Lemmes utiles en g´eom´etrie

Lemmes utiles en g´eom´etrie

Thomas Budzinski

Avant-propos

La g´eom´etrie est un domaine o `u une bonne culture peut s’av´erer tr`es utile pour r´esoudre des exercices. Ce document est une liste (non exhaustive !) de lemmes qui servent fr´equemment, accompagn´es de rapides ´el´ements de preuve. Certaines d´emonstrations ne sont pas ´evidentes, les compl´eter peut ˆetre un entraˆınement int´eressant mais il n’est pas n´ecessaire de les connaˆıtre.

Les lemmes soulign´es nous paraissent particuli`erement importants.

Dans toute la suite, sauf indication contraire,ABC d´esigne un triangle. On notea, bet cles longueurs BC, CA et AB, et α, β et γ les angles CAB[, ABC[ et BCA[. On notera aussi C son cercle circonscrit etOle centre deC etRson rayon,Hson orthocentre,Gson centre de gravit´e, I le centre de son cercle inscrit et r le rayon du cercle inscrit. On notera enfin AABC l’aire du triangle.

Trigonom´etrie

Lemme 1(Loi des sinus).

a

sinα = b

sinβ = c

sinγ =2R= abc 2AABC

Id´ee de la d´emonstration. Pour montrer _sinα^a =2R, introduireB⁰diam´etralement oppos´e `a Bsur C et consid´erer le triangle BB<sup>0</sup>C. Pour la derni`ere partie, exprimer l’aire en fonction deb, cet

α.

Lemme 2(Formule d’Al-Kashi).

a² =b²+c²−2bccosα

Id´ee de la d´emonstration. Si vous connaissez le produit scalaire, utilisez-le ! Sinon, introduireD, pied de la hauteur issue deBet calculerADpuisBDetCDpuisaen fonction deb,cetα. Lemme 3(Formules d’addition). Pour tous anglesαetβ:

— cos(α+β) =cosαcosβ−sinαsinβ

— cos(α−β) =cosαcosβ+sinαsinβ

— sin(α+β) =sinαcosβ+sinβcosα

— sin(α+β) =sinαcosβ−sinβcosα

Id´ee de la d´emonstration. Utiliser le produit scalaire pour d´emontrer la seconde formule, puis en

d´eduire les autres.

G´eom´etrie du triangle

Lemme 4(P ˆole Sud). SoitSle point o `u la bissectrice(AI)deCAB[ recoupe le cercle circonscrit

`aABC. AlorsSest le milieu de l’arcBCqui ne contient pasA. De plus,Sest le centre du cercle circonscrit `aABI.Sest g´en´eralement appel´epˆole SudduABC.

Id´ee de la d´emonstration. Chasse aux angles : on v´erifie queSBCetSBIsont isoc`eles enS. Lemme 5. Les sym´etriques deHpar rapport `a(AB),(BC)et(CA)sont surC.

Id´ee de la d´emonstration. Chasse aux angles.

Lemme 6. SoitDle point o `u la bissectrice(AI)recoupe[BC]. On a ^BD_CD = _AC^AB. Id´ee de la d´emonstration. Iest ´equidistant de(AB)et(AC)donc :

AB

AC = AABD

AACD

= BD CD

Lemme 7(Droite d’Euler). Les pointsO,G, etHsont align´es dans cet ordre etGH=2·OG. La droite qui contient ces trois points est appel´eedroite d’EulerdeABC.

Id´ee de la d´emonstration. On noteA⁰,B⁰etC⁰les milieux de[BC],[CA]et[AB]. L’homoth´etiehde centreGet de rapport−¹₂ envoieABCsurA⁰B⁰C⁰. On v´erifie queOest l’orthocentre deA⁰B⁰C⁰,

donch(H) =O.

Lemme 8(Cercle d’Euler). On noteA⁰,B⁰ etC⁰les milieux des c ˆot´es deABC,H_A,H_BetH_C les pieds de ses hauteurs etM_A,M_BetM_C les milieux de[AH],[BH]et[CH]. Alors les neuf points A⁰, B⁰,C⁰, HA, HB, HC, MA, MBet MC sont cocycliques sur un cercle appel´e cercle d’Eulerde ABC. De plus, le centre du cercle d’Euler est le milieu de[OH]et son rayon vaut ^R₂.

Id´ee de la d´emonstration. L’homoth´etie hde la preuve pr´ec´edente envoie O sur le milieu Ωde [OH], donc le cercle circonscrit `a A⁰B⁰C⁰, not´e C⁰, est le cercle de centreΩet de rayon ^R₂. Une chasse aux angles montre queH_A,H_BetH_C sont sur ce cercle. Enfin,ΩetM_A sont les milieux de[HO]et [HA]donc ΩM_A = ^OA₂ = ^R₂ donc M_A est aussi sur ce cercle, de mˆeme que M_B et

M_C.

Lemme 9(Droite de Simson/Steiner). — SoitP un point du plan etP_A, P_B, P_C ses projet´es orthogonaux sur(BC), (CA) et(AB). AlorsP_A, P_B et P_C sont align´es si et seulement si P∈C. La droite passant par ces trois points est alors appel´eedroite de SimsondeP.

— SoientS_A,S_BetS_C les sym´etriques deP par rapport `a(BC),(CA)et(AB). AlorsS_A, S_B etS_C sont align´es si et seulement siP ∈C. La droite passant par ces trois points est alors appel´eedroite de SteinerdeP.

Id´ee de la d´emonstration.

— Chasse aux angles (comme il y a beaucoup de positions possibles des points les uns par rapport aux autres, il est recommand´e d’utiliser des angles orient´es).

— S_A,S_BetS_C sont les images deP_A,P_BetP_C par l’homoth´etie de centrePet de rapport2, donc les trois premiers ont align´es ssi les trois derniers le sont.

Lemme 10 (Points de contact du cercle inscrit). Soient D, E et F les points o `u le cercle inscrit touche[BC],[CA]et[AB]. On a :

— AE=AF= ^b+c−a₂

— BF=BD= ^c+a−b₂

— CD=CE= ^a+b−c₂

Id´ee de la d´emonstration. On notex =AE=AF,y=BF =BDetz =CD= CE: on ax+y =c,

y+z =aetz+x =b, et on r´esout le syst`eme...

D´efinition. Labissectrice ext´erieuredeCAB[est la perpendiculaire `a la bissectrice deCAB[ passant parA. C’est en quelque sorte la ”deuxi`eme bissectrice” form´ee par les droites(AB)et(AC). On d´efinit de mˆeme les bissectrices ext´erieures deABC[ etBCA[.

Lemme 11(Cercle exinscrit). — Il existe un unique cercle tangent au segment [BC], `a la demi-droite[AB)au-del`a deBet `a la demi-droite[AC)au-del`a deC. Ce cercle est appel´e cercleA-exinscrit `aABC.

— Le centreIAdu cercleA-exinscrit est l’intersection de la bissectrice int´erieure deCAB[ et des bissectrices ext´erieures deABC[ etBCA[.

Id´ee de la d´emonstration. Similaire `a la preuve correspondante pour le cercle inscrit : les trois bissectrices sont concourrantes en un point ´equidistant de(AB),(BC)et(CA).

Lemme 12(Cercle exinscrit, suite). — I_A est sur le cercle centr´e au p ˆole SudS passant par B,CetI, etSest le milieu de[I_AI].

— Soit D⁰, E⁰ et F⁰ les point o `u le cercle A-exinscrit touche respectivement [BC], [AC) et [AB). On aAE⁰ =AF⁰= ^a+b+c₂ ,BD⁰ =BF⁰ = ^a+b−c₂ =CDetCD⁰ =CE⁰= ^a+c−b₂ =BE. Id´ee de la d´emonstration.

— Les trianglesI_AIBetI_AICsont rectangles enBetC.

— Similaire `a la preuve pour les points de contact du cercle inscrit.

Notation. ABd´esignera lalongueur alg´ebriqueentre Aet B, c’est-`a-dire queABvaudraABou

−ABselon l’ordre dans lequelAetBapparaissent sur la droite(AB). Par exemple, ^AB_AC vaudra

−_AC^AB si A est entre B et C car AB et AC sont dirig´es dans des sens diff´erents. Par contre, il vaudra+^AB_AC siBest entreAetCcar alors les deux seront dirig´es dans le mˆeme sens.

Lemme 13(Th´eor`eme de M´en´ela ¨us). SoientA⁰ ∈(BC),B⁰ ∈(CA)etC⁰ ∈(AB). AlorsA⁰,B⁰ et C⁰sont align´es si et seulement si :

BA⁰ CA⁰ · CB⁰

AB⁰ ·AC⁰ BC⁰ = +1

Id´ee de la d´emonstration. Si A⁰, B⁰ et C⁰ sont align´es sur (d), on introduit la parall`ele `a (BC) passant parA: elle coupe(d)enX, puis on applique deux fois le th´eor`eme de Thal`es. Pour la r´eciproque, ´etant donn´esA⁰ et B⁰, on sait qu’un seul pointC⁰ ∈ (AB)est sur(A⁰B⁰), et que ce point permet v´erifie ^AC_BC⁰0 = ^CA_BA0⁰ · ^AB0

CB⁰. Or, un rapide calcul montre qu’un seul pointC⁰ v´erifie

cette formule.

Lemme 14(Th´eor`eme de C´eva). SoientA⁰ ∈(BC),B⁰ ∈(CA)et C⁰ ∈(AB). Alors(AA⁰), (BB⁰) et(CC⁰)sont concourantes si et seulement si :

BA⁰ CA⁰ · CB⁰

AB⁰ ·AC⁰ BC⁰ = −1

Id´ee de la d´emonstration. Si les trois droites sont concourantes en X, montrer que _A^A0⁰C^B = _A^AABX et deux relations similaires, puis faire le produit. Pour la r´eciproque, c¸a marche comme pourACX

M´en´ela ¨us.

Lemme 15(Th´eor`eme de C´eva trigonom´etrique). Soient(Ax),(By)et(Cz)trois droites passant parA,BetC. Ces trois droites sont concourantes si et seulement si :

sinBAxd sinCAx[

· sinCByd sinABy[

·sinACzd sinBCzd =1

Id´ee de la d´emonstration. Si les trois droites sont concourantes en un point X, appliquer la loi des sinus dans les triangles ABX, BCX et CAX. Pour la r´eciproque, c’est similaire aux deux th´eor`emes pr´ec´edents. On a besoin de montrer que _sin^sin_(α−x)^x est strictement croissante.

Remarque. Un sens reste vrai avec plus de trois points : si on a un polygone `a n sommets avec une droite partant de chaque sommet et si lesndroites sont concourantes, alors on a une formule du mˆeme type. En revanche, la formule ne suffit pas `a assurer que les ndroites sont concourantes.

Lemme 16(Conjugu´e isogonal). Soit Xun point du plan. On note (d_A)le sym´etrique de(AX) par rapport `a la bissectrice deCAB[, et on d´efinit de mˆeme les droites(d_B)et(d_C). Alors(d_A), (d_B)et(d_C)sont concourantes en un point appel´econjugu´e isogonaldeX.

Id´ee de la d´emonstration. Utiliser le th´eor`eme de C´eva trigonom´etrique.

Remarque. On pourra v´erifier queOest le conjugu´e isogonal deH, etIest son propre conjugu´e isogonal.

Autres

Lemme 17 (Quadrilat`ere circonscriptible). Soit ABCDun quadrilat`ere. ABCD est circonscrip- tible (c’est-`a-dire qu’il existe un cercle tangent `a ses quatre c ˆot´es) si et seulement siAB+CD= AD+BC.

Id´ee de la d´emonstration. SiABCD est circonscriptible, on fait une ”chasse aux tangentes” : on d´ecompose chaque c ˆot´e en deux en coupant au point de contact du cercle, et on utilise le fait queAest ´equidistant des points de tangence `a[AB]et[AD]...

Pour la r´eciproque, supposons quitte `a changer les noms des points que [AD) et [BC) se re- coupent en X, et soit ω le cercle inscrit `a ABX : il touche [AB] en U, [AX] en V et [BX] en W.

La condition AB+ CD = AD +BC donne CD = DV +CW. On a ainsi XV = ^{XV+V W}₂ =

XD+XC+V D+CW

2 = ^XD+XC+CD₂ , donc ω est le cercle X-exinscrit `a XCD, donc il est tangent `a [CD], et on savait d´ej`a qu’il ´etait tangent aux trois autres c ˆot´es.

Lemme 18(Diagonales perpendiculaires). SoitABCDun quadrilat`ere. Alors(AC)et(BD)sont perpendiculaires si et seulement si :

AB²+CD² =AD² +BC²

Id´ee de la d´emonstration. Si les diagonales sont perpendiculaires, on obtient la formule en ap- pliquant plusieurs fois le th´eor`eme de Pythagore. Pour la r´eciproque, on put utiliser la trigo- nom´etrie mais le plus simple est d’utiliser le produit scalaire pour montrer :

AB²+CD²−AD²−BC² =2−→

BD·−→

CA

Lemme 19(Puissance d’un point). Soit Γ un cercle etP un point. On consid`ere une droite(d) passant parPqui recoupeΓenAetB. AlorsPA·PBne d´epend pas de la droite(d), et est appel´e puissance dePpar rapport `aΓ.

De plus, si on note O le centre de Γ et r son rayon, la puissance de P par rapport `a Γ vaut OP²−r².

Id´ee de la d´emonstration. Si deux droites(d)et(d⁰)coupentΓenA,BetA⁰,B⁰, montrer quePAA⁰

etPB⁰Bsont semblables.

Lemme 20(Axe radical). SoientΓ₁ etΓ₂ deux cercles de centresO₁ etO₂ diff´erents. L’ensemble des points qui ont la mˆeme puissance par rapport `a Γ1 et Γ2 est une droite perpendiculaire `a (O₁O₂), appel´ee axe radicalde Γ₁ et Γ₂. De plus, si Γ₁ et Γ₂ se coupent en A et B, il s’agit de la droite(AB).

Id´ee de la d´emonstration. On note r1 et r2 les rayons des deux cercles. Soit X un point qui a la mˆeme puissance par rapport `aΓ<sub>1</sub> etΓ<sub>2</sub> (on admet qu’il existe) : on aO<sub>1</sub>X<sup>2</sup>−r<sup>2</sup><sub>1</sub> =O<sub>2</sub>X<sup>2</sup> −r<sup>2</sup><sub>2</sub>. SiY est un point quelconque, les deux puissances deY sont les mˆemes ssiO<sub>1</sub>Y<sup>2</sup>−O<sub>2</sub>Y<sup>2</sup> =r<sup>2</sup><sub>1</sub>−r<sup>2</sup><sub>2</sub> = O1X<sup>2</sup> −O2X<sup>2</sup> ssi(O1O2) et(XY)sont perpendiculaires d’apr`es le lemme pr´ec´edent, donc l’axe radical est la perpendiculaire `a(O₁O₂)passant parX.

SiΓ₁ et Γ₂ se coupent en Aet B, Aet B ont une puissance nulle par rapport aux deux cercles,

donc son sur l’axe radical.

Lemme 21(Axes radicaux, suite). SoientΓ₁,Γ₂etΓ₃trois cercles de centres deux `a deux distincts.

On note(d₁)l’axe radical deΓ₂etΓ₃,(d₂)celui deΓ₃etΓ₁et(d₁)celui deΓ₁ etΓ₂. Alors(d₁),(d₂) et(d₃)sont parall`eles ou concourrantes.

Id´ee de la d´emonstration. Le point d’intersection de(d₁) et (d₂)a mˆeme puissance par rapport

aux trois cercles donc est sur(d₃).

Lemme 22 (Th´eor`eme de Miquel). Soient quatre droites (d<sub>1</sub>), (d<sub>2</sub>), (d<sub>3</sub>) et (d<sub>4</sub>). Ces quatre droites d´efinissent quatre triangles, un pour chaque choix de 3 droites parmi les 4(une telle figure est appel´eequadrilat`ere complet). Alors les quatre cercles circonscrits aux quatre triangles ont un point commun, appel´epoint de Miqueldu quadrilat`ere complet.

Id´ee de la d´emonstration. Donner des noms `a tous les points d’intersection et faire une chasse aux

angles.

Remarque. Le point de Miquel est ´egalement le centre de nombreuses similitudes directes im- pliquant les points d’intersection des quatre droites (cf. cours sur les transformations).