Enonc´e noG244 (Diophante) Les puces de mon vieux PC
Mon vieux PC est ´equip´e de quatre puces mises en s´erie qui sont toutes hors d’usage. Je dispose d’un lot de seize puces de rechange dont huit sont d´efectueuses mais j’ignore lesquelles. L’ordinateur fonctionne seulement quand les quatre puces sont en bon ´etat.Pour installer une ou plusieurs puces ou les retirer, je prends toujours la pr´ecaution d’´eteindre l’ordinateur et chaque essai entre deux allumages dure deux minutes.
Avec mes r´eminiscences d’analyse combinatoire, je sais qu’il y aC164 = 1820 fa¸cons de choisir quatre puces dans un lot de seize puces parmi lesquelles il y a seulementC84= 70 fa¸cons d’en prendre quatre qui sont en bon ´etat. Dans le cas le plus d´efavorable ma r´eparation peut donc durer fort longtemps. Je vous demande de m’aider `a r´eduire la dur´ee maximale D de la r´eparation.
D´eterminer la plus petite valeur possible de D.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Voici une solution en 85 essais, r´ealisable en D = 170 minutes = 2 heures 50 minutes.
Je prends un paquet de 7 que je teste 4 par 4 de toutes les fa¸cons (C74= 35).
Je prends dans les 9 restantes un paquet de 7 que je teste 4 par 4 de toutes les fa¸cons (35).
Si tous ces tests sont n´egatifs, chaque paquet de 7 contient au plus 3 bonnes puces et au moins 4 mauvaises ; comme il n’y a que 8 mauvaises puces, chaque paquet de 7 contient exactement 4 mauvaises puces et 3 bonnes ; les 2 puces non test´ees sont bonnes.
Je prends alors 6 puces dans un paquet de 7 ; il y a au moins 2 bonnes puces parmi ces 6, et en les prenant 2 par 2 de toutes les fa¸cons (C62 = 15) pour les associer aux deux connues comme bonnes, un test au moins sera positif parmi les 35 + 35 + 15 = 85.
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