1S:Dm 9 Devoir maison 9 2015-2016
Exercice 1 : Un dresseur de puces possède 1000 puces qu’il fait sauter en cadence entre deux podiums, un petit et un grand.
Il a constaté que :
– parmi les puces placées sur le grand podium, 80% retombent sur place et 20% sur le petit podium.
– parmi les puces placées sur le petit podium, 40% retombent sur place et 60% sur le grand podium.
Au départ, il y a 800 puces sur le petit podium et 200 sur le grand podium
On note respectivementpn et gn le nombre de puces sur le petit et sur le grand podium au bout densauts.
1. (a) Donner les valeurs dep0et g0
(b) Montrer quep1= 360 etg1= 640.
(c) Calculerp2et g2.
2. Montrer que, pour toutn∈N, on a :
(pn+1= 0.4pn+ 0.2gn
gn+1= 0.8gn+ 0.6pn
(1)
3. Pourn∈N, on poseSn =pn+gn.
(a) Expliquer à l’aide du contexte pourquoi (Sn) est une suite constante et préciser la valeur de Sn . (b) Retrouver ces résultats à l’aide des relations de la question 2.
(c) En déduire que pourn≥0,
(pn+1= 0.2pn+ 200
gn+1= 0.2gn+ 600 (2)
4. Pourn∈N, on posewn=pn−250.
(a) Prouver que la suite (wn) est géométrique et donner l’expression dewn en fonction den.
(b) En déduire quepn= 250 + 550×0.2n pour toutndeN, puis donner l’expression degn en fonction den.
(c) Donner le sens de variation de (pn) et de (gn).
5. Au bout de combien de sauts aura-t-on selon ce modèle pn≤260 ?
• • •
Exercice 2 : On considère la fonctionf définie sur Rpar f(x) =mx3+px+q
On a placé sur sa courbe représentative les pointsR, Aet S d’abscisses respectives−1,0 et 1.
On a tracé la tangente à la courbe au pointA, et on admet que les tangentes enR et S sont parallèles à l’axe des abscisses.
(Voir courbe page suivante)
1. À l’aide des renseignements de l’énoncé et du dessin, déterminer les valeurs des réelsm, petq.
2. Calculer les ordonnées des pointsR etS.
My Maths Space 1 /??
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x y
Cf
1
1 R
S A
O
bc bc
bc bc
• • • Exercice 3 :
D C
A B
1−a S
a
bc bc bc bc
bcbc
On considère une pyramide régulièreSABCDà base carrée et un réel a ∈ [0; 1]. Le côté de la base mesure a et la hauteur de la pyramide mesure 1−a.
1. Exprimer, en fonction dea, le volume notéV(a) de la pyramide.
2. Étudier les variations de la fonctionV sur l’intervalle [0; 1].
3. Montrer que le volume de la pyramide est maximal pour une certaine valeur deaque l’on précisera.
• • •
Exercice 4 :
Dans le plan muni d’un repère, on considère les points
A(−4; 1), B(1;−1), C(−2; 2) etD(−3; 3) On noteI le milieu du segment [AB] etGle point tel que −−→
CG= 1 3
−→AC.
Le but de cet exercice est de démontrer que les droites (AD), (CI) et (BG) sont concourantes.
1. Justifier que les pointsA, C etGsont alignés.
2. (a) Démontrer que la droite (IC) a pour équation cartésienne 4x+y+ 6 = 0.
(b) Déterminer une équation cartésienne de (AD).
(c) Justifier que les droites (AD) et (CI) sont sécantes en un pointKdont on déterminera les coordonnées.
3. Montrer alors que les droites (AD), (CI) et (BG) sont concourantes.
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My Maths Space 2 /??
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Exercice 5 : On compte en France métropolitaine environ 9% de personnes souffrant d’une déficience auditive.
On sélectionne 52 personnes au hasard en France métropolitaine pour un sondage au sujet d’un test auditif.
On noteX la variable aléatoire égale au nombre de déficients auditifs dans la sélection.
1. Expliquer pourquoi le choix des 52 individus peut être assimilés à un tirage avec remise.
2. Déterminer la loi de probabilité deX.
3. CalculerP(X= 4) et P(X = 10).
4. Quelle est la probabilité pour que la sélection contienne au moins une personne souffrance d’une déficience auditive ?
5. Quelle est la probabilité pour qu’il y en ait au maximum deux ?
My Maths Space 3 /??
