞[→Rcontinue, positive et croissante.

Établir que les objets suivants ont même nature Z +∞

0

f e^−t dt,X

f e⁻ⁿet X1 nf

1 n

.

Soitf: [1 ; +∞[→Rune fonction strictement positive, de classeC¹ et de dérivée décroissante et de limite nulle en+∞. Montrer que les séries

Xf⁰(n) et Xf⁰(n) f(n) ont même nature.

Soitf: [1 ; +∞[→Rune fonction de classeC¹ dont la dérivée est décroissante et de limite nulle.

(a) Soitk∈N^∗. Établir 0≤

Z k+1 k

f(t) dt−1

2 f(k) +f(k+ 1)

≤1

8 f⁰(k)−f⁰(k+ 1). (b) En déduire que¹

Sn= Z n

1

f(t) dt− 1

2f(1) +f(2) +· · ·+f(n−1) +1 2f(n)

admet une limite nie lorsquentend vers+∞.

1. Sncompare une intégrale à l'approximation de celle-ci obtenue par la méthode des trapèzes.

(7)

(c) Application: On considère la fonctionf:x7→ −ln(x). Établir²la convergence de la suite de terme général

σn= ln(n! )−

n+1 2

ln(n) +n.

Soitf: [1 ; +∞[→Cune fonction de classeC¹. On suppose qu'il existeM ∈R+

vériant³, pour toutx≥1,

Z x 1

f⁰(t)

dt≤M. (a) Montrer

Xf(n)converge ⇐⇒

Z n 1

f(t) dt

converge.

(b) Application: Déterminer la nature de la série Xsin ln(n)

n .

Comportement asymptotique de sommes

On pose

Sn=

n

X

k=1

1 k+√

k. (a) Donner un équivalent simple deSn.

(b) Montrer que

Sn =

n→+∞lnn+C+ o(1). Exercice 57 [ 01090 ][Correction]

On pose

Sn=

n

X

k=1

1 k²+√

k.

2. Pour résoudre cette question, on ne s'autorise pas l'emploi de la formule de Stirling.

3. Au chapitre suivant, on dira simplement quef⁰ est intégrable sur[1 ; +∞[. On peut noter que cette hypothèse est satisfaite lorsquef est monotone et admet une limite nie en+∞.

(a) Montrer que(Sn)_n≥1 converge vers une constanteC. (b) Établir que

Sn =

n→+∞C−1 n + o

1 n

.

(a) Sous réserve d'existence, déterminer pourα≥1

n→+∞lim

2n

X

k=n+1

1 k^α. (b) Sous réserve d'existence, déterminer

n→+∞lim

2n

X

k=n+1

sin 1

k

.

On pose

u_n =

n

Y

k=1

3k−1 3k . (a) Montrer qu'il existe des constantesαetβ telles que

lnu_n =αlnn+β+ o(1). En déduire un équivalent deun.

(b) Déterminer la nature deP

n≥1u_n. Exercice 60 [ 03882 ][Correction]

Déterminer

n→+∞lim 1 n

n

Y

k=1

(3k−1)^1/n.

Déterminer un équivalent simple de :

(8)

(a) P+∞

k=1 1

k(nk+1) (b) P+∞

k=1 1 k(n+k)

Pourn∈N^∗, on pose

Hn=

n

X

k=1

1 k. Pourp∈N, on pose

n_p= min{n∈N|H_n≥p}. Déterminer un équivalent denp quandp→+∞

Soitj∈N. On noteΦ_j le plus petit entier p∈N^∗ vériant

p

X

n=1

1 n ≥j. (a) Justier la dénition deΦ_j.

(b) Démontrer que Φ_j −−−−→

j→+∞ +∞. (c) Démontrer ^Φ_Φ^j+1_j −−−−→

j→+∞ e. Exercice 64 [ 02950 ][Correction]

Soit(un)_n≥1une suite d'éléments de R^∗+. On pose

v_n = 1 nun

n

X

k=1

u_k

!

et w_n= 1 n²un

n

X

k=1

ku_k

! . On suppose que(vn)tend versa∈R^∗+.

Étudier la convergence de(wn).

Emploi de la constante d'Euler

Justier et calculer

+∞

X

n=1

1 n(2n−1).

Existence et calcul de

+∞

X

n=1

5n+ 6 n(n+ 1)(n+ 2). Exercice 67 [ 01046 ][Correction]

Existence et calcul de

+∞

X

n=1

1

n(n+ 1)(2n+ 1). Exercice 68 [ 01054 ][Correction]

On rappelle l'existence d'une constanteγ telle qu'on ait

n

X

k=1

1

k = lnn+γ+ o(1).

(a) Calculer la somme de la série de terme généralun = (−1)ⁿ⁻¹/n. (b) Même question avecu_n= 1/n sin6= 0 [3]et u_n=−2/n sinon.

Convergence puis calcul de

+∞

X

n=1

1

1²+ 2²+· · ·+n². Exercice 70 [ 02964 ][Correction]

Calculer _∞

X

n=0

1

4n+ 1− 3

4n+ 2+ 1

4n+ 3 + 1 4n+ 4

.

(a) Donner un développement asymptotique à deux termes de un=

n

X

p=2

lnp p . On pourra introduire la fonctionf:t7→(lnt)/t.

(9)

(b) À l'aide de la constante d'Euler, calculer

+∞

X

n=1

(−1)ⁿlnn n .

(a) Soit (u_n)une suite telle queu_n= O(1/n²). Que dire deP+∞

k=nu_k? (b) Montrer que

n

X

k=1

1

k =

n→+∞lnn+γ+ O 1

n

avecγune constante réelle qu'on ne cherchera pas à calculer.

On pose

un =(−1)ⁿ n

lnn ln 2

. (c) Convergence et somme deP

n≥2un. Exercice 73 [ 01077 ][Correction]

Étudier la limite de

un= Z 1

0

(1−u)ⁿ−1

u du+ lnn.

Théorème de Cesaro

Soit(un)n≥1une suite réelle convergeant vers `∈R. On désire établir que la suite (vn)n≥1de terme général

vn= u1+u2+· · ·+un

n converge aussi vers`. Soitε >0.

(a) Justier qu'il existen0∈Ntel que pour toutn∈N,n > n0 entraîne

|un−`| ≤ε/2. (b) Établir que pour tout entiern > n₀ on a :

|vn−`| ≤ |u1−`|+· · ·+|un₀−`|

n +n−n0

n ε 2.

(c) En déduire qu'il existen1∈Ntel que pour toutn∈N,n > n1entraîne

|vn−`| ≤ε.

(d) Application: Soit (un)une suite réelle telle queun+1−un→α6= 0. Donner un équivalent simple deun.

Soit(un)une suite réelle.

(a) On suppose que (u_n)converge vers`et on considère vn=u₁+ 2u₂+· · ·+nu_n

n² .

Déterminerlim_n→+∞vn. (b) On suppose

u_n−u_n−1 n →`. Déterminer

n→∞lim u_n n². Exercice 76 [ 00309 ][Correction]

Soit(un)une suite de réels strictement positifs.

On suppose

un+1

un

→`∈]0 ; +∞[. Montrer

√n

un→`. Exercice 77 [ 03219 ][Correction]

La suite(un)_n≥0 est dénie paru0>0et

∀n∈N, u_n+1= ln(1 +u_n). (a) Déterminer la limite de la suite(un)n≥0

(b) Déterminer la limite de

1 u_n+1 − 1

u_n. (c) En déduire un équivalent de(un)_n≥0

(10)

Séries dont le terme général est déni par récurrence

(a) Déterminer la limite de la suite dénie par

u₀≥0et ∀n∈N, u_n+1= e^−uⁿ n+ 1. (b) Déterminer la limite de la suite dénie par

v_n=nu_n. (c) Donner la nature de la sérieP

un et celle de la série P

(−1)ⁿun

La suite(a_n)_n≥0 est dénie para₀∈]0 ;π/2[et

∀n∈N, an+1= sin(an). Quelle est la nature de la série de terme généralan?

Soit(un)une suite réelle telle queu0>0 et pour toutn >0, un = ln(1 +u_n−1).

Étudier la suite(un)puis la série de terme généralun.

Soit(an)_n≥0 une suite dénie para0∈R^∗+ et pourn∈N, an+1= 1−e^−aⁿ.

(a) Étudier la convergence de la suite (a_n).

(b) Déterminer la nature de la série de terme général(−1)ⁿan. (c) Déterminer la nature de la série de terme générala²_n.

(d) Déterminer la nature de la série de terme généralan à l'aide de la série Xln

an+1

an

.

Soit(un)n≥0la suite dénie par u0∈[0 ; 1]et

∀n∈N, u_n+1=u_n−u²_n. (a) Quelle est la nature de la série de terme généralun?

(b) Même question lorsque u_n est dénie par la récurrence u_n+1=u_n−u^1+α_n (avecα >0).

Soitu∈R^Ntelle que u0∈]0 ; 1] et que, pour un certainβ >0et pour toutn∈N, u^β_n+1= sinu^β_n.

Étudier la nature de la série de terme généralu_n. Exercice 84 [ 02433 ][Correction]

Soitα >0 et(u_n)_n≥1 la suite dénie par :

u₁>0et∀n≥1, u_n+1=u_n+ 1 n^αun

.

(a) Condition nécessaire et susante surαpour que(u_n)converge.

(b) Equivalent deu_n dans le cas où(u_n)diverge.

(c) Equivalent de(un−`)dans le cas où(un)converge vers`.

Application à l'étude de suites

Former un développement asymptotique à trois termes de la suite(u_n)dénie par u1= 1 et∀n∈N^∗, un+1= (n+uⁿ⁻¹_n )^1/n.

On note(zn)n≥1 la suite de terme général zn= 2nexp

it

√n

. Étudier

n→+∞lim

2n−1 zn−1

2n−2

zn−2 · · ·2n−n zn−n

= lim

n→+∞

n

Y

k=1

2n−k zn−k .

(11)

Étude théorique

Montrer que la somme d'une série semi-convergente et d'une série absolument convergente n'est que semi-convergente.

Donner un exemple de série divergente dont le terme général tend vers 0 et dont les sommes partielles sont bornées.

On dit que la série de terme généralu_n enveloppe le réelAsi, pour tout entier natureln, on a :

un6= 0et

A−(u0+u1+· · ·+un)

≤ |un+1|.

On dit qu'elle enveloppe strictement le réelAs'il existe une suite(θn)_n≥1 d'éléments de]0 ; 1[ telle que pour tout entier natureln:

A−(u0+u1+· · ·+un) =θn+1un+1. (a) Donner un exemple de série divergente qui enveloppeA >0.

Donner un exemple de série convergente qui enveloppe un réel.

Donner un exemple de série convergente qui n'enveloppe aucun réel.

(b) Démontrer que, si la série de terme généralun enveloppe strictement A, alors elle est alternée.

Démontrer queAest alors compris entre deux sommes partielles consécutives.

(c) Démontrer que, si la série de terme généralun est alternée et que, pour tout entiern∈N^∗

A−(u0+u1+· · ·+un)est du signe de un+1, alors, elle enveloppe strictementA.

(d) Démontrer que, si la série de terme généralu_n enveloppeAet si la suite de terme général|u_n|est strictement décroissante, alors, la série est alternée et encadre strictementA.

SoitE l'ensemble des suites réelles(u_n)_n≥0 telles que u_n+2= (n+ 1)u_n+1+u_n.

(a) Montrer queE est un espace vectoriel de dimension 2.

(b) Soientaetb deux éléments deE déterminés par a0= 1

a1= 0 et b0= 0 b1= 1.

Montrer que les deux suites(an)et(bn)divergent vers+∞. (c) Calculer

wn=an+1bn−anbn+1.

(d) On posec_n=a_n/b_n lorsque l'entiernest supérieur ou égal à 1. Démontrer l'existence de

`= lim

n→+∞c_n. (e) Démontrer l'existence d'un unique réelr tel que

n→+∞lim (a_n+rb_n) = 0.

Soite= (en)n∈Nune suite décroissante à termes strictement positifs telle que la sériePe_n converge.

On pose

s=

+∞

X

n=0

e_n etr_n=

+∞

X

k=n+1

e_k pour n∈N.

On introduit

G= (_+∞

X

n=0

d_ne_n

(d_n)∈ {−1,1}^N )

.

On dit que la suiteeest une base discrète lorsqueGest un intervalle.

(a) Montrer queGest bien déni. Déterminer son maximum et son minimum.

(b) On suppose dans cette question que (en)est une base discrète. Montrer que en≤rn pour toutn∈N.

(c) On suppose queen≤rn pour toutn∈N. Soitt∈[−s;s]. On dénit la suite (tn)par

t0= 0ettn+1=

(tn+en sitn≤t t_n−e_n sinon.

Montrer que

|t−tn| ≤en+rn

et conclure.

(12)

(d) Dans cette question, on supposeen= 1/2ⁿ pour toutn∈N.

DéterminerG. Quelles suites (dn)permettent d'obtenir respectivement 0,1,1/2,2 et1/3?

Pourx∈G, y a-t-il une unique suite(dn)∈ {−1,1}^Ntelle que

x=

+∞

X

n=0

dnen?.

Condensation

Soit(un)une suite réelle décroissante et positive. On pose v_n = 2ⁿu₂n.

Déterminer la nature dePvn en fonction de celle dePun.

(a) Soient(un)_n∈Nune suite réelle décroissante, positive etp∈Ntel que p≥2. On pose

vn =pⁿupⁿ. Montrer que

Xu_n converge si, et seulement si, X

v_n converge.

(b) Application: Étudier la convergence des séries X 1

nlnn et X 1 nlnnln(lnn).

Soit(un)_n∈_N une suite réelle décroissante et positive. On pose vn=nun².

Montrer que

Xun converge si, et seulement si, X

vn converge.

Soit(un)une suite décroissante d'éléments deR+, de limite 0. Pourn≥1, on pose vn =n²un².

Y a-t-il un lien entre la convergence des séries de termes générauxu_n etv_n?

Produits numériques

Soitqun réel tel que|q|<1. Établir l'identité

+∞

Y

k=1

1 +q^k

= 1

+∞

Y

k=1

(1−q^2k−1)

où les produits innis correspondent aux limites quandntend vers+∞des produits pourkallant de1à n.

Soit(a_n)une suite de réels tous diérents de −1 telle que la sériePa_n converge.

On pose

P_n=

n

Y

k=0

(1 +a_k) pour toutn∈N.

Montrer que la suite(P_n)admet une limite nie et que celle-ci est non nulle si, et seulement si, la série de terme générala²_n converge.

(13)

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]

(a) L'intégrale dénissantu_n est bien dénie car elle porte sur une fonction sur le segment[0 ; 1]. On peut aussi la comprendre comme une intégrale généralisée convergente sur[0 ; 1[

u_n= Z 1

0

dx

1 +x+· · ·+xⁿ = Z

[0;1[

dx 1 +x+· · ·+xⁿ et par sommation géométrique

Z

[0;1[

dx

1 +x+· · ·+xⁿ = Z

[0;1[

1−x 1−xⁿ⁺¹dx. Posons

f_n(x) = 1−x 1−xⁿ⁺¹.

Sur[0 ; 1[, la suite de fonctions(fn)converge simplement vers la fonction f: x7→1−x.

Les fonctionsfn etf sont continues par morceaux et

1−x 1−xⁿ⁺¹

≤ 1−x

1−x = 1 =ϕ(x) avecϕintégrable. Par convergence dominée

un→ Z 1

0

(1−x) dx= 1 2 et donc la sérieP

un diverge grossièrement.

(b) On amorce les calculs comme au dessus pour écrire vn=

Z 1

0

xⁿdx

1 +x+· · ·+xⁿ = Z 1

0

xⁿ

1−xⁿ⁺¹(1−x) dx. Par intégration par parties généralisée justiée par deux convergences Z 1

0

xⁿ

1−xⁿ⁺¹(1−x) dx=

− 1

n+ 1ln(1−xⁿ⁺¹)(1−x) ¹

0

− 1 n+ 1

Z 1

0

ln(1−xⁿ⁺¹) dx. Le terme entre crochet est nul (il sut d'écrirex= 1−havech→0, pour

étudier la limite en 1)

Il reste

v_n=− 1 n+ 1

Z 1

0

ln(1−xⁿ⁺¹) dx.

Par développement en série entière de la fonctionu7→ −ln(1−u)

vn= Z 1

0 +∞

X

k=1

1

kx^(n+1)kdx. Posons

gk(x) = 1

kx^(n+1)k.

La série de fonctionsPg_k converge simplement sur[0 ; 1[ en vertu de la décomposition en série entière précédente.

Les fonctionsg_k et la fonction sommeP+∞

k=0g_k:x7→ −ln(1−xⁿ⁺¹)sont continues par morceaux.

Enn, les fonctionsgk sont intégrables sur[0 ; 1[et

+∞

X

k=1

Z 1

0

1 kx^(n+1)k

dx=

+∞

X

k=1

1

k((n+ 1)k+ 1) <+∞. On peut donc intégrer terme à terme pour écrire

donc

vn= 1 n+ 1

+∞

X

k=1

1 k

Z 1

0

x^(n+1)kdx= 1 n+ 1

+∞

X

k=1

1

k((n+ 1)k+ 1).

Or +∞

X

k=1

1

k((n+ 1)k+ 1) ≤ 1 (n+ 1)

+∞

X

k=1

1 k² puis nalement

vn≤ C (n+ 1)². La série à termes positifsPv_n est donc convergente.

On sait _n

X

k=1

1

k = lnn+γ+ o(1)

(14)

et donc

a^Pⁿ^k=1¹^k = e^lnâ^ln^n+γ^lnâ+o(1) ∼ e^γ^lnâ n⁻^lnâ. Par équivalence de séries à termes positifs

X

n≥1

a^Pⁿ^k=1¹^k converge ⇐⇒ −lna >1 ce qui fournit la conditiona <e⁻¹.

On peut écrire j³ⁿ⁺¹

√3n+ 1+ j³ⁿ⁺²

√3n+ 2+ j³ⁿ⁺³

√3n+ 3 =

n→+∞

j³ⁿ⁺¹(1 +j+j²)

√3n + O 1

n^3/2

= O 1

n^3/2

donc la série des termes

j³ⁿ⁺¹

√3n+ 1 + j³ⁿ⁺²

√3n+ 2+ j³ⁿ⁺³

√3n+ 3

est absolument convergente. Ainsi, il y a convergence des sommes partielles

S3n=

3n

X

k=1

j^k

√k. Puisque, les termes

j³ⁿ⁺¹

√3n+ 1, j³ⁿ⁺²

√3n+ 2

sont de limite nulle, on a aussi convergence des sommes partielles

S3n+1=

3n+1

X

k=1

j^k

√

k =S3n+ j³ⁿ⁺¹

√3n+ 1

S3n+1=

3n+1

X

k=1

j^k

√k =S3n+1+ j³ⁿ⁺²

√3n+ 2.

Les trois suites extraites(S_3n),(S_3n+1)et(S_3n+2)convergeant vers une même limite, on peut armer que la série ^√^jⁿ_n est convergente.

Par comparaison série-intégrale, on majore un par le terme général d'une série convergente.

La fonctiont7→ln(t)est continue et croissante donc Z k

k−1

ln(t)2

dt≤ ln(k)2

pour toutk≥2 En sommant pourkallant de2 àn, on obtient

n

X

k=2

Z k k−1

ln(t)² dt≤

n

X

k=2

ln(k)²

=

n

X

k=1

ln(k)² pour toutn≥2 et donc

Z n 1

ln(t)² dt≤

n

X

k=1

ln(k)²

On calcule l'intégrale par intégrations par parties Z n

1

ln(t)2

dt= h

t ln(t)2iⁿ

1 − Z n

1

2 ln(t) dt

=n ln(n)²

− h

2tln(t)iⁿ

1

+ Z n

1

2 dt

=n ln(n)2

−2nln(n) + 2n−2 Par passage à l'inverse, on obtient alors

u_n ≤ 1

n ln(n)²

−2nln(n) + 2n−2

=v_n ∼

n→+∞

1 n ln(n)²

Par équivalence de séries à termes positifs, la série de terme généralvn converge⁴ et, par comparaison de séries à termes positifs, la série de terme généralun

converge aussi.

Puisquex7→ _x¹α est décroissante Z n+1

n

dx x^α ≤ 1

n^α ≤ Z n

n−1

dx x^α

4. Voir sujet 20171101. Notons que l'on peut par encadrement établir aussi queunéquivaut à 1/n ln(n)2

.

(15)

donc

Z +∞

N+1

dx

x^α ≤RN ≤ Z +∞

N

dx x^α d'où l'on obtient :

R_n∼ 1 (α−1)n^α−1 puis

Rn

S_n ∼ 1

(α−1)S_∞n^α−1. La sérieP

n≥1 R_n

Sn converge si, et seulement si,α >2. Exercice 6 :[énoncé]

(a) Par convergence dominée par la fonctionϕ:t7→1, on obtientun→0. (b)

un+un+2= Z π/4

0

(tant)⁰(tant)ⁿdt= 1 n+ 1.

(c) On vérie aisémentun →0⁺ etun+1≤un. Par application du critère spécial des séries alternées,P

(−1)ⁿu_n converge.

(d) Par monotonie

un+un+2≤2un≤un+un−2.

On en déduitu_n∼ _2n¹ puis par comparaison de séries à termes positifs,Pu_n n^α

converge si, et seulement si,α >0.

(a) |un| ∼1/n²donc la série P

un est absolument convergente donc convergente.

(b) On applique le critère spécial et on conclut quePu_n converge.

(c) un =⁽⁻¹⁾_n+1ⁿ+ O

1 n²

et on peut conclure queP

un converge.

(d)

un = cos

nπ+π 2 +3π

8n+ O 1

n²

= (−1)ⁿ⁺¹.3π

8n + O

1 n²

doncPun converge.

Il s'agit d'une série alternée.

ln ⁿ

√ n! = 1

n

X

k=1

lnk

et ainsiln √ⁿ

n!est la moyenne arithmétique deln 1,ln 2, . . . ,lnnet donc ln√ⁿ

n!≤ln ⁿ⁺¹p (n+ 1)!

puis 1

√n

n ≥ 1

n+1p

(n+ 1)!. De plus par la croissance de la fonctionx7→lnx,

1 n

n

X

k=1

lnk≥ 1 n

Z n 1

lnxdx= lnn−1→+∞

et donc

1

√n

n! →0.

Finalement on peut appliquer le critère spécial des séries alternées et conclure.

On a

sin

nπ+π n

= (−1)ⁿsinπ

n =(−1)ⁿπ n + O

1 n³

donc la série est semi-convergente.

On sait cos(nπ+x) = (−1)ⁿcos(x)pour tous x∈Retn∈Z.

Par le développement limité ln(1 +u) =

u→0=u−1 2u²+1

3u³−1

4u⁴+o u⁴ on écrit

ln

1 + 1 n

= 1 n− 1

2n² + 1 3n³ − 1

4n⁴ + o 1

n⁴

(16)

donc

un = cos nπ−π 2 + π

3n− π 4n² + o

1 n²

!

= (−1)ⁿcos −π 2 + π

3n − π 4n² + o

1 n²

!

Sachantcos x−^π₂

= sin(x), on obtient un = (−1)ⁿsin π

3n− π 4n²+ o

1 n²

!

Enn, le développement⁵limité sin(u) =u+ o u² donne u_n = (−1)ⁿ π

3n

| {z }

=a_n

+ (−1)ⁿ⁺¹ π 4n² + o

1 n²

| {z }

=bn

Le terme généralan est alterné et général décroît vers0 en valeur absolue, la série Pan est donc convergente.

Le terme généralbn est dominé⁶ par1/n²et la série Pbn est donc absolument convergente.

Par opérations, la sérieP

un converge.

Par comparaison avec une intégrale :

n

X

k=1

√1 k ∼2√

n. On a alors

un = (−1)ⁿ Pn

k=1

√1 k

1 1 +P⁽⁻¹⁾n ⁿ⁻¹

k=1

√1 k

= (−1)ⁿ Pn

k=1

√1 k

+ 1

Pn k=1

√1 k

² + o 1 Pn

k=1

√1 k

²

! .

6. On peut aussi dire qu'il est négligeable devant1/n^1.1 mais lui appliquer le critère spécial n'est pas possible à cause du termeo 1/n²

qui empêche l'étude de monotonie.

La série de terme général

(−1)ⁿ Pn

k=1

√1 k

converge en vertu du critère spécial.

On a

1 Pn

k=1

√1 k

2 + o 1 Pn

k=1

√1 k

2

!

∼ 1 4n

donc par comparaison de série à termes positifs il y a divergence de la série de terme général

1 Pn

k=1

√1 k

2+ o 1 Pn

k=1

√1 k

2

! .

Par sommation d'une série convergente et d'une série divergente la série de terme général diverge.

(a) On a

un =(−1)ⁿ 2√

n + O 1

n^3/2

doncP

un converge.

(b) On a

un = (−1)ⁿ

lnn+⁽⁻¹⁾_n ⁿ+ o _n¹ = (−1)ⁿ lnn − 1

nln²n+ o 1

nln²n

. Or la série de la série de terme général _n_ln¹2n est absolument convergente (utiliser une comparaison avec une intégrale) doncP

un est convergente.

(c) On a

u_n= (−1)ⁿ lnn + 1

(lnn)² + o 1

(lnn)²

.

La série de terme général ⁽⁻¹⁾_ln_nⁿ est convergente alors que la série de terme général _(ln¹_n)2 + o

1 (lnn)²

est divergente par équivalence de séries à termes positifs. On conclut queP

un est divergente.

(17)

√n²+ 1 =n+_2n¹ + O

1 n²

doncun= ⁽⁻¹⁾_2nⁿ^π+ O

1 n²

est terme général d'une série convergente.

Puisqueun→0, il revient au même d'étudier la nature de la série de terme général

v_n=u_2n+u_2n+1. Or

vn= sin(ln 2n)

2n(2n+ 1)+sin(ln(2n+ 1))−sin(ln 2n)

2n+ 1 .

D'une part

sin(ln 2n) 2n(2n+ 1) = O

1 n²

et d'autre part en vertu du théorème des accroissements nis, il existeccompris entreln 2net ln(2n+ 1)tel que

sin(ln(2n+ 1))−sin(ln 2n)

2n+ 1 =cos(c) ln(2n+ 1)−ln 2n

2n+ 1 = O

1 n²

. On en déduit quev_n = O 1/n²

et donc la série de terme généralv_n est absolument convergente donc convergente.

Montrons que la série étudiée est divergente. NotonsSn la somme partielle de rang nde cette série. Nous allons construire deux suites(an)et(bn)de limite+∞telles queSbn−San ne tend pas zéros ce qui assure la divergence de la série étudiée.

Soitn≥1xé. Les indiceskvériant 2nπ−π

4 ≤√

k≤2nπ+π 4 sont tels que

Re(eⁱ

√ k)≥ 1

√ 2. Posons alors

an =b2nπ−π/4c et bn =b2nπ+π/4c.

On a

Sb_n−Sa_n=

b_n

X

k=a_n+1

eⁱ

√k

et donc par construction

Re(Sb_n−Sa_n)≥ 1

√ 2

bn

X

k=an+1

√1 k. Puisque la fonctiont7→1/√

test décroissante, on a la comparaison intégrale Re(S_b_n−S_a_n)≥ 1

√2

b_n

X

k=a_n+1

Z k+1 k

√dt t =√

2 p

b_n+ 1−√

a_n+ 1. Or

pbn+ 1−√

an+ 1 = bn−an

√b_n+ 1 +√

a_n+ 1 ∼ 2nπ² 4nπ → π

2

doncSb_n−Sa_n ne tend par 0 et l'on peut conclure que la série étudiée diverge.

Quandx→0, on a

p|x|

1 +x=p

|x| −xp

|x|+ o x^3/2 . On en déduit

un=

Z (−1)ⁿ/n^α 0

p|x|dx−

Z (−1)ⁿ/n^α 0

xp

|x|dx+ o 1

n^5α/2

. Par parité

u_n =(−1)ⁿ2 3n^3α/2 − 2

5n^5α/2+ o 1

n^5α/2

.

Par le critère spécial des séries alternées, la série de terme général(−1)ⁿ/n^3α/2 converge et par équivalence de séries à termes de signe constant, la série de terme général

− 2 5n^5α/2 + o

1 n^5α/2

∼ − 2 5n^5α/2 converge si, et seulement si,5α/2>1.

On en déduit que la série de terme généralun converge si, et seulement si, α >2/5.

(18)

Notons respectivementan, bn etcn les termes généraux des séries étudiées.

(a) On détermine un équivalent dea_n à l'aide de la formule de Stirling.

On sait

n! ∼

n→+∞

√ 2πn

n e

n

donc a_n= nⁿ eⁿ·n! ∼

n→+∞

√1 2πn.

Or la série de terme général ^√¹_n diverge car il s'agit d'une série de Riemann d'exposantα= 1/2≤1. Par équivalence de séries à termes positifs, on peut armer la divergence de la sérieP

an.

(b) Par calcul asymptotique, on détermine un équivalent de bn.

Par le développement limitécos(u) = 1−¹₂u²+ o u²quand utend vers0,

ln cos 1

n !

n→+∞= ln 1− 1 2n² + o

1 n²

! . On poursuit en écrivantln(1 +u) =u+ o(u)et l'on obtient

bn = ln cos 1

n !

=

n→+∞− 1 2n² + o

1 n²

∼

n→+∞− 1 2n².

Or la série de terme général _n¹2 converge car il s'agit d'une série de Riemann d'exposantα= 2>1. Par équivalence de séries à termes de signe constant, on peut armer la convergence de la sérieP

bn.

(c) Il n'est pas possible de proposer un équivalent du type série de Riemann au terme général étudié mais on peut cependant le comparer à une telle série.

En écrivant les puissances sous forme exponentielle, n²cn= n²

2^√ⁿ = exp 2 ln(n)−√

nln(2) =

n→+∞exp

−√

nln(2)+o √ n

−−−−−→

n→+∞ 0. On en déduit quec_n est négligeable devant1/n². Ce terme est positif et

terme général d'une série convergente, la sériePc_n est alors absolument convergente et donc convergente.

(a) R_n est le reste de rangnde la sérieP

k≥1 (−1)^k

k qui converge en vertu du critère spécial.

(b) Par décalage d'indice sur la deuxième somme

Rn+Rn+1=

+∞

X

k=n+1

(−1)^k

k +

+∞

X

k=n+1

(−1)^k+1 k+ 1 =

+∞

X

k=n+1

(−1)^k k(k+ 1). (c) Puisque

R_n−R_n+1= (−1)ⁿ⁺¹ n+ 1 on a

2R_n= (−1)ⁿ⁺¹ n+ 1 +

+∞

X

k=n+1

(−1)^k k(k+ 1). Or par le critère spécial

+∞

X

k=n+1

(−1)^k k(k+ 1) = O

1 n²

donc

Rn∼(−1)ⁿ⁺¹ 2n . (d) Comme

Rn= (−1)ⁿ⁺¹ 2n + O

1 n²

la sériePR_n est convergente.

À partir du rangn= 2, on peut applique le critère spécial des séries alternées. Le reste étant majorée par la valeur absolue du premier terme

x=

+∞

X

n=0

(−1)ⁿ8ⁿ

(2n)! = 1−4 +r

avec|r| ≤ ⁶⁴₂₄ doncx <0.