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Les automates finis
Dominique Perrin
To cite this version:
Dominique Perrin. Les automates finis. Revue des Sciences et Technologies de l’Information - Série
TSI : Technique et Science Informatiques, Lavoisier, 2000, 19 (3), pp.395-402. �hal-00793910�
DominiquePerrin
15 septembre 1999
Abstrat
Wepresentsomereentappliationsusingniteautomataintheelds
oftextompression,oding,naturallanguageproessingandgames.
1 Introdution
Latheoriedesautomates agardedepuissesdebuts undoubleaspetde
theoriemathematiqueetdeataloguedemethodespourdiversproblemes
d'informatique omme l'analyse lexiale, le traitement de textes, ou la
speiation de proessus. Onpourra trouveren[9℄ unepresentation a
araterehistoriquedetousesaspetsremontantlaha^nedesevenements
depuislesannees40eten[8℄ unepresentationgenerale desaspets on-
temporains.
Letexte i-dessous ontient quelquesexemples de lavarietedes do-
mainesd'appliationsdesautomatesnisallantdutraitementdulangage
naturela latheorie desjeux. Ils'agit d'un hoixpersonneldequelques
sujetsparmibeauoupd'autrespossibles.
Dupointdevuemathematique,latheoriedesautomatesnisontinue
et,amonavis,ontinueraasusiterdesreherhesinteressantes. Jepense
que ei est lie a la onjontion de plusieurs fateurs favorables parmi
lesquelsjeiterai :
L'existenedenombreusesonjeturesnonenoreresoluesainsique
lasolutiondeertainesd'entreellesdanslepassereent.
Les liensaved'autres theories mathematiques dont ladynamique
symbolique,latheoriedesnombresoulaombinatoirealgebrique.
L'existeneennd'unegrandevarieted'appliations, donte texte
donneunaperu.
2 Compression de textes
La transmission (oul'arhivage) dedonneesutilise defaon maintenant
tresfrequentedesmethodesdeompression. Ellespermettentdegagner
un fateurimportantdansle debitdes transmissions. Les methodesles
plusourantespourlaompressiondetextessontleodage de Human
(logiielsompatetpak)ouleodagedeZiv-Lempel(logiielsompress
nistransformantuntexteenuntexteplusourtsansperted'information.
Une nouvelle methode basee elle aussi surles automates a ete pro-
poseereemmentparM.Crohemore,F.Mignosi,A.RestivoetS.Salemi
[4 ℄. Son prinipeest d'utiliserun antiditionnaire, 'esta direuneliste
des mots quin'apparaissent pas dansle texte. La methode supposeun
alphabet binaire, disons fa;bg. L'idee est tres simpleet onsiste a ex-
ploitersystematiquementl'informationfournieparl'antiditionnaire. Si,
parexemple,l'antiditionnaireestfbb;aaa;bababg,onauraleodage
a b a a b a b a a b a a b a b a a b a b a
a b a b a b b
detellefaonqueletextebinaire originaldelongueur 21estodeparle
ouple (abababb;21) (on doitgarder lalongueur dela soure). La om-
pressionfontionneainsi: onpartd'unelettrex=aoubdutextesoure
etonontinuetantqu'il n'yaqu'unepossibilitepourlalettre suivante,
ompte tenudes mots interdits. Onode tout le blo par sa premiere
lettre. Onreommenealalettresuivante. Ledeodageutiliselem^eme
prinipeal'envers. Leodageetledeodagepeuvent^etrederitsparun
transduteurommesurlaFigure1.
a /a a /a
a /a b /b
b /b b /b b /- a /-
a /- a /-
a/
a/ b/
a/ b/
a/
b/
a/ b/
b/
aabaa aabab
bab ab
aa b
b a
baa a
Figure1: Codeuretdeodeur
Lamethodeestasymptotiquementoptimaleentauxdeompression.
L'undesesavantagesparrapportauxautresmethodesonnuesestlefait
que leodageestune fontionloale, i.e. sans propagation deserreurs.
Cela permetde faire de lareherhe de motifs diretement sur le texte
ompresse.
3 Codage
Lessystemesdeodagebasessurdesautomatesnissontnombreuxdans
ledomaine duodagepour anauxontraints. Le livre deMarie-Pierre
Bealpresentenombrede esmethodes ainsique des exemples deodes
utilisesdansdiversontextes(dontleodagepourl'erituresursupport
magnetique)[2 ℄.
automate ni du theoreme de Kraft-MMillan. Ce dernier aÆrme que
l'onpeutrealiserunodagesurunalphabetaklettresdemotsayantune
distribution delongueurs u= (u
n )
n1
ssi lasuite usatisfait l'inegalite
bienonnue
X
n1 u
n k
n
1
'estadire enore silaserie u(z)= P
n1 u
n z
n
verieu(1=2) 1. On
montredans[1 ℄quel'onpeutdeplusrealiserleodageparunautomate
nissilasuiteuestladistributiondelongueursd'unlangagereonnaiss-
able par automate ni. La preuve utilise une nouvelle notion appelee
automatedessuper-etats.
OntrouverasurlaFigure3unexempled'appliationdeettemethode.
Onpart d'un automate repr'esente a gauhe etdont ladistribution de
longueursapourserie u(z)=3z 2
=(1 z 2
) desortequeu(1=2)=1. On
obtientd'abordl'arbreinniindique
droitequidonneleodeprexesur
unalphabetX =(aa)
(ab+ba+bb).
i
Figure2: Codageparunodeprexebinaire.
Ceproblemeestlieauodagepouranauxontraintset,notamment
autheoremedeodaged'Adler,HassneretCoppersmith(voir[6℄).
4 Langage naturel
Lesautomatesnisfournissentunadrepourladesriptiondenombreux
phenomenes liesau langage naturel,aux niveaux phonetique, lexialou
m^emesyntaxique. Unouvragereent,editeparEmmanuelRoheetYves
Shabes[10 ℄ donneunpanoramadeepointdevue. Denouvellesappli-
ationsdesautomates autraitement delangues naturellessontmotivees
parl'ameliorationdesmoteursdereherhesurinternet.
L'un des hapitres de [10 ℄ derit le logiiel INTEX realise par Max
Silberztein [11 ℄. Ilonstitueuneimplementationd'un grandnombrede
methodesd'analysedetextesbaseessurdesautomatesnis. Ilutilisele
systemededitionnairesdu LADLquirepertoriedansplusieurslangues
de faon exhaustive les formes de base ou ehies de mots simples ou
omposes(voir[5 ℄). Ilontientdesoutilspermettantd'utiliseroud'editer
ungrandnombredegrammairesommeelle quiappara^tsurlaFigure
4 et qui derit les limites de phrases du point de vue de la forme de
l'alphabetetdelapontuation.
Lesfontionsainsirealiseessonttresnombreuses,depuisl'analysesyn-
taxiquejusqu'alareherhedoumentaire. Lelogiielestnotammentu-
tilisepourl'enseignementdeslangues. Ilsertaussial'indexationdeorpus
eta permis reemment d'indexer ompletement l'ensemble des resumes
d'artilesonstituantlabasededonneesduNIH(del'ordreduGo).
Un autre domaine d'appliation des automates nis est elui de la
phonetique. Mehryar Mohri,Fernando PereiraetMihael Rileyont mis
aupointunelibrairied'automatesderivantpardestransduteurs,omme
surlaFigure4,unvoabulairephonetise[7 ℄.
5 Jeux et automates
Undesdomaines tresatifsdelareherhesurles automatesdurantles
dernieresanneesaeteeluides jeux. Un ompte-renduassezompleta
ete realise parWolfgangThomas [12 ℄. Lesjeux onsideressont des jeux
1 2 3
Figure5: Jeusurungraphe
a deuxjoueurs a information parfaite (ne faisant don pas intervenir le
hasard). Ungrandnombredeesjeux,omprenantbienentenduleelebre
jeudeNim,sontderitsdanslelivredeGuy,ConwayetBerlekamp([3 ℄).
DesproblemesdedeisiontresdiÆilesapparaissentlorsquel'onon-
sideredesjeuxinnis(Conwaydistinguelesjeuxindenisdesjeuxeternels).
Pourtant esjeux apparaissent naturellement dansles modeles de om-
portementdeproessus. Ondenitdansesjeuxlespartiesgagnantesen
speiantl'ensembledesetatsappara^ssantinnimentsouvent. Celaper-
metd'exprimerdesonditionssurlesproessusditsd'equite(fairness):
sil'evenementU seproduitinnimentsouvent,alorsl'evenementV doit
aussiseproduireinnimentsouvent.
Un exemple simplede tels jeux appara^t surla Figure 5. Les deux
joueurs jouent sur le graphe en hoisissant suessivement les sommets
d'unhemin.Lapositiondedepartestlesommet2.LejoueurIommene
enhoisissantlesommet1oulesommet3. LejoueurIIn'a auunhoix
puisqu'il doitrevenirau sommet2 etlam^emesituation estreproduite.
LejoueurIgagnesileheminpasseinniment souventparlesommet1
etparle sommet3. Ainsi, lejoueur Igagne toujoursaondition dene
pastoujoursjouerlem^emesommetauboutd'unertaintemps.
Le resultat le plusmarquant dee point de vue est le theoreme de
Gurevith et Harrington qui dit essentiellement que pour un jeu joue
sur un graphe ni, l'un des deux joueurs a une strategie gagnante ne
neessitant qu'unememoirenie,i.e. alulableparunautomateni.
Dansl'exemplepreedent, lejoueur I a unetelle strategie gagnante
onsistantajouerunefoissurdeuxlessommets1ou3.
Uneseriedetravaux,d^usenpartiulieraR.MNaughton,W.Zielonka
etN.Klarlundontpermisdedegagerl'importanedelanotiondeha^ne
alternante. Ils'agitd'ensemblesdelaforme
X=X1 X2+X3 :::
ou les X
n
forment uneha^nederoissanteX
1
X
2
X
3
::: . On
aainsimontreenpartiulier qu'unjeu admetpourl'un desjoueurs un-
e strategie gagnantesans memoire ssi l'ensemble des parties gagnantes
pourlui peut^etrederitparuneha^nealternanted'ensemblessimples.
Dansl'exemplepreedent,lejoueurIn'a pasdestrategiegagnantesans
memoire.
diÆiles,yomprisletheoremedeRabinsurladeidabilitedelalogique
monadiqueduseondordredesdeuxsuesseurs(voir[12 ℄).
Referenes
[1℄ Frederique Bassino, Marie-Pierre Beal, and Dominique Perrin.
A nite-state version of the Kraft-MMillan theorem. 1999.
(www-igm.univ-mlv.fr/ beal/Reherhe/Publiations).
[2℄ Marie-PierreBeal. CodageSymbolique. Masson,1993.
[3℄ ElwinR.Berlekamp,JohnH.Conway,andRihardK.Guy.Winning
Ways. AademiPress,1982.
[4℄ Maxime Crohemore, Filippo Mignosi, Antonio Restivo, and Ser-
gio Salemi. Data ompression using antiditionnaries. Teh-
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(www-igm.univ-mlv.fr/ ma/DCA.html).
[5℄ MaurieGrossandDominiquePerrin,editors. EletroniDitionar-
ies and Automata in Computational Linguistis. Leture Notes in
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[6℄ Brian H. Marus, Ron M. Roth, and Paul H. Siegel. Constrained
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theory,volume2,pages1635{1764. NorthHolland,1998.
[7℄ Mehriar Mohri. Finite state transduers in language and
speeh proessing. Computational linguistis, 23, 1997.
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[8℄ DominiquePerrin. Finite automata. In JanVanLeeuwen, editor,
Handbook of Theoretial ComputerSiene, pages1{53. NorthHol-
land,1990.
[9℄ DominiquePerrin.Lesdebutsdelatheoriedesautomates.Tehnique
etSieneInformatique,14:409{4033, 1995.
[10℄ EmmanuelRoheandYvesShabes. Finite-StateLanguageProess-
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[11℄ Max Silberztein. Ditionnaires eletroniques et analyse au-
tomatique de textes : le systeme INTEX. Masson, 1993.
(www.ladl.jussieu.fr).
[12℄ Wolfgang Thomas. Languages, automata and logi. In Gregorz
Rosenberg and Arto Salomaa, editors, Handbook of Formal Lan-
guages,volume3,pages389{449.Springer-Verlag,1997.
