G244: Les puces de mon vieux PC
Mon vieux PC est équipé de quatre puces mises en série qui sont toutes hors d'usage. Je dispose d'un lot de seize puces de rechange dont huit sont défectueuses mais j'ignore lesquelles.
L'ordinateur fonctionne seulement quand les quatre puces sont en bon état.Pour installer une ou plusieurs puces ou les retirer, je prends toujours la précaution d'éteindre l'ordinateur et chaque essai entre deux allumages dure deux minutes. Avec mes réminiscences d'analyse combinatoire, je sais qu'il y a C(16,4) = 1820 façons de choisir quatre puces dans un lot de seize puces parmi lesquelles il y a seulement C(8,4) = 70 façons d'en prendre quatre qui sont en bon état.Dans le cas le plus défavorable ma réparation peut donc durer fort longtemps.Je vous demande de m'aider à réduire la durée maximale D de la réparation. Déterminer la plus petite valeur possible de D.
Avec un ensemble de n puces, dont b≥4 en bon état, on peut réaliser Cn4 tests, dont Cb4
seront positifs; on aboutit donc après un maximum de Cn4-Cb4+1 tests (pour n=16 et b=8, il faudrait 1751 tests - plus de 58 heures). Si b=4, il n’y a rien d’autre à faire; sinon, on peut employer les techniques suivantes:
A(p) : On isole p≥4 puces que l’on teste exhaustivement : après Cp4 tests négatifs, on saura qu’il y a au minimum b-3 bonnes puces dans les n-p puces restantes.
B : On choisit 3 puces, et l’on teste les autres comme quatrième : après n-b+1 essais, on sait si les 3 puces ne sont pas toutes bonnes, et qu’il y a au moins b-2 bonnes puces parmi les n-3 restantes.
C : On choisit 2 puces, et l’on teste les Cn-22 combinaisons de deux parmi les n-2 qui restent, dont au minimum Cb-22 composées de bonnes puces : après Cn-22-Cb-22+1 tests, on sait si les deux puces choisies ne sont pas toutes bonnes, et qu’il y a au moins b-1 bonnes puces parmi les n-2 restantes.
Ici , au départ, b=8: on peut donc imaginer utiliser A puis C (en optimisant p), ou C puis A, ou B puis B, B puis C puis C, C puis B puis C, C puis C puis B, ou encore 4 fois C...
Pour A(p) puis C, le nombre de tests est Cp4+C14-p2-2+C14-p4 qui est minimum pour p=7, et vaut alors 89.
Commencer par appliquer C implique déjà C142=91 tests, ce qui disqualifie les méthodes commençant par C... Dans les autres méthodes, on obtient à la fin avec 9 ou 10 puces dont seulement 4 bonnes à coup sûr, soit C94=126 voire C104=210 tests à effectuer.
On arrive donc à un minimum de 89 essais soit D=178 mn, un peu moins de 3 heures.
