1S:Dm 9 Devoir maison 9 2015-2016
Exercice 1 : Un dresseur de puces possède 1000 puces qu’il fait sauter en cadence entre deux podiums, un petit et un grand.
Il a constaté que :
– parmi les puces placées sur le grand podium, 80% retombent sur place et 20% sur le petit podium.
– parmi les puces placées sur le petit podium, 40% retombent sur place et 60% sur le grand podium.
Au départ, il y a 800 puces sur le petit podium et 200 sur le grand podium
On note respectivementpn et gn le nombre de puces sur le petit et sur le grand podium au bout densauts.
1. (a) p0= 800 et g0= 200.
(b) p1= 40%×p0+ 20%×g0= 360 etg1= 80%×g0+ 60%×p0= 640.
(c) p2= 272 et g2= 728.
2. Pour toutn∈N, le passage du sautnau sautn+ 1 permet d’écrire que : (pn+1= 0.4pn+ 0.2gn
gn+1= 0.8gn+ 0.6pn
(1) 3. Pourn∈N, on poseSn =pn+gn.
(a) (Sn) est une suite constante etSn=pn+gn= 1000 .
(b) ∀n∈N, Sn+1=pn+1+gn+1= 0,4pn+ 0,2gn+ 0,8gn+ 0,6pn=pn+gn=Sn. (Sn) est une suite constante et, pour toutn∈N, Sn =S0=p0+g0= 1000.
(c) On a donc, pour toutn∈N,pn= 1000−gn et les relations (1) deviennent donc (pn+1= 0.2pn+ 200
gn+1= 0.2gn+ 600 (2)
4. Pourn∈N, on posewn=pn−250.
(a) xn+1=pn+1−250 = 0,2pn+ 200−250 = 0,2pn−50 = 0,2(pn−250) = 0,2wn. Ainsi (wn) est géométrique de raison 0,2 et wn =w0×0,2n avecw0= 800−250 = 550.
(b) Pour tout n ∈ N, pn = wn + 250 = 250 + 550×0.2n. On trouve de même que gn = 1000−pn = 1000−(250 + 550×0,2n) = 750−550×0,2n.
(c) ∀n∈N, pn+1−pn= 250 + 550×0,2n+1−(250 + 550×0,2n) = 550×0,2n(0,2−1). L’expression précédente est négative pour toutnentier et donc (pn) est décroissante. On prouve que (gn) est croissante.
5. À la calculatrice, on prouve quep3≤260 alors quep2= 272.
• • •
Exercice 2 : On considère la fonctionf définie sur Rpar f(x) =mx3+px+q
On a placé sur sa courbe représentative les pointsR, Aet S d’abscisses respectives−1,0 et 1.
On a tracé la tangente à la courbe au pointA, et on admet que les tangentes enR et S sont parallèles à l’axe des abscisses.
1. f est une fonction polynôme, donc elle est dérivable surR. On a donc f′(x) = 3mx2+p.
Or, on sait que f′(0) =−1, ce qui est équivalent à 3m×02+p=−1⇔p=−1.
f(0) = 1⇔q= 1. Enfinf′(0) = 1 donne 3m×12+p= 0⇔3m−1 = 0⇔m=1
3. f(x) = 1
3x3−x+ 1 2. yR=f(−1) = 1
3(−1)3−(−1) + 1 = 5
3 etyS =...=1 3.R
−1;5 3
etS
1;1
3
.
• • •
My Maths Space 1 /??
1S:Dm 9 Devoir maison 9 2015-2016
Exercice 3 :
D C
A B
1−a S
a
bc bc bc bc
bcbc
On considère une pyramide régulière SABCD à base carrée et un réel a∈[0; 1]. Le côté de la base mesure aet la hauteur de la pyramide mesure 1−a.
1. V(a) =
O.cent.base
1
3 ×AB×SO= 1
3a2(1−a) = a2 3 −a3
3 . 2. V est dérivable sur l’intervalle [0; 1] etV′(a) =−a2+2
3a=a 2
3 −a
. V′(a) = 0 ⇔ a = 0 oua = 2
3 et V′(a) est du signe de a (a = −1) à l’extérieur des racines. Finalement, compte-tenu de l’intervalle [0; 1],
a Signe deV′(a)
Variations deV
0 23 1
0 + 0 −
00
4 81
4 81
00
3. D’après le tableau de variations, le volumeV de la pyramide est maxi- mal poura=2
3 et vautV 2
3
= 4 81.
• • •
Exercice 4 :
Dans le plan muni d’un repère, on considère les points
A(−4; 1), B(1;−1), C(−2; 2) etD(−3; 3) On noteI le milieu du segment [AB] etGle point tel que −−→
CG= 1 3
−→AC.
Le but de cet exercice est de démontrer que les droites (AD), (CI) et (BG) sont concourantes.
1. −−→ CG=1
3
−→AC donc les vecteurs−−→ CG et−→
AC sont colinéaires :A, Cet Gsont alignés.
2. (a) I milieu de [AB] donneI
−3 2; 0
et −→
IC −1 22
! . M(x;y)∈(IC)⇔−→
ICet−−→ IM ⇔2
x+3
2
−y×
−1 2
= 0⇔4x+y+6 = 0. On a donc (IC) : 4x+y+6 = 0.
(b) La même méthode permet de trouver (AD) : 2x−y+ 9 = 0.
(c) La non colinéarité des vecteurs −→ IC et −−→
ADprouve l’existence du point K intersection des droites (AD) et (CI).
K= (IC)∩(AD)⇔
4xK+yK+ 6 = 0 2xK−yK+ 9 = 0 ⇔
4xK+yK+ 6 = 0 yK= 2xK+ 9 ⇔
6xK+ 15 = 0 yK= 2xK+ 9 ⇔
(
xK =−5 yK= 4 2 3. On peut montrer que le pointKappartient à la droite (BG). On recherche une équation cartésienne de (BG) par
la méthode utilisée aux questions 2.a et 2.b : (BG) : 10x+ 7y−3 = 0. (Avec un vecteur directeur et en testant la colinéarité avec deux vecteurs directeurs des deux droites précédentes, on constate qu’elle n’est ni parallèle à (IC), ni à (AD))
Puis 10xK+7yK−3 =−25+28−3 = 0 doncK∈(BG). Les droites (AD), (CI) et (BG) sont concourantes enK.
• • •
My Maths Space 2 /??
1S:Dm 9 Devoir maison 9 2015-2016
Exercice 5 : On compte en France métropolitaine environ 9% de personnes souffrant d’une déficience auditive.
On sélectionne 52 personnes au hasard en France métropolitaine pour un sondage au sujet d’un test auditif.
On noteX la variable aléatoire égale au nombre de déficients auditifs dans la sélection.
1. Dans ce cas, l’effectif de la population est très grand (65 millions) par rapport à la taille de l’échantillon (n= 52).
Ainsi le choix d’un individu peut être assimilé à un tirage avec remise.
2. On répète 52 épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes. Le succès est S :« L’individu est déficient auditif » et P(S) = 9
100. La variable X qui compte les succès suit une loi binomiale de paramètre n= 52 et p= 9
100. 3. P(X= 4) =
52 4
0,094×0,9148≈0,192 etP(X = 10) 52
10
0,0910×0,9142≈0,011.
4. P(X>1) = 1−P(X = 0)≈0,993 car (X >1) = (X = 0).
5. P(X 62) =P(X = 0) +P(X = 1) +P(X = 2)≈0,142 car (X 62) = (X = 0)∪(X = 1)∪(X = 2) et les événements sont deux à deux incompatibles.
My Maths Space 3 /??
