1. Les différentes écritures d’un nombre complexe

Chapitre 1

Les nombres complexes Les nombres complexes

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Ce chapitre traite les modules suivants :

•Nombres complexes 1 (NC1).

1. Les différentes écritures d’un nombre complexe

z = a + i b où a et b sont deux réels et i²= – 1.

N.B. : On utilise parfois a + j b pour les problèmes liés à l’électricité ou à l’électro- nique afin d’éviter les confusions avec l’intensité d’un courant.

b)Forme trigonométrique

Si z est un nombre complexe non nul, on note :

• |z| = ÷⁄a²+ b² le module de z, parfois noté r.

• q le réel défini par : cosq= = et sinq= = . qest un argument de z (qest défini à 2kpprès, (kœ1)).

b r b

÷⁄a²+ b² a

r a

÷⁄a²+ b²

Modules

1 Rappels de Terminale Objectifs

C ^OURS

Notation

Le nombre complexe z de module ret d’argument qpeut s’écrire : z = r(cosq + i sinq) (forme trigonométrique)

ou z = [r, q]

ou z = re^iq (notation exponentielle).

C

Chapitre

1

Si z = a + i b et si z≠0 alors

|z|= r = ÷⁄a²+ b², cosq= , sinq= ; z = r(cosq+ i sinq) = re^iq. L’ensemble des nombres complexes est noté 4.

Le nombre complexe 0 a pour module 0, mais n’a pas d’argument.

b r a

r

À savoir

2. Interprétation géométrique

À chaque nombre complexe z = a + i b correspond un point unique M du plan rapporté à un repère orthonormal (O ; uü, vü).

• M(a, b) est l’image de z.

• z est l’affixe de M.

• Le vecteur⁄O⁄Mùa pour affixe z.

De plus, pour z≠0, OM = |z| et ( uü,⁄O⁄Mù) = arg (z) + 2kp, kœ1.

À savoir

;;;;;;

;;;;;;

;;;;;;

;;;;;;

O

r q

a

b M ( z )

uü vü

3. Formules de calcul

a)Produits et quotients de nombres complexes

On note ‡z le nombre complexe conjugué de z.

• Si z = a + i b alors ‡z = a – i b.

• De plus z‡z = a²+ b²= |z|².

Rappel

Si on note z₁= a + i b = r₁e^iq1 et z₂= c + i d = r₂e^iq2, avec z₁≠0 et z₂≠0, on a : z₁z₂= (ac – bd ) + i (ad + bc)

ou z₁z₂= [r₁r₂, q₁+ q₂] ou z₁z₂= r₁r₂e^{i (q1+ q2)}.

À savoir

Exercice résolu

Calculer de deux manières (2 – 2i÷ÿ3) (– 1 + i ) ; en déduire cos et sin .

• (2 – 2i÷ÿ3) (– 1 + i ) = (– 2 + 2÷ÿ3 ) + i (2 + 2÷ÿ3 ) (1)

• 2 – 2i÷ÿ3 peut s’écrire : 2 – 2i÷ÿ3 = 4 – i = 4 e^{– i} . – 1 + i peut s’écrire : – 1 + i = ÷2 – + i = ÷2 eⁱ .

d’où : (2 – 2i÷ÿ3) (– 1 + i ) = 4÷2 e^i5p12 = 4÷2 cos

1

2

3p

2

÷2 2

÷2

1

p

2

÷3 2 1

1

5p 12 5p

12

En comparant (1) et (2), on obtient :

4÷2 cos = – 2 + 2÷ÿ3 (égalité des deux parties réelles)

donc cos = soit cos = .

En écrivant l’égalité des parties imaginaires, on obtient de la même manière : sin = .÷ÿ6 + ÷2

4 5p

12

÷ÿ6 – ÷2 4 5p

12 – 2 + 2÷ÿ3

4÷2 5p

12 5p 12

En notant z₁= a + i b = r₁e^iq1 et z₂= c + i d = r₂e^iq2, avec z₁≠0 et z₂≠0, on a :

= = ou = , q₁– q₂ ou = er₁ ^{i (q1– q2)}.

r₂ z₁ z₂

r₁

4

r₂ z₁

3

z₂

(a + i b) (c – i d ) c²+ d² z₁‡z₂

|z₂|² z₁ z₂

À savoir

b)Formule de Moivre

qétant un réel quelconque et n un entier naturel, on a : (cosq + i sinq)ⁿ= cos nq + i sin nq ou (e^iq)ⁿ= e^{i nq}. Cette formule est appelée formule de Moivre.

À savoir

Abraham de Moivre (1667-1754).

Mathématicien anglais d’origine française. On lui doit, entre autres, cette formule.

Exercice résolu 1

Racines carrées d’un nombre complexe Résoudre dans 4: z²= 2 – 2i÷ÿ3.

On a vu dans l’exercice résolu précédent que : 2 – 2i÷ÿ3 = 4 e^{– i} donc l’équation équivaut à z²= 4 cos – + i sin – .

En posant z = re^iq, on peut en déduire que r²= 4 et 2q= – + 2kp (kœ1).

donc r = 2 et q= – + kp.

On obtient pour k = 0 et k = 1, les deux types de solutions.

L’équation a donc deux solutions :

z₁= 2,

3

4

3

4

3

4

6

p 3

4

p

2 1

2

1

3

p 3

Exercice résolu 2

Résoudre dans 4: z²= – 5 – 12i.

Le module de – 5 – 12i est ÷⁄5²+ 12²= 13, – 5 – 12i n’a donc pas un argument remar- quable et l’on ne peut pas utiliser la méthode précédente.

Chapitre

1

Posons z = a + i b, on a z²= a²– b²+ 2i ab soit – 5 – 12i = a²– b²+ 2i a b on obtient :

De plus z²et – 5 – 12i ont le même module donc : a²+ b²= 13.

Cette dernière équation n’est pas nécessaire mais elle facilite la résolution.

On a donc les trois équations suivantes :

Les deux premières équations permettent de déduire que a²= 4 et b²= 9 et comme ab = – 6 les deux seules solutions sont : a = 2 et b = –3 ; a = –2 et b = 3.

L’équation z²= – 5 – 12i admet donc deux solutions opposées : z₁= 2 – 3i et z₂= – 2 + 3i (z₁= – z₂).

a²– b²= – 5 a²+ b²= 13 ab = – 6.

5

a²– b²= – 5 2ab = – 12.

5

Exercice résolu 3

Calcul de cos nq ou sin nq.

Exprimer cos 3q en fonction de cosq.

On applique la formule de Moivre au cas n = 3, on obtient : (cosq+ i sinq)³= cos 3q + i sin3q.

En développant (cosq + i sinq)³avec la formule du binôme (cf. chapitre 0, page 12), on obtient :

cos³q + 3i cos²qsinq – 3cosqsin²q – i sin³q.

On a ainsi :

cos 3q + i sin3q = cos³q– 3cosqsin²q + 3i cos²qsinq – i sin³q.

En utilisant l’égalité des parties réelles, on a : cos 3q = cos³q – 3cosqsin²q.

Sachant que cos²q+ sin²q = 1, il vient : cos 3q = cos³q – 3cosq(1 – cos²q).

Ainsi :

cos 3q = 4cos³q – 3cosq.

4. Nombres complexes et géométrie, lignes de niveau

Si f est une fonction de 4dans 3, on appelle ligne de niveau k de f l’ensemble des points du plan rapporté à un repère orthonormal (O ; uü, vü ) dont l’affixe z vérifie f (z) = k (k est une constante réelle).

Définition

Cas particuliers

• f (z) = ¬e (z) (partie réelle de z).

Si ¬e (z) = k, le point M d’affixe z a une abscisse constante.

Les lignes de niveau k de f sont donc les droites d’équations x = k.

• f (z) = ¡m (z) (partie imaginaire de z).

Les lignes de niveau k de f sont les droites d’équation y = k.

Si A et B sont deux points distincts du plan rapporté au repère orthonormal (O ; uü, vü), d’affixes respectives z_Aet z_B, on a :

AB = |z_B– z_A| et ( uü, ⁄Aº]Bù) = arg ( z_B– z_A).

À savoir

Exercice résolu 1

Déterminer tous les points M du plan, d’affixe z, tels que : |z – (2 + i)|= 3.

Si A est l’image de 2 + i on a |z_M– z_A|= 3 soit AM = 3. M est donc un point du cer- cle de centre A et de rayon 3. L’ensemble de tous les points M cherchés est le cercle de centre A et de rayon 3.

Exercice résolu 2

Déterminer tous les points M du plan, d’affixe z, tels que : arg (z – (2 + i) ) = . On obtient ( uü, ⁄AMù) = , M est donc un

point de la demi-droite passant par A et fai- sant l’angle avec uü (privée du point A).

L’ensemble de tous les points M cherchés est la demi-droite ouverte ] Ax) d’origine A, de coefficient directeur 1 et appartenant au pre- mier quadrant.

p 4

p 4

p 4

;;;;;;

;;;;;;

;;;;;;

;;;;;;

;;;;;;

O uü vü

A

p 4

x

Si on note A le point d’affixe a :

• les lignes de niveau k de zú |z – a| sont les cercles de centre A et de rayon k (k réel positif) ;

• les lignes de niveau k de zúarg ( z – a ) sont les demi-droites issues de A, privées du point A, faisant l’angle k avec le vecteur uü.

À savoir

5. Formules d’Euler

Les formules d’Euler sont :

cos x = ; sin x = .e^ix– e^{– ix} 2 i e^ix+ e^{– ix}

2

À savoir

(1707-1783). Mathématicien suisse. Il était aussi physicien, ingénieur et philosophe.

C’est l’un des fondateurs du calcul intégral.

Ces formules permettent de linéariser des polynômes trigonométriques, c’est-à-dire de les écrire sous la forme d’une somme de termes du type cos nq ou sin nq.

Exercice résolu

Linéariser f (x) = cos³x – cos²x + 2.

• Linéarisation de cos³x.

En utilisant les formules d’Euler, on a : cos³x =

3

e^{i x}+ e^{– i x}

2

1

Chapitre

1

cos³x = (e^{3i x}+ 3 e^{i x}+ 3 e^{– i x}+ e^{– 3i x})

= + 3

= (cos 3x + 3cos x).

• Linéarisaton de cos²x.

En utilisant les formules d’Euler, on a : cos²x =

2

= (e^{2i x}+ 2 + e^{– 2i x})

= + 1

= (cos 2 x + 1).

N.B. : cette deuxième linéarisation peut être réalisée en utilisant la formule donnant cos²x en fonction de cos2 x.

On obtient finalement :

f (x) = cos 3x + cos x – cos 2 x – + 2

= cos 3x – cos 2 x + cos x + . 3 2 3

4 1

2 1

4

1 2 1

2 3

4 1

4 1 2

e^{2 i x}+ e^{– 2 i x}

2 1

1 2 1 4

e^{i x}+ e^{– i x}

2 1

1 4

e^{i x}+ e^{– i x}

2

2 e^{3i x}+ e^{– 3i x}

1

2 Équations du second degré à coefficients réels

On considère l’équation ax²+ bx + c = 0 où a, b et c sont des nombres réels et a≠0. D= b²– 4 ac.

• Si D> 0, l’équation a deux solutions réelles distinctes : x₁= ; x₂= .

• Si D= 0, l’équation a une solution réelle unique : x₁= .

• Si D< 0, l’équation a deux solutions complexes conjuguées : x₁= ; x₂= .– b – i÷⁄–D 2a – b + i÷⁄–D

2a – b

2a

– b + ÷⁄D 2a – b – ÷⁄D

2a

À savoir

Exercice résolu

Résoudre dans 4les équations suivantes :

• 3 z²– 2 z + 1 = 0 ;

• z³– 1 = 0.

• Résolution de 3 z²– 2 z + 1 = 0.

On calcule le discriminant : D= 1 – 12 = – 11.

Donc les solutions complexes sont :

z₁= et z₂= .

D’où : í= , .

• Résolution de z³– 1 = 0.

z³– 1 peut se mettre sous la forme (z – 1) (a z²+ b z + c ).

On obtient a = b = c = 1,

donc l’équation z³– 1 = 0 devient (z – 1) (z²+ z + 1) = 0, d’où z = 1 ou z²+ z + 1 = 0.

La résolution de z²+ z + 1 = 0 donne :

D= 1 – 4 = – 3 et z₁= et z₂= . Donc : í= 1,

5

6

– 1 + i÷3 2 – 1 – i÷3

2 2 + i÷ÿ11

6

6 2 – i÷ÿ11

5

2 + i÷ÿ11 6 2 – i÷ÿ11

6

T ^ravaux

T ^ravaux _pratiques

Linéarisation

1

Linéariser sin x cos³x en utilisant les formules d’Euler. En déduire une primi- tive de sin x cos³x.

Pouvait-on trouver directement une primitive de cette expression ? En déduire la forme linéarisée de cos⁴x.

• On peut écrire sin x = et cos³x =

3

. En développant, on obtient :

3

= Donc sin x cos³x =

=

= +

= (sin 4x + 2sin 2x).

Une primitive de sin x cos³x est donc :

F (x) = – cos 4x – cos 2x = – cos 4x – cos 2x.

• On constate que si on pose u = cos x, sin x cos³x peut s’écrire – u©u³ dont une primitive est – . On a donc F₁(x) = – cos⁴x.

• Deux primitives F₁ et F₂ d’une même fonction sont égales à une constante près, donc on peut écrire :

– cos⁴x = – cos 4x – cos 2x + k d’où : cos⁴x = cos 4x + cos 2x – 4 k

Cette égalité étant vraie pour tout x, on peut déterminer k en prenant par exem- ple x = 0 :

1 = + – 4 k ; – 4 k = .

On obtient finalement : cos⁴x = cos 4x + cos 2x + . 3 8 1

2 1

8 3 8 1

2 1 8

1 2 1

8

1 8 1

32 1

4

1 4 u⁴

4

1 8 1

2

2 1

1

1 8

2e^{2i x}– 2e^{– 2i x}

2

2i e^{4i x}– e^{– 4 i x}

1

e^{4i x}+ 3 e^{2i x}+ 3 + e^{– 2 i x}– e^{2i x}– 3 – 3 e^{– 2 i x}– e^{– 4 i x}

2 1

1 4

e^{3i x}+ 3 e^{i x}+ 3 e^{– i x}+ e^{– 3i x}

2 1

e^{i x}– e^{– i x}

2 1

1 4

e^{3i x}+ 3 e^{i x}+ 3 e^{– i x}+ e^{– 3i x}

2 1

1

2

1

e^{i x}+ e^{– i x}

2 1

e^{i x}– e^{– i x}

2 1

Corrigé

Utilisation de la formule de Moivre

2

Calculer sin 3 x en fonction de sin x.

On a (cos x + i sin x)³= cos 3 x + i sin 3 x (1) (formule de Moivre).

En développant le premier membre de cette égalité, on obtient :

(cos x + i sin x)³= cos³x + 3 cos²x i sin x + 3 cos x (i sin x)²+ (i sin x)³

= cos³x – 3 cos x sin²x + i ( 3 cos²x sin x – sin³x).

En identifiant les parties imaginaires des deux membres de l’égalité (1) on obtient : sin 3 x = 3 cos²x sin x – sin³x

soit encore en remplaçant cos²x par 1 – sin²x sin 3 x = 3 (1 – sin²x) sin x – sin³x

= 3 sin x – 4 sin³x.

Corrigé

L’essentiel L’essentiel

Chapitre 1

Écritures

z = a + i b = r(cosq + i sinq) = re^iq = [r, q]

avec r = ÷⁄a²+ b², cosq = et sinq = (pour z≠0).

Opérations

re^iq ¥r©e^iq© = r r©e^{i (q+ q©)} ; = e^{i (q– q©)} ; (re^iq)ⁿ= rⁿe^{i nq}.

Formules d’Euler

cosq = et sinq = .

Équations

L’équation az²+ bz + c = 0, où a, b, c sont trois nombres réels et a≠0, admet deux solutions complexes :

z₁= et z₂= où – b + i÷D D= b²– 4 ac.

2 a – b – i÷D

2 a

e^iq – e^{– iq} 2i e^iq + e^{– iq}

2 r r©

re^iq r©e^iq©

b r a

r

À savoir

• Utiliser les formules d’Euler (exercice n° 5).

• Résoudre des équations (exercices n° 9 à 12 et 18 à 20).

• Transformer une équation en utilisant une identification (exercices n° 18 et 19).

• Utiliser deux types d’écritures d’un complexe (exercices n° 1, 2, 7, 8 et 18 à 20).

À savoir faire

Passage d’une forme à une autre

• ^{Exercice 1}

Écrire les nombres complexes suivants sous forme trigonométrique.

z₁= 3 i ; z₂= 1 – i ; z₃= 1 + i÷ÿ3 ; z₄= ÷ÿ3 – i ; z₅= ÷ÿ2 + i÷ÿ6.

• ^{Exercice 2}

Écrire chacun des nombres complexes suivants sous forme algébrique.

z₁= 3, ; z₂= 1, ; z₃= ,

z₄= 2, – ; z₅= 3 e^{2 ip} ; z₅= 2 e⁵ⁱ .

Formules de trigonométrie

• ^{Exercice 3}

En utilisant la formule de Moivre, retrouver les for- mules donnant : cos2q et sin2q.

• ^{Exercice 4}

En utilisant la formule de Moivre, calculer : cos4q et sin4q.

Linéarisation

• ^{Exercice 5}

Linéariser : a) cos²x sin²x.

b) cos³x + 2cos²x + cos x.

c) sin³x + 2sin²x + sin x.

d) sin²(3x) + cos²(2x).

Exercices de calcul

• Exercice 6 *

On considère la fonction : f : 4– {2 i} Æ4

zú z + i . z – 2 i

p

4

5p

3

3p

4

4 1

3

4

3

4

3

Rappels de Terminale

b) En posant z = x + iy (x et y sont réels), calculer la partie réelle et la partie imaginaire de f (z).

c) Quel est l’ensemble des points d’affixe z tels que :

• f (z) soit un réel ?

• f (z) soit un imaginaire pur ?

• Exercice 7 *

On considère les deux nombres complexes : z₁= ÷ÿ6 – i÷ÿ2 et z₂= ÷ÿ3 + i÷ÿ3.

a) Calculer z₁z₂et .

b) Mettre z₁ et z₂sous forme trigonométrique puis z₁z₂et .

En déduire le cosinus et le sinus de : et de .

• Exercice 8 **

En utilisant une méthode analogue à celle de l’exercice précédent et en utilisant eⁱ et eⁱ calculer :

cos , sin , cos et sin . En déduire :

cos , sin , cos et sin .

• Exercice 9

Résoudre dans 4les équations suivantes : a) 3 z²+ z + 4 = 0.

b) z²+ 2 z + 2 = 0.

c) z²– 6 z + 11 = 0.

• Exercice 10

Résoudre dans 4les équations suivantes : a) z²+ 3z – 4 = 0.

b) z²+ 3z + 4 = 0.

c) z²– 3 z + 4 = 0.

Équations à coefficients réels

13p 12 13p

12 11p

12 11p

12

p 12 p

12 7p

12 7p

12

p 4 p

3

– 5p 12 p

12 z₁

z₂

z₁ z₂

et problèmes

E ^xercices

E ^xercices

et problèmes

E ^xercices E ^xercices

• Exercice 11 *

On pose P (z) = 2 z³+ 3z²– z – 4.

a) Calculer P (1) puis factoriser P (z).

b) En déduire la résolution dans 4 de l’équation P (z) = 0.

• Exercice 12 **

On pose P (z) = 2 z³– 3z²+ 2z – 3.

Calculer P (i) et P (– i), en déduire la factorisation de P (z) et en déduire les solutions dans 4 de P (z) = 0.

• Exercice 13

Déterminer l’ensemble des points du plan d’affixe z tels que :

a) ¡m (z) = 2.

b) ¬e (z) = 3

• Exercice 14

Déterminer l’ensemble des points M du plan d’affixe z tels que z = 2 + jw où w varie dans l’intervalle [0, +•[ et où j désigne le complexe de module 1 et d’argument .

• Exercice 15

On considère la fonction h définie par : h : 3*₊Æ3

xúx + .

1) Étudier les variations de h ainsi que ses limites aux bornes de 3*₊.

2) On pose z (x) = 1 + i h(x) pour x > 0. Quel est l’ensemble (E) des points du plan décrit par les points d’affixe z (x) lorsque x parcourt 3*+.

• Exercice 16

Quel est l’ensemble des points M d’affixe z du plan vérifiant |z – 3|= 2 ?

1 x p

2

Lignes de niveau

• Exercice 17

Quel est l’ensemble des points M d’affixe z du plan vérifiant arg ( z – (3 – i )) = ?

• Exercice 18 *

1) Le nombre i est le nombre complexe de module 1 et dont un argument est .

On considère P (z) = z³– 4z²+ 6z – 4, où z est un nombre complexe.

a) Calculer P (2).

b) Déterminer les nombres réels a, b et c tels que :

P (z) = (z – 2) (az²+ bz + c).

c) Résoudre dans l’ensemble des nombres com- plexes 4l’équation P (z) = 0.

2) Le plan est muni d’un repère orthonormal direct (O, uü, vü) d’unité 5 cm.

a) Placer les points A, B et C d’affixes respecti- ves :

z_A= 2, z_B= 1 + i et z_C= 1 – i.

b) Déterminer le module et un argument de z_A, z_B et z_C.

c) Montrer que C est l’image de B par une rota- tion de centre O dont on précisera l’angle.

d) Déterminer les affixes des points I et J, milieux respectifs des segments [OA] et [BC].

e) Quelle est la nature du quadrilatère OBAC ? Justifier la réponse.

• Exercice 19 *

Le plan complexe est rapporté au repère ortho- normal direct (O, uü, vü), d’unité graphique 1 cm.

On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument .

Soit P (z) = z³– 8z – 32, où z est un nombre com- plexe.

p 2

p 2

Problèmes

p 3

1) a) Calculer P (4) .

b) Résoudre dans 4l’équation z²+ 4z + 8 = 0.

c) Déterminer les réels a, b et c tels que : P (z) = (z – 4) (az²+ bz + c).

d) Déduire des questions précédentes la résolu- tion de l’équation P (z) = 0.

2) Dans le plan complexe, on considère les points A, B et C d’affixes respectives :

z_A= 4, z_B= – 2 + 2 i et z_C= – 2 – 2 i.

a) Faire une figure, sur la copie, représentant les points A, B et C dans le repère.

b) Déterminer le module et un argument des nombres complexes z_Bet z_C.

c) Déterminer, en justifiant, la nature du triangle OBC.

3) Soit Wle point d’affixe z_W= .

a) Déterminer les modules des nombres com- plexes z_A– z_W, z_B– z_W et z_C– z_W.

b) Que représente Wpour le triangle ABC ?

• Exercice 20 *

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et dont un argument est p.

2

2 3

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonor- mal (O, uü, vü) d’unité graphique 1 cm.

1) Résoudre dans l’ensemble des nombres com- plexes l’équation suivante, en donnant les solu- tions sous forme algébrique :

z²+ 3 z + 3 = 0.

2) On considère les nombres complexes : z₁= – + i et z₂=‡z₁. a) Écrire z₁sous forme trigonométrique.

b) Construire avec précision dans le repère (O, uü, vü) les points A et B d’affixes respectives z₁ et z₂.

On laissera apparents les traits de construction.

3) On appelle D le point d’affixe z₃= – i et K le point d’affixe z₄= 1.

a) Montrer que les points A, B et D appartiennent à un cercle Çde centre K.

b) Montrer que le point K est le milieu du seg- ment [AD] .

c) Dans le repère (O, uü, vü), placer les points K et D, et tracer le cercle Ç.

Déterminer la nature du triangle ABD.

÷3 2 7 2

÷3 2 3 2