G 244. Les puces de mon vieux PC Solution proposée par Michel Lafond
Il y a une solution en 60 essais. Soit deux heures si on compte 2 minutes par essai.
Numérotons les puces 1, 2, 3, --- 16.
Disons qu’un essai est bon si les 4 puces sont en état, et mauvais sinon.
Notons A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} et A1 = {1, 2} A2 = {3, 4} A3 = {5, 6} A4 = {7, 8}.
Effectuons les 16 essais formés d’une puce parmi A1, une puce parmi A2, une puce parmi A3 et une puce parmi A4.
Effectuons ensuite les 6 essais A1 A2, A1 A3, A1 A4, A2 A3, A2 A4 et A3 A4.
H1 : Si au cours de ces 22 essais on n’est pas tombé sur un bon essai, c’est que :
Il y a au moins 3 mauvaises puces dans A. (a)
[On raisonne par l’absurde pour arriver à une contradiction].
De plus, sous l’hypothèse H1, si on a exactement 3 mauvaises puces dans A c’est qu’au moins l’un des 4 ensembles A1, A2, A3, A4 contient deux bonnes puces. (b)
[On raisonne par l’absurde pour arriver à une contradiction].
Recommençons la procédure mais avec et B1 = {9, 10} B2 = {11, 12} B3 = {13, 14} B4 = {15, 16} et B = {9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}.
H2 : Si au cours de ces 22 nouveaux essais on n’est toujours pas tombé sur un bon essai, c’est que : Il y a au moins 3 mauvaises puces dans B. (c)
De plus si on a exactement 3 mauvaises puces dans B, au moins l’un des 4 ensembles B1, B2, B3, B4
contient deux bonnes puces. (d)
Enfin, effectuons les 16 essais formés de la réunion d’un des quatre ensembles Ai avec l’un des quatre ensembles Bj.
H3 : Si on n’est toujours pas tombé sur un bon essai, c’est qu’on n’a pas à la fois 2 bonnes puces dans un ensemble Ai et 2 bonnes puces dans un ensemble Bj. Donc l’une des deux possibilités (b), (d) est exclue.
Par symétrie, supposons que (d) est exclue. Cela a deux conséquences :
B contient au moins 4 mauvaises puces, et donc A contient au moins 4 bonnes puces. (e)
Mais A ne peut pas contenir 5 bonnes puces (sinon on aurait une contradiction avec l’hypothèse H1).
Donc, d’après (e), A contient exactement 4 bonnes puces. (f) Automatiquement, B contient aussi exactement 4 bonnes puces. (g)
D’après (f), (g) et les hypothèses H1 et H2, un des quatre ensembles Ai et un des quatre ensembles Bj est formé de deux bonnes puces, mais c’est en contradiction avec l’hypothèse H3.
Bref, les 3 hypothèses H1, H2, H3 sont contradictoires, ce qui signifie que parmi les 22 + 22 + 16 = 60 essais l’un d’eux au moins est bon.
J’ai fait une vérification informatique avec MAPLE.
