Focalisation bayésienne: une approche unifiée du problème inverse en acoustique

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Focalisation bayésienne: une approche unifiée du problème inverse en acoustique

Jérôme Antoni

To cite this version:

Jérôme Antoni. Focalisation bayésienne: une approche unifiée du problème inverse en acoustique.

10ème Congrès Français d’Acoustique, Apr 2010, Lyon, France. �hal-00539764�

10`eme Congr`es Fran¸cais d’Acoustique

Lyon, 12-16 Avril 2010

Focalisation bay´esienne: une approche unifi´ee du probl`eme inverse en acoustique

J´ erˆ ome Antoni

¹

1Universit´e de Technologie de Compi`egne, UMR CNRS 6253, 60205 Compi`egne, France, e-mail: antoni@utc.f

La localisation et/ou la reconstruction de sources acoustiques ` a partir des mesures fournies par une antenne discr` ete est un probl` eme acoustique inverse abord´ e suivant de multiples approches. Les m´ ethodes classiques (formation de voie, holographie, sources ´ equivalentes) se ram` enent toutes, implicitement ou explicitement, ` a interpoler les mesures de l’antenne sur une base de fonctions spatiales dont la propagation est connue, puis ` a reconstruire les sources par r´ etro-propagation (extrapolation).

Cette communication se propose de r´ epondre de mani` ere g´ en´ erale ` a la question du choix optimal des fonctions de base spatiales ´ etant donn´ es une surface source et une g´ eom´ etrie d’antenne, connues mais quelconques, et

´

eventuellement des connaissances apriori sur la distribution spatiale des sources. La r´ eponse ` a cette question est non seulement fondamentale pour guider l’utilisateur vers le choix d’une m´ ethode inverse optimale, mais aussi en raison des nombreux enseignements qui en d´ ecoulent sur la mani` ere de r´ egulariser le probl` eme inverse, de quantifier l’erreur de reconstruction, d’optimiser la conception de l’antenne.

L’approche suivie pour ´ etudier cette question se fonde sur l’inf´ erence bay´ esienne qui permet de fusionner des informations de nature ` a la fois physique et probabiliste. Les principales conclusions sont les suivantes :

– ´ etant donn´ e une antenne de M capteurs, les fonctions de base spatiales optimales sont les fonctions propres associ´ ees au M premi` eres valeurs singuli` eres d’un op´ erateur de propagation sp´ ecifique continu-discret entre la surface source et les capteurs de l’antenne,

– la prise en compte des aprioris sur la distribution spatiale des sources se traduit par l’ajout d’une m´ etrique sp´ ecifique sur l’op´ erateur pr´ ec´ edant,

– ces aprioris permettent d’am´ eliorer, parfois de fa¸ con consid´ erable, la r´ esolution spatiale du probl` eme inverse selon un principe de “focalisation bay´ esienne”,

– ces aprioris contribuent ` a r´ egulariser le probl` eme inverse.

1 Introduction

Nous consid´ erons dans cette communication le probl` eme acoustique inverse qui consiste ` a reconstruire une distribu- tion source sur une surface donn´ ee ` a partir d’un ensemble de mesures restitu´ ees par une antenne de microphones.

L’op´ erateur de propagation qui caract´ erise le transfert des ondes de la surface source aux microphones est suppos´ e connu, soit sous forme analytique, soit sous forme num´ erique.

La distance entre entre la surface source et les microphones est arbitraire de mani` ere ` a englober aussi bien les probl` emes en champ lointain qu’en champ proche. Cette probl´ ematique est suffisamment g´ en´ erale pour accepter comme cas parti- culiers la formation de voies (beamforming), l’holographie acoustique ou la reconstruction de sources ´ equivalentes.

De mani` ere g´ en´ erale, le probl´ ematique implique d’abord une phase d’interpolation qui consiste ` a projeter les mesures des microphones sur une base de repr´ esentation spatiale, continue et connue, puis une phase de r´ etro-propagation qui consiste ` a calculer la distribution source qui, par rayonne- ment, produit le champ acoustique repr´ esent´ e par cette base.

Par exemple, la formation de voie r´ ealise une interpolation des mesures sur des ondes planes ou sph´ eriques selon l’hy- poth` ese de champ lointain ou proche, l’holographie acous- tique en champ proche une interpolation sur des ondes planes [1][2], des harmoniques sph´ eriques [3] ou cylindriques [4] se- lon la topologie de la surface source et la m´ ethode des sources

´ equivalentes une interpolation sur des champs monopolaires d´ ecentralis´ ees [5]. Ces approches soul` event naturellement les questions du choix critique du nombre de fonctions d’ondes

`

a utiliser, du positionnement des centres des harmoniques

sph´ eriques ou des sources monopolaires ´ equivalentes, de la direction et des fr´ equences spatiales des ondes planes, etc.

Ces questions se ram` enent ` a celle, centrale, du “meilleur”

choix possible d’une base d’interpolation pour un probl` eme donn´ e. ´ Etant donn´ ees une topologie de surface source et une g´ eom´ etrie d’antenne (impliquant un nombre M de micro- phones et une distance z

m

` a la surface source), quelle est la base d’interpolation de dimension la plus petite possible qui minimise l’erreur de reconstruction de la distribution source ? La r´ eponse ` a cette question a des implications importantes pour la r´ esolution du probl` eme inverse :

– elle garantie d’atteindre syst´ ematiquement la plus pe- tite erreur de reconstruction possible

– et ce avec le minimum de fonctions de base n´ ecessaires, ce qui r´ ealise une ´ economie certaine en termes de temps de calcul et de capacit´ e de stockage.

Nous proposons dans cette communication une solution qui d´ ecoule d’une approche probabiliste bay´ esienne.

2 Probl` eme directe

Bien que l’approche que nous proposons soit g´ en´ erale, nous la pr´ esentons ici sur le probl` eme simplifi´ e o` u la fonc- tion de Green G(r|r

^′

) caract´ eris´ ee par des conditions de Neu- mann homog` enes sur la surface source S est disponible. Le probl` eme directe dans le domaine fr´ equentiel (convention e

^−iωt

) se formule alors

p

_M

(r

i

) =

∫

S

s(r)G(r

i|r)dS(r) +

ν

i

, i = 1, ..., M (1)

avec p

_M

(r

i

) la pression acoustique mesur´ ee par le i` eme mi- crophone positionn´ e en

ri

, ν

i

le bruit de mesure au micro- phone et s(r) = iωρ

0

v

n

(r) la distribution source exprim´ ee en fonction de la composante v

n

(r) de la vitesse particulaire normale en S (orient´ ee de l’antenne vers la source). Apr` es concat´ enation des M mesures microphones dans un vecteur colonne

p_M

, le probl` eme directe se reformule

p_M

=

∫

S

s(r)G(r)dS(r) +

n,

i = 1, ..., M (2) o` u le i` eme ´ el´ ement du vecteur colonne

G(r) est

G(r

i|r).

3 Formulation du probl` eme in- verse

L’objectif du probl` eme inverse est de reconstruire la distribution source inconnue ` a partir des mesures bruit´ ees restitu´ ees par les microphones. Les solutions lin´ eaires ` a ce probl` eme, quel que soit l’approche consid´ er´ ee, conduisent toutes ` a une estimation ˆ s(r) de la source sous la forme d’une combinaison lin´ eaire des M mesures p

_M

(r

i

) dont les coeffi- cients d´ ependent du point de calcul

r, soit [6]

ˆ s(r) =

∑

M i=1

a

i

(r)p

_M

(r

i

) (3) Une mani` ere alternative de poser le probl` eme est sous la forme

ˆ s(r) =

∑

P k=1

c

k

ϕ

k

(r) .

=

Φ^tc

(4)

o` u les c

k

sont des coefficients qui d´ ependent des mesures p

_M

(r

i

) et o` u les ϕ

k

(r) sont des fonctions de base spatiales ind´ ependantes des mesures, qui constituent une base de d´ ecomposition pour la distribution source. A ce stade il est important de noter que les inconnues sont ` a la fois les c

k

, les ϕ

k

(r) et leur nombre P .

3.1 R´ esolution du probl` eme inverse

3.1.1 Fonctionnelle de coˆ ut

Sur la base de l’´ equation (4), la r´ esolution du probl` eme inverse est ´ equivalente ` a l’estimation des param` etres c

k

et ϕ

k

(r) ` a partir des mesures

p_M

. L’inf´ erence bay´ esienne offre une mani` ere ´ el´ egante de r´ ealiser cet objectif en fournissant la distribution de probabilit´ e des param` etres cherch´ es condi- tionn´ ee ` a l’observation des mesures, soit [c,

Φ|p_M

] (nous uti- lisons la notation [x] pour exprimer la disribution de proba- bilit´ e d’une variable al´ eatoire x). Par application de la r` egle de Bayes, il s’ensuit :

[c,

Φ|p_M

] = [p

_M|c,Φ][c,Φ]

[p

_M

] (5)

o` u

i

) la fonction de vraisemblance [p

_M|c,Φ] repr´

esente la probabilit´ e d’observer les mesures ´ etant donn´ e un jeu de param` etres c

k

et ϕ

k

(r), k = 1, ..., P,

ii

) [c,

Φ] la proba-

bilit´ e

a priori

des param` etres et

iii) l’´

evidence [p

_M

] =

∫ [p

_M|c,Φ][c,Φ]dcdΦ

la probabilit´ e d’observer les donn´ ees moyenn´ ee sur tout l’espace des r´ ealisations possibles des pa- ram` etres. A noter que l’´ equation (5) illustre de mani` ere re- marquablement concise comment le probl` eme inverse (pro- babilit´ e [c,

Φ|pM

] d’obtenir la source ´ etant donn´ e les obser- vations) s’exprime en fonction du probl` eme directe (proba- bilit´ e [p

_M|c,Φ] de pr´

edire les observations ´ etant donn´ ee la source).

a)

Vraisemblance

En vertu du th´ eor` eme de la limite centrale appliqu´ e ` a la

transformation de Fourier, la vraisemblance tend asymptoti- quement vers une distribution normale centr´ ee de matrice de covariance β

²

Ω

N

=

E{nn^H}

avec Ω

N

une matrice de struc- ture connue (bruit spatialement blanc, bruit isoptropique, etc.) telle que trace

{

Ω

N}

= M et o` u β

²

est la puissance moyenne inconnue du bruit.

b)

Distribution a priori

La distribution

a priori

des param` etres se d´ eduit de l’apriori que l’exp´ erimentateur poss` ede sur la distribution source.

Dans la plupart des cas, celui ci pourra se r´ eduire ` a une infor- mation spatiale sur la zone d’o` u est susceptible de provenir (ou de ne pas provenir) le champ acoustique mesur´ e, ainsi qu’` a une information statistique sur le fait que la corr´ elation spatiale des sources est

a priori

nulle (champ stochastique blanc) de mani` ere ` a forcer l’obtention d’une solution avec la r´ esolution spatiale la plus fine possible. Il s’en d´ eduit que la distribution

apriori

de ˆ s(r) peut par exemple ˆ etre repr´ esent´ ee par une loi normale, telle que

[c,

Φ]∝

1 α

²

exp

{ α

⁻²

∫

S

|

∑

P k=1

c

k

ϕ

k

(r)|

²

σ

⁻s²

(r)dS(r) }

(6) o` u α

²

σ

²_s

(r)δ(r

−r^′

) =

E{

s(r)s

^∗

(r

^′

)

}

avec σ

_s²

(r) une fonc- tion d’ouverture spatiale telle que ∫

S

σ

s²

(r)dS(r) = 1, α

²

est la puissance moyenne inconnue des sources et

E

l’esp´ erance math´ ematique sur toutes les r´ ealisations possible de la source.

c)

Distribution a posteriori

Le probl` eme inverse se r´ esume finalement ` a trouver la dis- tribution

aposteriori

de toutes les inconnues du probl` eme, soit

J

AP

(c,

Φ, β²

, α

²

) = [c,

Φ, β²

, α

²|p_M

] (7)

∝

exp {

β

⁻²||p_M−

∑

P k=1

c

k

∫

S

ϕ

k

(r)G(r)dS(r)

||²Ω_N

}

×

exp {

α

⁻²||u||²_σ2 s

} 1 α

²

β

²

avec comme convention d’´ ecriture

||x||²A

= .

x^HA⁻¹x

pour le carr´ e de la norme d’un vecteur

x

avec la m´ etrique

A⁻¹

et

||

u

||²_σ2 s

= . ∫

S|

u(r)

|²

σ

⁻²_s

(r)dS(r) pour le carr´ e de la norme d’une fonction u(r) avec la m´ etrique σ

⁻²_s

(r). Notons que cette formulation peut encore ˆ etre g´ en´ eralis´ ee en rajoutant des aprioris sur les puissances β

²

et α

²

dans le cas o` u ceux-ci seraient disponibles.

3.1.2 Maximum aposteriori

Int´ eressons-nous ici ` a l’´ evaluation des param` etres c

k

et ϕ

k

(r), celle des param` etres β

²

et α

²

´ etant trait´ ee au para- graphe 3.3.2. Une mani` ere simple d’obtenir des estimations ponctuelles des param` etres est de chercher les valeurs qui maximisent la probabilit´ e (7) de r´ ealisation de ces derniers

´ etant donn´ e l’observation des mesures – estimateurs du maxi- mum

aposteriori

(MAP). Ceci conduit ` a un calcul variation- nel dont nous ne donnons pas les d´ etails, mais seulement les r´ esultats. Posons pour cela

σ

²s

(r)G(r)

^H

Ω

⁻

1 2

N

=

∑

M k=1

s

k

ϕ

k

(r)U

^Hk

(8) la d´ ecomposition en valeurs singuli` eres de l’op´ erateur de pro- pagation continu-discret

G(r) 1×M

au travers de l’ouverture σ

²_s

(r) et blanchi par rapport ` a la matrice de covariance Ω

N

(l’op´ erateur est continu ` a gauche par rapport ` a la variable

(r) et discret ` a droite par rapport aux ´ el´ ements d’un vecteur

de dimension M), telle que

 



s

1≥

s

2≥ · · · ≥

s

M ≥

0

∫

S

ϕ

k

(r)ϕ

l

(r)

^∗

σ

⁻s²

(r)dS(r) = δ

kl

U^H_kUl

= δ

kl

(9)

avec ϕ

k

(r) des fonctions scalaires de la variable

r

sur S et

Uk

des vecteurs 1

×

M . On v´ erifie alors que

1. les fonctions de base spatiales inconnues dans (4) s’identifie avec les fonctions propres de la d´ ecomposition (8) ;

2. elles sont donc orthogonales au sens de (9) et au nombre de P = M ;

3. les coefficients de la combinaison lin´ eaire (4) sont donn´ es par

ˆ

c

k

= s

k

s

²_k

+

^β_α²₂U^H_k

Ω

⁻

1 2

N p_M

(10)

4. d’o` u la distribution source reconstruite ˆ

s(r) =

∑

P k=1

s

k

s

²_k

+

^β_α²₂

ϕ

k

(r)U

^H_k

Ω

⁻

1 2

N p_M

(11)

`

a mettre en relief avec l’´ equation (3) o` u a

i

(r) s’identifie avec le i` eme ´ el´ ement du vecteur ligne s

k

/(s

²_k

+ β

²

/α

²

)ϕ

k

(r)U

^H_k

Ω

^−1/2_N

.

On v´ erifie par ailleurs que ces solutions sont aussi celles qui r´ ealisent le minimum du crit` ere de l’erreur quadratique moyenne

J

EQM

(c,

Φ) =E

{

||

s

−

∑

P k=1

c

k

ϕ

k||²σ_s²

}

(12) sous la contrainte d’avoir les fonctions de base ϕ

k

(r) ortho- gonales par rapport ` a la m´ etrique σ

⁻s²

(r) et o` u l’esp´ erance math´ ematique

E

est prise sur toutes les r´ ealisations possible de la source et du bruit de mesure.

Ce r´ esultat est remarquable, car il fournit les fonctions de base optimales – au sens de l’extr´ emisation de deux crit` eres distincts, J

AP

et J

EQM

– sur lesquelles doit ˆ etre d´ evelopp´ ee la distribution source inconnue. Celles-ci sont ind´ ependantes des mesures, ne d´ ependent que de la topologie de la surface source, d’une g´ eom´ etrie d’antenne, de la structure spatiale du bruit de mesure et d’une fonction d’ouverture qui traduit l’apriori spatial sur la localisation des sources. Elles four- nissent une base de d´ ecomposition de dimension minimale

´ egale au nombre de microphones de l’antenne.

3.2 Questions d’interpr´ etation

L’interpr´ etation des fonctions de base spatiales ϕ

k

(r) et des valeurs singuli` eres s

k

associ´ ees est ` a la fois physique et probabiliste.

3.2.1 Principe de r´ eciprocit´ e Remarquons que d’apr` es l’´ equation (8),

ϕ

k

(r) = σ

²_s

(r)

∑

M i=1

U

ki

s

k

G(r

i|r)^∗

(13) Etant donn´ e la sym´ etrie de la fonction de Green, ce r´ esulta indique que les fonctions de base optimales se d´ eduisent de la superposition des M champ d’ondes produits par des sources ponctuelles de distributions G(r

|ri

) positionn´ ees ` a la place des microphones. Il s’agit d’une illustration du principe de r´ eciprocit´ e.

Il faut remarquer par ailleurs que, en raison de la pond´ eration des fonctions de Green dans l’´ equation (13) par la fonction d’ouverture σ

²_s

(r), les fonctions de base ϕ

k

(r) ne v´ erifient pas en g´ en´ eral l’´ equation des ondes sur S ; elles la v´ erifient cependant approximativement lorsque l’ouverture σ

²s

(r) est grande devant les longueurs d’ondes de G(r|r

i

), d’o` u une interpr´ etation possible dans ce cas des ϕ

k

(r) en termes de fonctions d’ondes.

Enfin, il r´ esulte de l’´ equation (13) que la distribution source reconstruite s’exprime comme une superposition des champs d’ondes tels qu’ils seraient rayonn´ es sur S par des sources ponctuelles positionn´ ees ` a la place des microphones :

ˆ

s(r) = σ

²s

(r)

∑

M i=1

m

i

G(r

i|r)^∗

(14)

avec m

i

= ∑

M

k=1

U

ki

c

i

/s

i

qui s’interpr` etent comme des d´ ebits g´ en´ eralis´ es. Il s’agit d’une illustration du principe du retournement temporel (la conjugaison de phase

^∗

correspon- dant ` a un retournement de l’axe temporel) o` u le probl` eme in- verse s’interpr` ete explicitement comme un rayonnement des microphones vers la source.

3.2.2 Coefficients de rayonnement

Une autre interpr´ etation possible des fonctions de base ϕ

k

(r) permet de les identifier avec les distributions source de rayonnement le plus efficace possible sur l’antenne. Soit u(r) une distribution source quelconque dont la puissance est normalis´ ee par rapport ` a la fonction d’ouverture σ

_s²

(r) de sorte que

||u||²_σ2

s

= 1. Elle produit aux microphones un vecteur de mesures

p_M

= s

k

Ω

⁻_N^1/2Uk

dont la puissance est

||p_M||²Ω_N

= s

²_k

. Il s’ensuit que parmi toutes les distri- butions source possibles, u(r) = ϕ

1

(r) (associ´ ee ` a la plus grande valeur singuli` ere s

1

) est celle qui maximise la puis- sance rayonn´ ee au travers de la fonction d’ouverture sur l’an- tenne. De mˆ eme, u(r) = ϕ

2

(r) est la distribution source, or- thogonale ` a la pr´ ec´ edente au travers de l’ouverture, qui maxi- mise l’´ energie rayonn´ ee sur l’antenne et ainsi de suite. Ce r´ esultat conf` ere aux carr´ es des valeurs singuli` eres s

²_k

une in- terpr´ etation en tant que “coefficients ´ energ´ etiques de rayon- nement” : les fortes valeurs de s

²_k

caract´ erisent des ondes qui se propagent facilement jusqu’` a l’antenne, tandis que les va- leurs proches de z´ ero caract´ erisent un comportement d’ondes

´ evanescentes qui se propagent plus difficilement.

3.2.3 Probabilit´ e de bonne reconstruction L’interpr´ etation physique pr´ ec´ edente sugg` ere la reformu- lation probabiliste suivante : quelle est la distribution source u(r), parmi toutes celles possibles qui produisent une puis- sance constante

||pM||²Ω_N

sur l’antenne, qui maximise la pro- babilit´ e

Pr {

ˆ

s = u|p

M

=

∫

S

G(r)u(r)dS(r)

}

(15) d’ˆ etre correctement reconstruite apr` es l’observation de son rayonnement sur l’antenne ? On montre que la solution est fournie par la fonction d’onde u(r) = ϕ

1

(r). De mˆ eme la dis- tribution source, orthogonale ` a ϕ

1

(r) au travers de l’ouver- ture, qui maximise le crit` ere (15) est u(r) = ϕ

2

(r) et ainsi de suite. On v´ erifie que ce r´ esultat reste valable quelle que soit la puissance β

²

du bruit de mesure

n, la probabilit´

e maximis´ ee par les ϕ

k

(r) ´ etant alors

E{Pr(ˆ

s = u|p

M

= ∫

SGudS

+

n)}

avec

E

l’esp´ erance math´ ematique sur le bruit de mesure.

3.2.4 Variance d’estimation et transfert d’infor- mation

Sur la base des r´ esultats trouv´ es, on v´ erifie que la dis- tribution de probabilit´ e

aposteriori

de la distribution source [s

|p_M

] = [c,

Φ|p_M

] est normale, de moyenne ˆ

c

telle que donn´ ee dans l’´ equation (12) et de matrice de covariance dia- gonale de terme g´ en´ erique 1/(1 + s

²_k

α

²

/β

²

). Il s’ensuit que la variance d’estimation du coefficient ˆ c

k

est d’autant plus faible que le coefficient de rayonnement s

²_k

est grand devant le rapport bruit-` a-signal α

²

/β

²

. Une mani` ere de mesurer la qualit´ e de reconstruction de la distribution source est donc via la variance totale donn´ ee par la trace

P

=

∑

M k=1

1

1 + s

²_k

α

²

/β

²

(16) En particulier, on v´ erifie que le coˆ ut du crit` ere de l’erreur quadratique moyenne (12) lorsque

c

et

Φ

sont remplac´ es par les solutions du paragraphe 3.1.2 devient

J

EQM

= C

−

M +

P

(17) o` u C =

E{||s(r)||²_σ2

s}

est une constante et M le nombre de microphones. De mani` ere similaire, la quantit´ e d’information en nats (1.443 bits) qu’apportent les mesures

p_M

r´ ealis´ ees sur l’antenne pour reconstruire la distribution source s’ex- prime ` a partir de l’information mutuelle

I

=

E

{

[s,

p_M

] ln

( [s,

p_M

] [s][p

_M

]

)}

=

∑

M k=1

ln (

1 + s

²k

α

²

β

²

)

(18) o` u s = (c,

Φ) etE

est l’esp´ erance math´ ematique sur toutes les r´ ealisations de la distribution source et des mesures aux microphones. L’information mutuelle

I

donne une mesure du taux de transmission de l’information de l’antenne ` a la surface de r´ etro-propagation S et, par cons´ equent, permet de caract´ eriser le caract` ere plus ou moins bien (ou mal) pos´ e du probl` eme inverse.

Les indicateurs

P

et

I

d´ efinis dans ce paragraphe se trouve ˆ etre particuli` erement utiles pour optimiser la concep- tion d’une antenne de microphones (g´ eom´ etrie et positionne- ment) ´ etant donn´ ee une surface source et un apriori spatial sur son rayonnement.

3.3 R´ egularisation

3.3.1 M´ ecanisme de r´ egularisation

C’est une des particularit´ es de l’approche bay´ esienne que de fournir, par construction, un m´ ecanisme de r´ egularisation interne. La solution (11) au probl` eme inverse (6) r´ ealise le meilleur compromis entre l’ajustement aux donn´ ees exp´ erimentales par rapport au carr´ e de la norme

||p_M−

∑

M k=1

c

k

∫

S

ϕ

k

(r)G(r)dS(r)

||²Ω_N

et l’obtention d’une solu- tion physiquement admissible par rapport au carr´ e de la norme

||

u

||²_σ2

s

. Ce compromis d´ epend du rapport bruit-` a- signal β

²

/α

²

. Ceci peut ˆ etre constat´ e ` a plusieurs niveaux.

Dans le cas o` u la distribution source est une fonction d’onde, s(r) = ϕ

k

(r), on v´ erifie que sa reconstruction sur la surface de r´ etro-propagation S est

ˆ

s(r) = s

²_k

s

²_k

+

^β_α²2

ϕ

k

(r) (19)

Par cons´ equent, la source sera d’autant mieux reconstruite que son coefficient de rayonnement s

²_k

est grand devant le

rapport bruit-` a-signal (ˆ s(r)

→

s(r)). A l’autre extrˆ eme, les ondes ´ evanescentes qui n’atteignent pas l’antenne (s

²_k

= 0) ou l’atteignent avec une amplitude faible devant l’´ ecart-type du bruit de fond (β

²≪

α

²

) ne seront pas reconstruites (ˆ s(r)

→

0) [1].

Dans le cas plus g´ en´ eral o` u la distribution source se d´ eveloppe selon l’expression (4), on v´ erifie que les coefficients estim´ es sont reli´ es aux coefficients r´ eels selon

ˆ

c

k

= s

²_k

s

²_k

+

^β_α²2

c

k

(20)

ce qui permet de g´ en´ eraliser l’interpr´ etation pr´ ec´ edente ` a chaque composante ϕ

k

(r) du spectre de la source.

3.3.2 R´ eglage du param` etre de r´ egularisation Dans les approches classiques le r´ eglage du param` etre de r´ egularisation proc` ede selon diverses approches ad hoc. Le cadre bay´ esien offre une solution optimale et unifi´ ee dans le sens o` u le param` etre de r´ egularisation peut ˆ etre estim´ e ` a par- tir de la mˆ eme fonctionnelle de coˆ ut (7). Il est int´ eressant de constater que, contrairement ` a la m´ ethode de la courbe en L ou de la validation crois´ ee, le r´ eglage du rapport λ

²

= β

²

/α

²

n´ ecessite ici l’estimation de deux param` etres : la puissance moyenne des sources α

²

et la puissance moyenne du bruit de mesure β

²

. Ceci peut se faire selon diff´ erentes strat´ egies.

a)

MAP conjoint

Il s’agit de trouver les valeurs de α

²

et β

²

qui maximisent la fonctionnelle [c,

Φ, β²

, α

²|p_M

] de l’´ equation (7) dans la- quelle

c

et

Φ

sont substitu´ es par les estimateurs MAP du paragraphe 3.1.2. Ceci conduit ` a minimiser la fonctionnelle

J

1

(α

²

, β

²

) = M ln β

²

+ M ln α

²

+

∑

M k=1

|yk|²

α

²

s

²_k

+ β

²

(21) o` u y

k

est le k` eme ´ el´ ement du vecteur ligne

p^H_M

Ω

1 2 NU.

b)

MAP marginalis´e

Une autre approche consiste ` a maximiser la probabilit´ e de r´ ealisation des param` etres α

²

et β

²

´ etant donn´ e l’observation des mesures aux microphones, soit

[β

²

, α

²|p_M

] =

∫

[β

²

, α

²|p_M

][c,

Φ]dcdΦ

(22) Deux choix possibles s’offrent pour la distribution conjointe [c,

Φ] des param`

etres

c

et

Φ. Soit la distribution apriori

du paragraphe 3.1.1 qui force la reconstruction d’une distri- bution source la plus spatialement d´ ecorr´ el´ ee possible, soit la distribution

aposteriori

(en fait [c,

Φ|pM

]) de l’´ equation (5) qui force la reconstruction d’une distribution source plus structur´ ee. Le premier choix donne lieu ` a la minimisation du crit` ere

J

2

(α

²

, β

²

) = M ln β

²

+

I

+

∑

M k=1

|

y

k|²

α

²

s

²_k

+ β

²

(23) avec

I

l’information mutuelle (18), et le second ` a la minimi- sation du crit` ere

J

3

(α

²

, β

²

) = M ln β

²

+

I

+

∑

M k=1

ln (

1 + 2s

²_k

α

²

β

²

)

+

∑

M k=1

α

²|

y

k|²

(α

²

s

²_k

+ β

²

) (2α

²

s

²_k

+ β

²

) (24) c)

Estimation empirique

Lorsque la matrice de covariance β

²

Ω

N

du bruit sur l’an-

tenne est connue ou peut ˆ etre mesur´ ee et sous l’hypoth` ese

d’une distribution source spatialement blanche, le param` etre de r´ egularisation peut ˆ etre estim´ e selon l’expression

β

²

α

²

=

∑

M k=1

s

²_k

M

·

RSB (25)

o` u RSB =

||pM||²_β2Ω_N −

1 est le rapport signal-` a-bruit sur l’antenne. Cette valeur empirique peut servir ` a initialiser la minimisation des crit` eres J

1

, J

2

et J

3

.

Nous pensons que le fait d’avoir trois nouveaux crit` eres en plus des crit` eres classiques comme la courbe en L et la validation crois´ ee [5] est un avantage d´ eterminant de l’ap- proche bay´ esienne dans la r´ esolution, souvent d´ elicate, du r´ eglage du param` etre de r´ egularisation.

4 Focalisation bay´ esienne

4.1 M´ ecanisme de super-r´ esolution

Le rˆ ole de l’apriori dans la formulation bay´ esienne du probl` eme acoustique inverse ne se limite pas seulement ` a fou- nir un m´ ecanisme de r´ egularisation interne. Il permet aussi, et c’est l` a un autre r´ esultat majeur de l’approche propos´ ee, d’atteindre une super-r´ esolution spatiale.

Afin de s’en rendre compte, consid´ erons le cas particu- lier d’une distribution source spatialement blanche dans une largeur de bande B (fr´ equences spatiales) suppos´ ee finie. La puissance de la distribution au travers de l’ouverture σ

s²

(r) est

E{||s||²_σ2

s} ≈

B

²

A

s

(26)

o` u A

s

repr´ esente l’aire du domaine de la surface S o` u la fonc- tion d’ouverture σ

_s²

(r) est non-nulle. On v´ erifie par ailleurs que la puissance de la distribution reconstruite est

E{||

s ˆ

||²σ²_s}

=

P

(27) avec

P

la variance totale d´ efinie dans l’´ equation (16). Puisque

P

est homog` ene en unit´ es ` a B

²

A

s

(voir aussi l’´ equation (17)), il s’ensuit que la r´ esolution surfacique de la distribution re- construite est de l’ordre de A

s

/P. Le minimum atteint en l’absence de bruit de mesure (

P

= M ) est de l’ordre de l’aire d’ouverture A

s

divis´ ee par le nombre de degr´ es de li- bert´ e M apport´ es par les microphones. Il s’en d´ eduit qu’un r´ etr´ ecissement de l’ouverture σ

²s

(r) va dans le sens d’un affi- nement de la r´ esolution spatiale.

Intuitivement, ce r´ esultat peut aussi se comprendre par le fait qu’un r´ etr´ ecissement de l’ouverture σ

s²

(r) entraˆıne une focalisation des ondes sur la surface de reconstruction S lors la r´ etro-propagation des mesures comme indiqu´ e dans l’´ equation (14), la fonction d’ouverture σ

²_s

(r) jouant le rˆ ole d’une “lentille” dans l’inversion. Collat´ eralement, le trans- fert d’information

I

s’en trouve accru, ce qui se traduit d’apr` es l’´ equation (18) par une augmentation des coefficients

´ energ´ etiques de rayonnement s

²_k

et, d’une mani` ere g´ en´ erale, par une am´ elioration de la qualit´ e de l’inversion (capacit´ e ` a mieux reconstruire les ondes ´ evanescentes d’apr` es (19) et ` a diminuer les variances d’estimation d’apr` es (16)).

4.2 Lien avec la formation de voie

Il est int´ eressant de constater que la m´ ethode inverse pro- pos´ ee accepte la formation de voie comme cas limite lorsque l’aire d’ouverture tend vers z´ ero, σ

²s

(r) = δ(r

−r0

), que l’an- tenne se situe en champ lointain ` a la distance R de la sur- face source et que le bruit de mesure est spatialement blanc (Ω

N

=

I). Sous ces hypoth`

ese, il vient

ˆ

s(r) = δ(r

−r0

) 4πR M +

^β_α²₂

(4πR)

²

∑

M i=1

p

_M

(r

i

)e

^{−ik||ri−r0||}

(28)

la source ´ etant cherch´ ee sous la forme d’un monopole dont le d´ ebit est estim´ e par projection des pressions sur les fonctions d’ondes exp

{

ik

||ri−r0||}

, sph´ eriques ou plane selon le degr´ es d’approximation en champ lointain.

5 Aspects pratiques

La d´ ecomposition en valeurs singuli` eres (8) et la recons- truction (11) de la distribution source qui en r´ esulte peuvent ˆ etre calcul´ ees assez simplement de la mani` ere suivante :

1. calculer les corr´ elations spatiales C

ij

=

∫

S

G(r

i|r)G(rj|r)^∗

σ

²s

(r)dS(r) (29) 2. calculer la d´ ecomposition en valeurs propres

Ω

⁻_N^1/2CΩ⁻_N^1/2

=

∑

M k=1

s

²_kUkU^H_k

(30) avec

C

la matrice M

×

M construite ` a l’´ etape pr´ ec´ edente,

3. ´ evaluer l’´ equation (14).

La principale charge de calcul se situe au niveau des int´ egrales C

ij

qui doivent ˆ etre ´ evalu´ ees num´ eriquement. On prendra avantageusement en compte le fait que la fonction d’ouverture σ

s²

(r) permet de restreindre ce calcul ` a une sur- face d’aire limit´ ee (contrairement ` a d’autres m´ ethodes, par exemple bas´ ees sur les ondes planes, qui impliquent une sur- face d’int´ egration th´ eoriquement infinie). Enfin, il faut insis- ter sur le fait que la reconstruction de la distribution source ne n´ ecessite pas le calcul explicite des fonctions de base spa- tiales ϕ

k

(r) ce qui constitue une ´ economie substantielle d’al- location m´ emoire par rapport ` a d’autre m´ ethodes o` u la pro- jection sur une base de fonctions pr´ ed´ etermin´ ee se r´ ealise explicitement.

5.1 R´ esultats de simulation

Ce paragraphe pr´ esente quelques r´ esultats de simulation pour la reconstruction de deux sources ponctuelles espac´ ees de 10

√

2

≃

14 cm ` a diff´ erentes fr´ equences de travail et ` a diff´ erentes distances de la surface source. L’antenne est plane et circulaire, d’un rayon de 1 m, compos´ ee de 84 microphones r´ epartis al´ eatoirement, et positionn´ ee parall` element au plan qui contient les sources ` a une distance z de ce dernier. Un bruit gaussien spatialement blanc est ajout´ e sur les mesures avec un rapport signal-` a-bruit de 30dB. Les cas extrˆ emes suivants sont ´ etudi´ es : reconstruction ` a z = 10 cm et z = 1 m et aux fr´ equences f = 100 Hz et f = 5 kHz. La fonction d’ouverture utilis´ ee est une fonction de Hanning ` a sym´ etrie axiale dont le rayon du support est not´ e R. Les reconstruc- tions sont syst´ ematiquement compar´ ees avec une m´ ethode d’holographie acoustique en champ proche bas´ ee sur une d´ ecomposition en ondes planes (not´ ee NAH-OP) [2][6] et avec la formation de voie en ondes sph´ eriques (not´ ee FV).

La figure 1 pr´ esente les r´ esultats de reconstruction (mo- dule de la distribution source) dans le cas z = 10 cm, f = 100 Hz, R = 50 cm et 20 cm, c’est-` a-dire en champ proche et en basses-fr´ equences. Il s’agit, comme on peut le constater, du domaine d’applicabilit´ e de NAH-OP, mais pas de FV. La fo- calisation bay´ esienne avec R = 50 cm donne un r´ esultat com- parable ` a NAH-OP. Avec R = 20 cm la r´ esolution s’en trouve encore am´ elior´ ee et les amplitudes estim´ ees des sources sont plus proches des valeurs r´ eelles.

La figure 2 pr´ esente les r´ esultats relatifs ` a la mˆ eme

fr´ equence f = 100 Hz, mais ` a une distance z = 1 m de

l’antenne qui sort du domaine d’applicabilit´ e de NAH-OP.

Avec R = 50 cm, la focalisation bay´ esienne ne parvient pas

`

a distinguer les deux sources. La super-r´ esolution spatiale est forc´ ee avec R = 13 cm qui donne un r´ esulat satisfaisant dans un domaine o` u ` a la fois NAH-OP et FV sont inop´ erantes.

La figure 3 pr´ esente les r´ esultats de reconstruction dans le cas z = 10 cm, f = 5 kHz et R = 50 cm, c’est-` a-dire dans un domaine fr´ equentiel o` u NAH-OP devient instable, mais o` u FV offre une tr` es bonne r´ esolution spatiale. On v´ erifie que la focalisation bay´ esienne donne des r´ esultats comparables ` a FV, mais avec en plus une reconstruction des amplitudes en absolue, ce que la formation de voie qui est essentiellement une m´ ethode de localisation n’est pas capable de faire.

Enfin la figure 3 pr´ esente les r´ esultats de reconstruction dans le cas z = 1 m, f = 5 kHz, c’est-` a-dire en champ lointain et en hautes-fr´ equences. Ici encore la focalisation bay´ esienne pr´ esente des r´ esultats comparables ` a FV, avec cependant une estimation des amplitudes des sources qui s’am´ eliore en fer- mant progressivement la surface d’ouverture (R = 50 cm et et R = 20 cm).

-0.5 0 0.5

0 0.5

20 40 60 80 100

0 0

20 40 60

z = 10cm, f = 100Hz, R = 50cm + 20cm

50 100 150 200

-0.5 -0.5 0.5

0.5

-0.5 0

0

-0.5 0.5

0.5

-0.5

0 0

-0.2 0.2

0.2

-0.2

FOC NAH-OP FV

FOC

Figure 1 – z = 10 cm, f = 100 Hz, R = 50 cm et 20 cm.

z = 1m, f = 100Hz, R = 50cm + 13cm

10 20 30 40

0.5 1 1.5 2 2.5 3

50 100 150 200

0 0

-0.5 0.5

0.5

-0.5 0

0

-0.5 0.5

0.5

0 -0.5 0

-0.5 0.5

0.5

-0.5

0 0

-0.1 0.1

0.1

-0.1

FOC NAH-OP FV

FOC

Figure 2 – z = 1 m, f = 100 Hz, R = 50 cm et 13 cm.

50 100 150

10 20 30 40 50 60

-0.5 0 0.5

0 0.5

-0.5 -0.5 0 0.5

0 0.5

-0.5 -0.5 0 0.5

0 0.5

-0.5

z = 10cm, f = 5000Hz, R = 50cm

FOC NAH-OP FV

Figure 3 – z = 1 m, f = 5 kHz, R = 50 cm.

R´ ef´ erences

[1] Williams E.G., “Fourier Acoustics : Sound Radiation And Nearfield Acoustical Holography”, Academic Press (1999).

[2] Steiner R., Hald J., “Near-Field Acoustical Holography Without the Errors and Limitations Caused by the Use of Spatial DFT”,

Int. J. Acoust. Vib.

6, 83-89 (2001).

50 100 150

10 20 30 40

100 200 300 400

-0.5 0 0.5

0 0.5

-0.5

-0.5 0 0.5

0 0.5

-0.5

-0.5 0 0.5

0 0.5

-0.5

-0.2 0 0.2

0 0.2

-0.2

z = 1m, f = 5000Hz, R = 50cm + 20cm

FOC NAH-OP FV

FOC

Figure 4 – z = 1 m, f = 5 kHz, R = 50 cm et 20 cm.

[3] Wu S.F., “On reconstruction of acoustic pressure fields using the Helmholtz equation least squares method”,

J.

Acoust. Soc. Am.

107 (5), 2511-2522 (2000).

[4] Cho Y.T., Bolton J.S. and Hald J., “Source Visualiza- tion by using Statistically Optimized Near-Field Acous- tical Holography in Cylindrical Coordinates”,

J. Acoust.

Soc. Am.

118 (4), 2355-2364 (2005).

[5] Leccl` ere Q. “Acoustic Imaging using Under-Determined Inverse Approaches : Frequency Limitations and Opti- mal Regularization”,

J. Sound Vib.

321, 605-619 (2008).

[6] Hald J. “Basic theory and properties of statistically optimized near-field acoustical holography”,

J. Acoust.

Soc. Am.

125 (1), 2105-2120 (2009).