HAL Id: hal-03198347
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Submitted on 14 Apr 2021
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Une approche méthodologique de la résolution de conflits
Claudette Cayrol, Marie-Christine Lagasquie-Schiex, Jérôme Mengin
To cite this version:
Claudette Cayrol, Marie-Christine Lagasquie-Schiex, Jérôme Mengin. Une approche méthodologique de la résolution de conflits. Congrès Francophone de Reconnaissance des Formes et Intelligence Arti- ficielle (RFIA 2000), Feb 2000, Paris, France. �hal-03198347�
A methodologial approah for onit resolution
Claudette Cayrol MC Lagasquie-Shiex Jérme Mengin
Institut de Reherhe en Informatique de Toulouse,
118 route de Narbonne, 31062 Toulouse Cedex,Frane
{ayrol, lagasq, mengin}irit.fr
Résumé
Nous nous intéressons àla restauration de ohérene
d'une basede royanesinonsistante, quenousabor-
donsparlarésolutiondeonitsguidéepardespréfé-
renesentre lesroyanes.
L'approhe méthodologique que nous suivonsonsiste
àdénirdesprinipes,puis dessolutionsduproblème
de résolutionde onitsrespetantesprinipes.
Nous proposons ensuite une étude algorithmique de
l'une des solutions ainsi dénies, puis, une ompa-
raison ave les solutions obtenues lorsqu'on restaure
la ohérene en séletionnant diretement des sous-
ensembles ohérents.
Mots Clef
Formalisationdesraisonnements,gestiondesonnais-
sanes.
Abstrat
We are interested in restoring the onsisteny of an
inonsistentset ofbeliefs. Inthis paper,westudyhow
this problem an be solved by resolving onits bet-
ween thebeliefs,guidedby somepreferenes. Ourme-
thodologial approah onsists of two steps: we rst
speifysomepriniplesthatareinaordanewiththe
intuition behind the notionsof onitresolution and
preferene;wethengiveformaldenitionsofsolutions
that obey these priniples. We also study algorithmi
aspets of our solutions and their relationship to so-
lutionsobtainedby diretly seletingonsistent setsof
beliefs.
Keywords
Formalizationofreasonings,managementofknowledge.
1 Introdution
Le problèmedelarestauration delaohérene d'une
tionsdepréféreneentrelesroyanesest au÷urde
nombreusesproblématiquesenIntelligeneArtiielle
(raisonnementnon monotone,révision,...).
Danseadre,ilexistedeux approhesduales:
Soitonséletionnediretementàpartirdelabase
initiale des sous-ensembles onsistants de ette
base 1
.
Soitonidentied'abordlesonitsexistantdans
labase initialepuis onherheàlesrésoudre en
abandonnant des royanes, e qui nous ramè-
nera,là-enore,àdes sous-ensemblesonsistants
delabase initiale.
Dans le as oùil n'existe pas de préférene entre les
royanes, esdeux méthodes onduisentaux mêmes
résultats 2
.
Lapriseenomptedepréférenespermetdedistinguer
lesdeux approhesdupointdevuesémantique:
Dans leas d'une restauration de ohérene par
séletiondiretedesous-ensemblesonsistants,on
attribueauxpréférenesunesémantiquequel'on
peut qualier de globale (omment se situe une
formule donnéepar rapport aux autres formules
delabase?).
Alorsque,dansleasd'unerésolutiondeonits,
onexploite les préférenes sousl'angle d'unesé-
mantiquediteloale(ommentsesituentlesfor-
mulesd'unonitdonnélesunesparrapportaux
autres?).
L'approheloaleestessentielledansleasoùl'ondis-
pose de plusieursrelations depréférene qui peuvent
1.Cequel'onpeutfairesansalulernéessairementtousles
onits.
2.Remarquons que,sion dispose delabase sous laforme
d'unensembledeformules,alorslapremièreméthodeseraplus
rapideàutiliserquelaseonde(eneet,onpeutéviterlealul
desonits).Àl'inverse,silabasenousestdonnéesouslaforme
d'unensemble deonits,ilsera probablement plusjudiieux
préférée à la royane b dans un onit
1
alors que
dansleonit
2
eseral'inverse!).Ils'agitdond'une
approheplusgénéralequel'approheglobale.Notons
d'autre part que des préférenes loales permettent
aussi d'exprimer plus failement des préférenes dé-
pendant d'un ontexte ou des préférenes ondition-
nelles(voir[4,16, 2,9℄).
Nous allons don aborder le problème de résolution
desonitsdansunebaseinonsistanteéquipéed'une
relationdepréférene,maissousunangleunpeupar-
tiulier.Eneet,ilexistedetrèsnombreuxtravauxsur
e sujet,maislaplupartdutemps,ils'agit deontri-
butionstrèsexpérimentales ettrèsliéesauxapplia-
tions.Or,noussouhaiterionsdénireproblèmeetses
solutionsdemanièreplussystématiqueen dénissant
des prinipes à respeter et des solutions respetant
esprinipes.
Ce quinousamène,danslasetion2,àprésenterune
approhe méthodologique de e problème et de ses
solutions. En setion 3, nous évoquerons l'aspet al-
gorithmique du alul des solutions proposées. Puis,
en setion 4,nous préiserons lesliens existantentre
lessolutionsduproblèmederésolutiondeonitsque
nous proposonsen setion2et ertainessolutionsdu
problème de restauration deohérene (par séletion
direte de sous-ensembles onsistants). Et enn, en
setion5,nousonlurons.
2 L'approhe méthodologique
2.1 Les dénitions et prinipe de base
SoitLunlangagelogiquequelonque.SoientE unen-
sembledeformulesdeLreprésentantdesroyanes,et
K unensembleonsistantde formulesdeLreprésen-
tantdesonnaissanesinontestables.L'unionE[K
pourraêtreinonsistanteetEseraappeléunebasede
royanes.
Leproblèmedelarestaurationdeohérenepeutêtre
dérit ommeétantlesuivant:
Restaurer la K-onsistane onsiste à trou-
verunsous-ensembleK-onsistant 3
deE.En
général,onprivilégielessolutionsmaximales
pourl'inlusion(voir[3,7,8,1,12℄).
Quantauproblèmedelarésolutiondeonits,ilpeut
êtredérit delamanièresuivante:
E est supposée K-inonsistante et elle est
donnée sous la forme d'un ensemble de K-
onits('est-à-direlessous-ensemblesdeE
minimauxpourl'inlusionparmieuxquisont
K-inonsistants).
i
onits issus de E (haque
i
étant un K-
onit),N (E)= S
i
i
lenoyaudeEetL(E)
l'ensembledes formulesde E nepartiipant
àauunonit(formules libres de E). Ona
alorsE=N (E)[L(E) 4
.
Résoudre les K-onits onsiste à détermi-
nerunsous-ensemblede E qui neontienne
auun des K-onits. Il faut trouver, pour
haqueonit,au moins une formuleàsup-
primeretilsut detravaillersurNpuisque
lesformulesdeLnesontpasimpliquéesdans
laK-inonsistane.
Nous avons don la dénition suivante qui araté-
riseequel'onappelleunesolutiond'unproblèmede
onits.
Dénition1 Soit C=f
i
g unproblème de onits.
S est une solution 5
de C ssi S est unsous-ensemble
de N(uniondes
i
)telque
i
\S6=;, 8i.
Exemple 1 Soit C l'ensemble des onits suivant:
C =ffa;bg;fb;gg(a, b, étant3 formules proposi-
tionnelles).
Sionappliqueladénition1,onobtientles5solutions
suivantes: S
1
= fa;b;g, S
2
= fa;bg, S
3
= fb;g,
S
4
=fa;g,S
5
=fbg.
RemarquonsqueS
4 etS
5
semblentplusintéressantes
queles 3autres, puisqu'on nesupprime qu'uneseule
formuleparonit.
Parexemple,sionseplae dansleadredudiagnos-
tibasésurlaonsistane,haqueonitestassoiéà
unensembledeomposantsnepouvantavoirunfon-
tionnement orretenmême tempsétantdonnéesles
observations eetuées; don supprimer une formule
d'un onit orrespond à supposer un omposant en
panne.Et onpréfèregénéralementsupposerle moins
depannespossible.
Tout onitdoit ertesêtre résolumaisl'élimination
d'uneformulepeutrésoudreplusieursonitsàlafois.
Lesouiden'éliminerqu'uneseuleformuleparonit
orrespondàequenousappelonsleprinipedemini-
malité(voirsetion2.2),etnousamèneàladénition
suivante.
Dénition2 Soit C=f
i
g unproblème de onits.
S est une solution minimale de C ssi S est un sous-
ensemblede Nvériant:
i
\S6=;,8i,
4.Poursimplier,onutiliseralanotationC,NetLàlaplae
deC(E),N (E)etL(E).
5.Cela orrespond à la notion d'ensemble andidat ou
i
Cette dénition aratérise don les sous-ensembles
de N minimaux pour l'inlusion renontrant tous les
onits 6
.
Exemple 1 (suite) Quand on applique la déni-
tion2surl'exemple1,onn'obtientalorsommesolu-
tionsminimalesquelessous-ensemblesS
4 etS
5 .
Cettedénition2permet dond'obtenirunensemble
de solutions beauoup plus intéressant que elui ob-
tenu par la dénition 1. Toutefois, elle ne tient pas
ompte dufaitque,dansunonit,onpréférerasup-
primerune formulepluttqu'uneautre.
2.2 Utilisation des préférenes
On introduit donlaprise enompte despréférenes
dans le problème de résolutionde onits. On onsi-
dèrequehaqueK-onitdeE(noté
i
)estmunid'un
pré-ordre totalet que8i,f(
i
) dénotel'ensembledes
élémentsminimaux de
i
par rapport àe pré-ordre.
OnnoteraN
min
= S
i f(
i ).
À partirde là, on peut expliiter un ertain nombre
deprinipesàrespeterpourobtenirdebonnessolu-
tionset'estlàtoutel'originalitédenotreapprohe:
Le prinipede minimalité:
ne garder que les solutions qui n'en ontiennent
pas d'autres(minimalité au sensde l'inlusion);
'estleprinipedebasedéjàexploitédansladé-
nition 2;
Le prinipede parimonie:
éliminerlepluspetitnombrepossiblederoyanes
(minimalité ausensdelaardinalité);
Le prinipedu respet des préférenes:
les royanesà éliminer sont hoisiesautantque
possible dans les f(
i
) (l'idée étant de s'assurer
quetouteformuleéliminéel'aétépourunebon-
ne raison);
Le priniped'eaité:
séletionner leplus petit nombre possible de so-
lutions(andefailiterl'utilisationfuturedees
solutionss'ilyenatrop,il seratrèsdiilede
lesexploiter).
Remarquons que es prinipes ne sont pas toujours
ompatibles.
Exemple 1 (suite) Reprenonsl'exemple1en sou-
lignantlesélémentsminimauxdehaqueonit:C=
ffa;bg;fb;gg. Sur et exemple, parmi les solutions
obtenues par la dénition 1, S
4 et S
5
respetent le
prinipe deminimalité,S
4
respetelespréférenes et
6.Unensemblee
1
renontre unautreensemblee
2 ssie
1
\
e 6=;.
5
pasdesolutionrespetanttouslesprinipesàlafois.
Le prinipe de minimalité allié au respet des préfé-
renesnousmèneàladénitionsuivante.
Dénition3 Soit C = f
i
g un problème de onits
équipé d'un pré-ordre total sur haque
i
. S est une
solutionminimalepréféréessiS estunsous-ensemble
de Nvériant:
i
\S6=;,8i,
8x2S,9i telque
i
\S=fxg,
8x2S,9j telquex2f(
j ).
CequiestéquivalentàdirequeSestunsous-ensemble
deN
min
minimalpourl'inlusionquirenontrehaque
onit.
Exemple 1 (suite) Suretexemple, laseulesolu-
tionminimalepréféréeest S
4 .
Exemple2 Soitleproblèmedeonitssuivant:
C=ffa
6
;a
1
;a
2 g,fa
7
;a
2
;a
3 g,fa
3
;a
4
;a
8 g,fa
4
;a
5 gg.
Sur etexemple,ladénition 3nous fournitles 5so-
lutionsminimalespréféréessuivantes:
S
1
= fa
2
;a
4 g, S
2
= fa
2
;a
8
;a
5 g, S
3
= fa
1
;a
3
;a
5 g,
S
4
=fa
2
;a
3
;a
5 g,S
5
=fa
1
;a
3
;a
4 g.
D'autrepart,le prinipede parimonienous onduit
àladénition4.
Dénition4 Soit C=f
i
g unproblème de onits.
S est une solution parimonieuse de C ssi S est un
sous-ensemble de N minimal pour la ardinalité qui
renontre haqueonit.
Exemple 1 (suite) Quand on applique la déni-
tion4surl'exemple1,onn'obtientalorsommesolu-
tionparimonieusequelesous-ensembleS
5 .
Lessolutionsparimonieusesétanttoutesminimales 7
,
onpeutdonvoirladénition4ommeunmoyende
respeteraumieux lepriniped'eaité.
Parontre,étantdonnéleurinompatibilité,ilestim-
possible d'assoier prinipe de parimonie et respet
des préférenes. La seule hose que l'on puisse faire
est d'essayer de respeter le prinipe d'eaité en
utilisantlaardinalitéommeunmoyenpourréduire
l'ensembledes solutions.Ce quinous mène àladé-
nition5.
Dénition5 Soit C = f
i
g un problème de onits
équipé d'un pré-ordre total sur haque
i
. S est une
solutionard-minpréféréessi:Sestunsous-ensemble
deN
min
minimalpourlaardinalitérenontranthaque
onit.
7.Eneet,ladénition4raneladénition2.
Exemple1(n) Suretexemple,lasolutionard-
min préférée est aussi la solution minimale préférée
S
4
.Notonsqu'ilnes'agitpasd'unesolutionparimo-
nieuse.
Exemple 2 (suite) Si on reprend l'exemple 2, la
seulesolutionard-minpréférée estS
1 .
Il existe aussi d'autres moyens de réduire l'ensemble
dessolutionsandemieuxrespeterlepriniped'e-
aité.Nouspouvonsparexempleutiliserdesnotions
moins onnues ommelapréférenedite élitisteissue
de[7℄(voirlesdénitions 6et 7).
Dénition 6 Soient S
1 et S
2
deux solutions mini-
malespréféréesd'unproblèmedeonitC.Ondiraque
S
1 S
2
ssipourtoutx2S
2 nS
1
,ilexistey2S
1 nS
2
etunonit
i
2Ctelsque:y2
i nf(
i
)etx2f(
i ).
De manière informelle, ela signie que
i
est mieux
résolu par x quepary.
Dénition 7 Soit C = f
i
g un problème de onits
équipé d'un pré-ordre total sur haque
i
. S est une
solution éli-préférée ssi: S est un sous-ensemble de
N
min
qui renontrehaque onit et qui est maximal
pourla relationdonnéeparla dénition 6.
Don, onne onserve quelessolutions permettant de
résoudre au mieux les onits (au sens de la déni-
tion6).
Exemple2(suite) Dansl'exemple2,seulesS
1 ,S
2
et S
3
sontéli-préférées.
Touteslesdénitionsdonnéesiisontreprisesdansle
tableau1avelesprinipesrespetés.
3 Calul des solutions minimales
Unepropriétéintéressantedessolutionsminimalespré-
féréestellesqu'ellesontétédéniesdanslasetionpré-
édente est que leur alul se ramèneà unproblème
bien onnu en IntelligeneArtiielle: le alul d'en-
semblesintersetantsd'unensembled'ensembles.
Dénition 8 Unensembleintersetantd'unensemble
d'ensembles C est une partie de l'union des éléments
de C dontl'intersetion avehaque élémentde Cest
non vide.
Proposition1 Soit C =f
i
gun ensemble d'ensem-
bles, etsoit f une fontionqui assoieàtoutélément
i
de C une partie non vide de
i
. Soit N
min
l'union
des f(
i
), alors S est une solution minimale préférée
(au sens de la dénition 3) du problème de onits
dénipar Cetf sietseulement siS estunensemble
intersetantminimal (pour l'inlusion) de C 0
=f
i
\
N g.
Solutionsproposées respetés
Minimalité Parimonie Respetpréférenes
Sol.(debase)(déf.1)
Sol.minimale(déf.2) X
Sol.minimalepréférée(déf.3) X X
Sol.parimonieuse(déf.4) X X
Sol.ard-minpréférée(déf.5) X X
Sol.éli-préférée(déf.7) X X
Tab.1Tableauréapitulatif desprinipes etdesso-
lutions(leX signiequela solution proposée respete
leprinipedonné)
Danslasuite,nousnousintéressonsaualul desen-
sembles intersetants minimaux d'un ensemble d'en-
sembles C =f
i
g,et nous noteronsN l'uniondes
i .
Plusieurs algorithmes de alul d'ensembles interse-
tantsontétéproposésenIntelligeneArtiielle,dans
leadredudiagnosti[17℄,deladédutionenlogique
propositionnelle[5,6℄,ouenoredel'étudedelogiques
nonmonotones[11,13,14,15℄entreautres.Nouspré-
sentonsbrièvementdanslasuitelesprinipalesara-
téristiquesdeesalgorithmes.
L'algorithmede[17℄,orrigépar[10℄etgénéralisépar
[13℄,examinel'unaprèsl'autrelesélémentsdeC:pour
haque nouvel ensemble
i
de C examiné, on séle-
tionne un élément de
i
, à moins qu'on ait déjà sé-
letionné unélément de
i
lorsde l'examen d'un en-
semble préédent. Comme il y aplusieurs hoix pos-
sibles lors de la séletion d'un élément de
i
, l'algo-
rithmeexploreunarbredontlesn÷udssontétiquetés
pardesensemblesdeC,et lesarsparleurséléments.
L'étiquetted'un n÷udnest unensemble
i
dontau-
unélémentn'apparaîtommeétiquettedes arsau-
dessusden;siauun
i
nevérieettepropriété,alors
nest unefeuilleet l'ensembleintersetantorrespon-
dantest l'ensemble des étiquettesdes ars au-dessus
den.Àhaqueélémentxdel'étiquette
i
d'unn÷udn
orrespondunsous-arbredontlaraineestunlsden,
etdanslequeltouslesensemblesintersetantsalulés
ontiennent x; e sous-arbre orrespond au hoix de
xpourinterseter l'ensemble
i
.Unexemplesimple
dealuld'ensemblesintersetantsaveetalgorithme
estreprésentésurlagure1.
