E60612. Puces confinées
Des pucesP1, P2, . . . , Pnoccupent des abscisses entières sur l’axe desx(plu- sieurs puces peuvent s’accumuler à la même abscisse). Chacune à leur tour (P1 puis P2 puis . . ., puis Pn, puis à nouveau P1, etc.) elles se déplacent selon la règle suivante : la puce se déplace de 1 pour se rapprocher d’une puce à distance au moins 2.
Montrer qu’il arrive un moment où le processus est bloqué, la puce dont c’est le tour ne pouvant se déplacer selon la règle.
Solution
Observons que l’espace occupé par les puces ne peut pas s’élargir ; une puce peut se rapprocher d’une des puces extrêmes, mais non la rattraper et encore moins la dépasser.
Quand c’est le tour d’une puce extrême de bouger, elle va vers l’intérieur du groupe et, soit le nombre de puces en position extrême se réduit, soit l’espace occupé se réduit avec le mouvement d’une puce isolée en position extrême.
Au bout denmouvements, les puces des deux extrémités ont toutes bougé et l’espace occupé s’est réduit de deux unités. Tant que cet espace a une étendue d’au moins 3 unités, chaque puce peut bouger à son tour, mais le blocage finit par se produire.
