G244. Les puces de mon vieux PC
Mon vieux PC est équipé de quatre puces mises en série qui sont toutes hors d'usage. Je dispose d'un lot de seize puces de rechange dont huit sont défectueuses mais j'ignore lesquelles. L'ordinateur fonctionne seulement quand les quatre puces sont en bon état. Pour installer une ou plusieurs puces ou les retirer, je prends toujours la précaution d'éteindre l'ordinateur et chaque essai entre deux allumages dure deux minutes.
Avec mes réminiscences d'analyse combinatoire, je sais qu'il y a C(16,4) = 1820 façons de choisir quatre puces dans un lot de seize puces parmi lesquelles il y a seulement C(8,4) = 70 façons d'en prendre quatre qui sont en bon état. Dans le cas le plus défavorable ma réparation peut donc durer fort longtemps. Je vous demande de m'aider à réduire la durée maximale D de la réparation. Déterminer la plus petite valeur possible de D.
Solution de Claudio Baiocchi.
On va montrer comment s'en sortir à peu près en deux heures et demie (avec 71 essais).
L'idée de base consiste à partager les puces en blocks et travailler séparément sur les blocks. Pour simplifier la description on va "colorier" les puces de chaque block: un premier block, colorié en rouge, contiendra 7 puces; les autres 9 puces seront réparties en trois blocks de 3 puces chacun, de couleur respectivement jaune, vert-pâle et vert-foncé; parfois on parlera aussi du block vert (6 puces).
Les 50 premiers essais se bornent à tester les quadruplets rouges (35 possibilités) et les quadruplets verts (15 possibilités); si les premiers 35 échouent, parmi les puces en bon état il y en a 3 au plus rouges, donc 5 au moins entre vertes et jaunes; si les 15 ultérieurs échouent, parmi les puces vertes y en a au plus 3 en bon état, donc au moins 2 puces jaunes sont en bon état. Les puces vertes en bon état étant au plus 3 et au moins 2, leur répartition entre vert-pâle et vert-foncé peut être 3-0, 0-3, 2-1, 1-2 ou 1-1.
Maintenant on va tester les 9 quadruplets constitués par deux puces jaunes et deux puces vert-foncé; ainsi que les 9 constitués par deux puces jaunes et deux puces vert-pâle. Si ces 18 essais échouent on est sûr que, parmi les puces vertes, il y en a au plus une vert-pâle et une vert-foncé en bon état. Puisque, entre vertes et jaunes, au moins 5 sont en bon état, on peut conclure que les trois puces jaunes sont toutes en bon état; et que aussi en bon état sont une puce vert-pâle et une vert-foncé.
Couplant les trois puces jaunes avec une puce vert-foncé (par exemple!) un maximum de trois autres essais est donc suffisant à régler la question.
Deux petites remarques :
o La minimalité n’est pas évidente.
o Malchance ou non, une fois trouvé un quadruplet qui marche, avec peu d’essais supplémentaires (11 au pire, dont 3 réussis et 8 non-réussis) permettent de jeter à la poubelle les huit puces défectueuses;
opération qu’on aurait dû faire au fur et à mesure qu’une puce se cassait…
