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Submitted on 14 Apr 2021
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Une approche méthodologique de la résolution de
conflits
Claudette Cayrol, Marie-Christine Lagasquie-Schiex, Jérôme Mengin
To cite this version:
A methodologi al approa h for on i t resolution
Claudette Cayrol MC Lagasquie-S hiex Jér me Mengin
Institut de Re her he en Informatique de Toulouse, 118 route de Narbonne, 31062 Toulouse Cedex,Fran e
{ ayrol, lagasq, mengin}irit.fr
Résumé
Nous nous intéressons àla restauration de ohéren e d'une basede royan esin onsistante, quenous abor-donsparlarésolutionde on itsguidéepardes préfé-ren esentre les royan es.
L'appro he méthodologique que nous suivons onsiste àdé nirdesprin ipes,puis dessolutionsduproblème de résolutionde on itsrespe tant esprin ipes. Nous proposons ensuite une étude algorithmique de l'une des solutions ainsi dé nies, puis, une ompa-raison ave les solutions obtenues lorsqu'on restaure la ohéren e en séle tionnant dire tement des sous-ensembles ohérents.
Mots Clef
Formalisationdesraisonnements,gestiondes onnais-san es.
Abstra t
We are interested in restoring the onsisten y of an in onsistentset ofbeliefs. Inthis paper,westudyhow this problem an be solved by resolving on i ts bet-ween thebeliefs,guidedby somepreferen es. Our me-thodologi al approa h onsists of two steps: we rst spe ifysomeprin iplesthatareina ordan ewiththe intuition behind the notionsof on i tresolution and preferen e;wethengiveformalde nitionsofsolutions that obey these prin iples. We also study algorithmi aspe ts of our solutions and their relationship to so-lutionsobtainedby dire tly sele ting onsistent setsof beliefs.
Keywords
Formalizationofreasonings,managementofknowledge. 1 Introdu tion
Le problèmedelarestauration dela ohéren e d'une
tionsdepréféren eentreles royan esest au ÷urde nombreusesproblématiquesenIntelligen eArti ielle (raisonnementnon monotone,révision,...).
Dans e adre,ilexistedeux appro hesduales: Soitonséle tionnedire tementàpartirdelabase
initiale des sous-ensembles onsistants de ette base
1 .
Soitonidenti ed'abordles on itsexistantdans labase initialepuis on her heàlesrésoudre en abandonnant des royan es, e qui nous ramè-nera,là-en ore,àdes sous-ensembles onsistants delabase initiale.
Dans le as oùil n'existe pas de préféren e entre les royan es, esdeux méthodes onduisentaux mêmes résultats
2 .
Lapriseen omptedepréféren espermetdedistinguer lesdeux appro hesdupointdevuesémantique:
Dans le as d'une restauration de ohéren e par séle tiondire tedesous-ensembles onsistants,on attribueauxpréféren esunesémantiquequel'on peut quali er de globale ( omment se situe une formule donnéepar rapport aux autres formules delabase?).
Alorsque,dansle asd'unerésolutionde on its, onexploite les préféren es sousl'angle d'une sé-mantiqueditelo ale( ommentsesituentles for-mulesd'un on itdonnélesunesparrapportaux autres?).
L'appro helo aleestessentielledansle asoùl'on dis-pose de plusieursrelations depréféren e qui peuvent 1.Cequel'onpeutfairesans al ulerné essairementtousles on its.
préférée à la royan e b dans un on it 1
alors que dansle on it
2
eseral'inverse!).Ils'agitdon d'une appro heplusgénéralequel'appro heglobale.Notons d'autre part que des préféren es lo ales permettent aussi d'exprimer plus fa ilement des préféren es dé-pendant d'un ontexte ou des préféren es ondition-nelles(voir[4,16, 2,9℄).
Nous allons don aborder le problème de résolution des on itsdansunebasein onsistanteéquipéed'une relationdepréféren e,maissousunangleunpeu par-ti ulier.Eneet,ilexistedetrèsnombreuxtravauxsur e sujet,maislaplupartdutemps,ils'agit de ontri-butionstrèsexpérimentales ettrèsliéesaux appli a-tions.Or,noussouhaiterionsdé nir eproblèmeetses solutionsdemanièreplussystématiqueen dé nissant des prin ipes à respe ter et des solutions respe tant esprin ipes.
Ce quinousamène,danslase tion2,àprésenterune appro he méthodologique de e problème et de ses solutions. En se tion 3, nous évoquerons l'aspe t al-gorithmique du al ul des solutions proposées. Puis, en se tion 4,nous pré iserons lesliens existantentre lessolutionsduproblèmederésolutionde on itsque nous proposonsen se tion2et ertainessolutionsdu problème de restauration de ohéren e (par séle tion dire te de sous-ensembles onsistants). Et en n, en se tion5,nous on lurons.
2 L'appro he méthodologique 2.1 Les dé nitions et prin ipe de base SoitLunlangagelogiquequel onque.SoientE un en-sembledeformulesdeLreprésentantdes royan es,et K unensemble onsistantde formulesdeL représen-tantdes onnaissan esin ontestables.L'unionE[K pourraêtrein onsistanteetEseraappeléunebasede royan es.
Leproblèmedelarestaurationde ohéren epeutêtre dé rit ommeétantlesuivant:
Restaurer la K- onsistan e onsiste à trou-verunsous-ensembleK- onsistant
3
deE.En général,onprivilégielessolutionsmaximales pourl'in lusion(voir[3,7,8,1,12℄).
Quantauproblèmedelarésolutionde on its,ilpeut êtredé rit delamanièresuivante:
E est supposée K-in onsistante et elle est donnée sous la forme d'un ensemble de K- on its( 'est-à-direlessous-ensemblesdeE minimauxpourl'in lusionparmi euxquisont K-in onsistants).
i on its issus de E ( haque
i étant un K- on it),N (E)= S i i lenoyaudeEetL(E) l'ensembledes formulesde E neparti ipant àau un on it(formules libres de E). Ona alorsE=N (E)[L(E)
4 .
Résoudre les K- on its onsiste à détermi-nerunsous-ensemblede E qui ne ontienne au un des K- on its. Il faut trouver, pour haque on it,au moins une formuleà sup-primeretilsu t detravaillersurNpuisque lesformulesdeLnesontpasimpliquéesdans laK-in onsistan e.
Nous avons don la dé nition suivante qui ara té-rise equel'onappelleunesolutiond'unproblèmede on its.
Dé nition1 Soit C=f i
g unproblème de on its. S est une solution
5
de C ssi S est unsous-ensemble de N(uniondes
i
)telque i
\S6=;, 8i.
Exemple 1 Soit C l'ensemble des on its suivant: C =ffa;bg;fb; gg(a, b, étant3 formules proposi-tionnelles).
Sionappliqueladé nition1,onobtientles5solutions suivantes: S 1 = fa;b; g, S 2 = fa;bg, S 3 = fb; g, S 4 =fa; g,S 5 =fbg. RemarquonsqueS 4 etS 5
semblentplusintéressantes queles 3autres, puisqu'on nesupprime qu'uneseule formulepar on it.
Parexemple,sionsepla e dansle adredu diagnos-ti basésurla onsistan e, haque on itestasso iéà unensemblede omposantsnepouvantavoirun fon -tionnement orre tenmême tempsétantdonnéesles observations ee tuées; don supprimer une formule d'un on it orrespond à supposer un omposant en panne.Et onpréfèregénéralementsupposerle moins depannespossible.
Tout on itdoit ertesêtre résolumaisl'élimination d'uneformulepeutrésoudreplusieurs on itsàlafois. Lesou iden'éliminerqu'uneseuleformulepar on it orrespondà equenousappelonsleprin ipede mini-malité(voirse tion2.2),etnousamèneàladé nition suivante.
Dé nition2 Soit C=f i
g unproblème de on its. S est une solution minimale de C ssi S est un sous-ensemblede Nvéri ant:
i
\S6=;,8i,
4.Poursimpli er,onutiliseralanotationC,NetLàlapla e deC(E),N (E)etL(E).
i
Cette dé nition ara térise don les sous-ensembles de N minimaux pour l'in lusion ren ontrant tous les on its
6 .
Exemple 1 (suite) Quand on applique la dé ni-tion2surl'exemple1,onn'obtientalors omme solu-tionsminimalesquelessous-ensemblesS
4 etS
5 . Cettedé nition2permet don d'obtenirunensemble de solutions beau oup plus intéressant que elui ob-tenu par la dé nition 1. Toutefois, elle ne tient pas ompte dufaitque,dansun on it,onpréférera sup-primerune formuleplut tqu'uneautre.
2.2 Utilisation des préféren es
On introduit don laprise en ompte despréféren es dans le problème de résolutionde on its. On onsi-dèreque haqueK- on itdeE(noté
i
)estmunid'un pré-ordre totalet que8i,f(
i
) dénotel'ensembledes élémentsminimaux de
i
par rapport à e pré-ordre. OnnoteraN min = S i f( i ).
À partirde là, on peut expli iter un ertain nombre deprin ipesàrespe terpourobtenirdebonnes solu-tionset 'estlàtoutel'originalitédenotreappro he: Le prin ipede minimalité:
ne garder que les solutions qui n'en ontiennent pas d'autres(minimalité au sensde l'in lusion); 'estleprin ipedebasedéjàexploitédansla dé- nition 2;
Le prin ipede par imonie:
éliminerlepluspetitnombrepossiblede royan es (minimalité ausensdela ardinalité);
Le prin ipedu respe t des préféren es:
les royan esà éliminer sont hoisiesautantque possible dans les f(
i
) (l'idée étant de s'assurer quetouteformuleéliminéel'aétépourune bon-ne raison);
Le prin iped'e a ité:
séle tionner leplus petit nombre possible de so-lutions(a ndefa iliterl'utilisationfuturede es solutionss'ilyenatrop,il seratrèsdi ilede lesexploiter).
Remarquons que es prin ipes ne sont pas toujours ompatibles.
Exemple 1 (suite) Reprenonsl'exemple1en sou-lignantlesélémentsminimauxde haque on it:C= ffa;bg;fb; gg. Sur et exemple, parmi les solutions obtenues par la dé nition 1, S
4 et S 5 respe tent le prin ipe deminimalité,S 4
respe telespréféren es et 6.Unensemblee
1
ren ontre unautreensemblee 2 ssie 1 \ e 6=;. 5
pasdesolutionrespe tanttouslesprin ipesàlafois. Le prin ipe de minimalité allié au respe t des préfé-ren esnousmèneàladé nitionsuivante.
Dé nition3 Soit C = f i
g un problème de on its équipé d'un pré-ordre total sur haque
i
. S est une solutionminimalepréféréessiS estunsous-ensemble de Nvéri ant: i \S6=;,8i, 8x2S,9i telque i \S=fxg, 8x2S,9j telquex2f( j ).
CequiestéquivalentàdirequeSestunsous-ensemble deN
min
minimalpourl'in lusionquiren ontre haque on it.
Exemple 1 (suite) Sur etexemple, laseule solu-tionminimalepréféréeest S
4 .
Exemple2 Soitleproblèmede on itssuivant: C=ffa 6 ;a 1 ;a 2 g,fa 7 ;a 2 ;a 3 g,fa 3 ;a 4 ;a 8 g,fa 4 ;a 5 gg. Sur etexemple,ladé nition 3nous fournitles 5 so-lutionsminimalespréféréessuivantes:
S 1 = fa 2 ;a 4 g, S 2 = fa 2 ;a 8 ;a 5 g, S 3 = fa 1 ;a 3 ;a 5 g, S 4 =fa 2 ;a 3 ;a 5 g,S 5 =fa 1 ;a 3 ;a 4 g.
D'autrepart,le prin ipede par imonienous onduit àladé nition4.
Dé nition4 Soit C=f i
g unproblème de on its. S est une solution par imonieuse de C ssi S est un sous-ensemble de N minimal pour la ardinalité qui ren ontre haque on it.
Exemple 1 (suite) Quand on applique la dé ni-tion4surl'exemple1,onn'obtientalors omme solu-tionpar imonieusequelesous-ensembleS
5 . Lessolutionspar imonieusesétanttoutesminimales
7 , onpeutdon voirladé nition4 ommeunmoyende respe teraumieux leprin iped'e a ité.
Par ontre,étantdonnéleurin ompatibilité,ilest im-possible d'asso ier prin ipe de par imonie et respe t des préféren es. La seule hose que l'on puisse faire est d'essayer de respe ter le prin ipe d'e a ité en utilisantla ardinalité ommeunmoyenpourréduire l'ensembledes solutions.Ce quinous mène àla dé -nition5.
Dé nition5 Soit C = f i
g un problème de on its équipé d'un pré-ordre total sur haque
i
. S est une solution ard-minpréféréessi:Sestunsous-ensemble deN
min
minimalpourla ardinalitéren ontrant haque on it.
Exemple1( n) Sur etexemple,lasolution ard-min préférée est aussi la solution minimale préférée S
4
.Notonsqu'ilnes'agitpasd'unesolution par imo-nieuse.
Exemple 2 (suite) Si on reprend l'exemple 2, la seulesolution ard-minpréférée estS
1 .
Il existe aussi d'autres moyens de réduire l'ensemble dessolutionsa ndemieuxrespe terleprin ipe d'e - a ité.Nouspouvonsparexempleutiliserdesnotions moins onnues ommelapréféren edite élitisteissue de[7℄(voirlesdé nitions 6et 7).
Dé nition 6 Soient S 1
et S 2
deux solutions mini-malespréféréesd'unproblèmede on itC.Ondiraque S
1 S
2
ssipourtoutx2S 2 nS 1 ,ilexistey2S 1 nS 2 etun on it i 2Ctelsque:y2 i nf( i )etx2f( i ). De manière informelle, ela signi e que
i
est mieux résolu par x quepary.
Dé nition 7 Soit C = f i
g un problème de on its équipé d'un pré-ordre total sur haque
i
. S est une solution éli-préférée ssi: S est un sous-ensemble de N
min
qui ren ontre haque on it et qui est maximal pourla relationdonnéeparla dé nition 6.
Don , onne onserve quelessolutions permettant de résoudre au mieux les on its (au sens de la dé ni-tion6).
Exemple2(suite) Dansl'exemple2,seulesS 1 ,S 2 et S 3 sontéli-préférées.
Touteslesdé nitionsdonnéesi isontreprisesdansle tableau1ave lesprin ipesrespe tés.
3 Cal ul des solutions minimales Unepropriétéintéressantedessolutionsminimales pré-féréestellesqu'ellesontétédé niesdanslase tion pré- édente est que leur al ul se ramèneà unproblème bien onnu en Intelligen eArti ielle: le al ul d'en-semblesinterse tantsd'unensembled'ensembles. Dé nition 8 Unensembleinterse tantd'unensemble d'ensembles C est une partie de l'union des éléments de C dontl'interse tion ave haque élémentde Cest non vide.
Proposition1 Soit C =f i
gun ensemble d'ensem-bles, etsoit f une fon tionqui asso ieàtoutélément
i
de C une partie non vide de i . Soit N min l'union des f( i
), alors S est une solution minimale préférée (au sens de la dé nition 3) du problème de on its dé nipar Cetf sietseulement siS estunensemble interse tantminimal (pour l'in lusion) de C
0 =f
i \ N g.
Solutionsproposées respe tés
Minimalité P
ar imonie
Resp
e t
préféren es
Sol.(debase)(déf.1)
Sol.minimale(déf.2) X
Sol.minimalepréférée(déf.3) X X Sol.par imonieuse(déf.4) X X Sol. ard-minpréférée(déf.5) X X Sol.éli-préférée(déf.7) X X
Tab.1Tableauré apitulatif desprin ipes etdes so-lutions(leX signi equela solution proposée respe te leprin ipedonné)
Danslasuite,nousnousintéressonsau al ul des en-sembles interse tants minimaux d'un ensemble d'en-sembles C =f
i
g,et nous noteronsN l'uniondes i
. Plusieurs algorithmes de al ul d'ensembles interse -tantsontétéproposésenIntelligen eArti ielle,dans le adredudiagnosti [17℄,deladédu tionenlogique propositionnelle[5,6℄,ouen oredel'étudedelogiques nonmonotones[11,13,14,15℄entreautres.Nous pré-sentonsbrièvementdanslasuitelesprin ipales ara -téristiquesde esalgorithmes.
L'algorithmede[17℄, orrigépar[10℄etgénéralisépar [13℄,examinel'unaprèsl'autrelesélémentsdeC:pour haque nouvel ensemble
i
de C examiné, on séle -tionne un élément de
i
, à moins qu'on ait déjà sé-le tionné unélément de
i
lorsde l'examen d'un en-semble pré édent. Comme il y aplusieurs hoix pos-sibles lors de la séle tion d'un élément de
i
, l'algo-rithmeexploreunarbredontlesn÷udssontétiquetés pardesensemblesdeC,et lesar sparleurséléments. L'étiquetted'un n÷udnest unensemble
i
dont au- unélémentn'apparaît ommeétiquettedes ar s au-dessusden;siau un
i
nevéri e ettepropriété,alors nest unefeuilleet l'ensembleinterse tant orrespon-dantest l'ensemble des étiquettesdes ar s au-dessus den.À haqueélémentxdel'étiquette
i
d'unn÷udn orrespondunsous-arbredontlara ineestun lsden, etdanslequeltouslesensemblesinterse tants al ulés ontiennent x; e sous-arbre orrespond au hoix de xpourinterse ter l'ensemble
i
S 2 =fa;bg b S 3 =fa; g S 4 =fa;dg H H H H H H d fb; ;dg a S 1 =fbg H H H H H H b
Fig. 1 Cal ul d'ensembles interse tants de C = ffa;bg;fb; ;dggselon[17 ℄
L'un des fa teursayant unein uen e importante sur l'e a itéd'un al ul d'ensemblesinterse tants mini-mauxestlenombredepartiesdel'unionNdes
i ren- ontrées plusieurs fois. [17, 10℄ proposent, a n d'évi-ter ertainesredondan esdansl'algorithme i-dessus, plusieurspropriétésde oupure,baséesnotammentsur la minimalité des ensembles interse tants re her hés. Une appro he similaire est suivie dans [13℄. Notons que espropriétés nepeuventêtre exploitéesave ef- a ité que si l'arbre est exploré en largeur d'abord. Sur l'exemple de la gure 1, ette optimisation per-met d'éviter le al ul de l'ensemble interse tant S
2 , qui n'est pas minimal. Un attrait de ette appro he estl'in rémentalité,ausensoùl'ajoutdenouveaux en-semblesàCnené essitepasdere al ulertoutl'arbre: ilsu t de ontinuerle al ulàpartirdesfeuillesdéjà al ulées.
Une autre méthode évitant la redondan e onsiste à partird'une te hniquegénérale permettant d'énumé-rer sans redondan e toutes les parties de N , puis à exploiter des propriétés restreignant au maximum la re her hetoutenrestant ompletvis-à-visdesparties deNre her hées.C'estainsiqu'onpeut onstruireun arbre binaire dont haque n÷ud n est étiqueté par unepaire(I(n);O(n))d'ensembles:I(n) ontientune partie de la partie de N en ours de onstru tion, alors que O(n) ontient une partie de son omplé-mentaire. Chaque n÷ud n tel que I(n)[O(n) 6= N a deux enfants, l'un étiqueté par (I(n)[fdg;O(n)), l'autre par (I(n);O(n)[fdg) pour un ertain d 2 N (I(n)[O(n)).LesensemblesI orrespondantaux feuilles de l'arbreainsi onstruitforment une énumé-rationnonredondantedespartiesdeN .
Deux propriétés permettent de réduire la re her he d'ensemblesinterse tantsminimaux.Eneet,sinest unn÷udsurle heminentrelara ineetunefeuillel, et si I(l)est un ensemble interse tantminimal de C, alorsona: sid2=I(l)et 2C,alors( fdg)\I(l)6=;,et fg;fg a!I fag;fg b!I fa;bg;fa ; ;d g , , JJ b!O J J fag;fbg !I fa; g;fb;d g JJ !O fa;d g;fb; g J J a!O fb g;fa; ;d g
Fig.2 Arbrebinairede al ul desensembles inter-se tantsminimauxdeC=ffa;bg;fb; ;dgg:lesn÷uds sont représentés par les paires I;O orrespondantes; lesélémentspassésdansI etO à ausedespropriétés de oupuressontindiquéspardesastérisques.La roix indiqueune bran he fermée ar I(n)\O(n)6=;.
ommeO(n)\I(l)=;, i fdg6O(n); si d 2 I(l), alors il existe i 2 C tel que i \ I(l) = fdg, don ( i fdg) O(l), et omme I(n)\O(l)=;,( i fdg)\I(n)=;.
Cela montre qu'on peut réduire la re her hetout en restant omplet parrapportau al uld'ensembles in-terse tantsminimaux enexploitantlesdeuxtypesde oupuressuivants:
1. sid2N (I(n)[O(n))esttelqu'ilexiste i
2C ave
i
fdg O(n), alors d est ontenu dans tout ensemble interse tant minimal de C qui ne ontientau unélémentdeO(n):dpeutêtre ajou-téàI(n);
2. si d 2 N O(n) est tel que pour tout i
2 C, (
i
fdg)\I(n)6= ;,alors d nepeut être dans au un ensemble interse tant minimal ontenant I(n): d peutêtre ajouté àO(n). Si dappartient déjàà I(n),la bran he orrespondante doit être fermée, aralorsI(n)\O(n)6=;.
fg;fg b!I fbg;fa ; ;d g J J b!O S S fa g;fbg !I fa; g;fb;d g JJ !O fa;d g;fb; g
Fig.3 Arbre optimisé pour le al ul desensembles interse tantsminimauxde C=ffa;bg;fb; ;dgg.
enlogiquepropositionnelle,ainsiquedans[11,15,14℄ pourdesalgorithmesliésauxlogiquesnonmonotones. Unfa teurpouvantavoirunegrandein uen esur l'ef- a itéde etteappro heestlaméthodede séle tion d'unélémentd2N (I(n)[O(n))à haquefoisque de nouveaux n÷uds doivent être réés. [18℄ suggère d'ordonner stri tement tous les éléments de N , pour ensuite séle tionner à haque fois l'élément minimal deN (I(n)[O(n)). Uneappro hesimilaireest sui-viedans[14℄.Cettete hniquenepermetpasde tenir ompte desspé i itésduproblèmeàrésoudre. Par ontre, l'algorithme de [5, 6℄ est guidé, dans le hoixd'unélément haquefoisquedenouveauxn÷uds doivent être réés, par des heuristiques similaires à elles utilisées ave la méthode de Davis et Putnam. Eneet,le al uld'ensemblesinterse tantsseramène àunproblèmede al ulpropositionnel:le al ul d'im-pliquantspremiers.
Dé nition 9 Un impliquant premier d'une formule propositionnelle ' est une onjon tion de littéraux telleque:
j=';
pour toute autre onjon tion de littéraux 0 telle que 0 j=', sij= 0 alors 0 j=. Proposition2 Soit C =f i gun ensemble d'ensem-bles et soit L prop
unlangage propositionnel dont l'en-semble dessymboles depropositions Pest l'union des éléments deC.Une partie S de Pestunensemble in-terse tantminimalde Csietseulementsi^
x2S :xest unimpliquantpremierde =^ i _ x2 i :x.
La gure3représenteunarbredanslequellepremier élémentdeNétudiéest eluiquiapparaîtdansleplus grandnombrede on its.Laméthodede al ul
d'en-dessusestsimilaireàlaméthodedeDavisetPutnam de re her he d'un modèle (partiel) de la formule orrespondante.La diéren eessentielle est quenous nousintéressonsi iàtouslesimpliquantspremiersde laformule,alorsquelesheuristiquesutiliséesave la méthodedeDavisetPutnamontpourbutd'optimiser ladé ouvertesoit d'un seulmodèle,soit de l'absen e demodèle.
4 Relationsave lesméthodes ba-sées sur la séle tion dire te de sous-ensembles K- onsistants 4.1 Dualitéentreproblèmede ohéren e
et problème de on its
Étantdonnéeunebasede royan esEK-in onsistante, nous onsidéronslesdeuxproblèmessuivants:
Un problème de ohéren e donné sous la forme (K ;E),dontlessolutionssontlessous-ensembles K- onsistantsdeE.
Unproblèmederésolutionde on itsdonnésous laforme(L;C)(oùLestl'ensembledesformules libres de E et C = f
i
g est l'ensemble des K- on itsissus deE) et dontlessolutionssontles sous-ensembles de E qui ne ontiennent au un on it. Déterminer les sous-ensembles de E qui ne ontiennentau un on itrevientàdéterminer les sous-ensembles de N (union des on its) qui ne ontiennentau un on itetdon à onsidérer leproblèmede on itsdé niense tion2.1,donné souslaformeC=f
i g.
Parmitouteslessolutionsd'unproblèmede ohéren e, on onsidèretraditionnellement elles qui sont maxi-malespourl'in lusion.Elles orrespondentàla dé ni-tionsuivante.
élé- F sous-ensemble de E est solution du problème de ohéren e ssi(NnF)est solution(au sensde la déf. 1)duproblème de on its.
S sous-ensemble de Nest solution minimale (au sensdela déf. 2)duproblème de on its ssi(Nn S)estunsous-ensemblemaximalpourl'in lusion parmilessous-ensembles K- onsistantsde N . Lessolutionsmaximalesduproblèmede ohéren e
sontdelaforme L[(NnS)oùSestunesolution minimale (au sens de la déf. 2) du problème de on its.
4.2 Intégration de préféren es
Dansle asoùl'ondisposed'unerelationdepréféren e entreles royan esreprésentéeparunpré-ordrepartiel surE, ertainessolutionsmaximalesduproblèmede ohéren esontpréféréesàd'autres.Diérents ritères de préféren e entre sous-ensembles ont été dé nis à partird'unpré-ordresurles royan es.(Voir[12℄pour une étudedétailléede es ritères).
Le ritère de préféren e démo ratique par exemple, permet de privilégierles solutionsqui ontiennent le pluspossible(ausensdel'in lusion)de royan esparmi lesplusprioritaires.
Notations Onnotera<l'ordrestri tasso iéau pré-ordre : x <y ssi(x y)^:(y x). Leproblème de ohéren eseramaintenantnoté(K ;E;<).
Dé nition 11 Soient F 1 et F 2 deux sous-ensembles K- onsistantsdeE.F 2
estdémo ratiquementpréférée à F
1
ssi pour toutx élément de F 1 nF 2 , il existe un élément y de F 2 nF 1 telquex<y.
Les solutions duproblème de ohéren e (K ;E;<) qui sont maximales pour la relation de préféren e démo- ratiquesontappelées solutionsdémo-préférées. Dans le as parti ulier où le pré-ordre sur E est total, il est équivalent de onsidérer que la base E est strati ée en (E 1 ;E 2 ;:::;E n ) où E 1 ontient les royan es-maximalesdeE,et 8i,E
i+1 ontientles royan es-maximalesdeEn(E 1 [E2[:::[E i ).Le problèmede ohéren eestalorsnoté(K ;E
1 ;:::;E
n ). Les solutions démo-préférées du problème de ohé-ren e (K ;E
1 ;:::;E
n
) orrespondent exa tement aux sous-bases K- onsistantes de E préférées au sens de Brewka,dé nies ommesuit.(voir[3,7℄).
Dé nition 12 SoitF unsous-ensembleK- onsistant de E strati ée en (E 1 ;:::;E n ). Soit F i =F [E i la proje tion de F sur la strate E
i
. F est préférée au sens de Brewka ssi 8k,1 k n, F
1
[:::[F k
est unsous-ensemblemaximal(pourl'in lusion)parmiles sous-ensembles K- onsistantsde E [:::[E .
seulement munie d'un pré-ordre partiel, il est om-mode de onsidérer la strati ation uniforme de E onstruite sur le même prin ipe que i-dessus ( 'est-à-direqueE
i+1
ontientleséléments-maximauxde En(E 1 [E 2 [:::E i
)).Lessolutionspréféréesausens deBrewkaduproblèmede ohéren e(K ;E
1 ;:::;E
n ) ainsiobtenu sonttoutesdes solutionsdémo-préférées du problème de ohéren e initial (K ;E;<). La ré i-proqueestgénéralementfausse.
Cara térisation des solutions minimales préfé-réesd'un problèmede on its Nous onsidérons i i un problème de on its ave expression lo ale de préféren es. Rappelons queN
min
désignel'union des f( i).
Dansle asoùN min
eststri tementin lusdansN ,on peut onsidérerla strati ation deE en (E
1 ;E 2 ;E 3 ) oùE 1 =L,E 2 =NnN min et E 3 =N min .
Proposition 4 Ssous-ensembledeNestsolution mi-nimale préférée (au sens de la dé nition 3) du pro-blème de on its ssi E nS est une solution démo-préféréeduproblème de ohéren e(K ;E
1 ;E 2 ;E 3 ). Preuve:ellereposesur lestroispoints sui-vants:
la base de royan esétantdonnéesous formed'unebasestrati ée,lessolutions démo-préféréesetlessolutionspréférées ausensdeBrewka oïn ident;
laproposition3; pourtouti, f(
i
)étantnonvide,N min ren ontre haque on it et don (Nn N
min
)[LestK- onsistant.
Exemple 2 (suite) Reprenons i i le problème de on itsdé niparC=f
1 ; 2 ; 3 ; 4 gave : 1 =fa 6 ;a 1 ;a 2 g, 2 =fa 7 ;a 2 ;a 3 g, 3 = fa 3 ;a 4 ;a 8 g, 4 =fa 4 ;a 5 g (pour haque i
, lesélémentssoulignés sontlesélémentsminimaux de e on it).
Onadon : E=N(rappelonsqueN= S i i ), NnN min =fa 6 ;a 7 g et N min =fa 1 ;a 2 ;a 3 ;a 4 ;a 5 ;a 8 g.
Les solutionsdémo-préférées (qui sont aussiles solu-tionspréféréesausensdeBrewka)duproblèmede o-héren e dé ni par (K ;fa
4 6 7 1 4 8 etF 5 =fa 6 ;a 7 ;a 2 ;a 5 ;a 8 g.
Ces solutions orrespondentrespe tivementaux solu-tionsminimalespréféréesduproblèmede on its:
S 1 =fa 2 ;a 4 g, S 2 =fa 2 ;a 8 ;a 5 g, S 3 =fa 1 ;a 3 ;a 5 g, S 4 =fa 2 ;a 3 ;a 5 g etS 5 =fa 1 ;a 3 ;a 4 g.
Cara térisationdes solutionséli-préféréesd'un problèmede on its Notreobje tifétanttoujours d'exploiterladualitéentreproblèmede on itset pro-blèmede ohéren e,nousnousplaçonsdésormaisdans lasituationparti ulièreoùilexisteunordresurEqui est ompatible ave la strati ation lo ale à haque on it. Cet ordre est dé ni par la onstru tion i-dessous:
Dé nition 13 SoientxetydansN .Ondé nit:xR y ssi il existe un on it
i
telque x est dansf( i ) ety estdans i nf( i ).
NotonsquelafermeturetransitivedelarelationRne dé nit pas toujours un ordre stri t, omme l'illustre l'exemplesuivant.
Exemple 3 Soit le problème de on its dé ni par C=ffa;b;eg;fb;f; g;f ;g;a;dgg. Onaalors: E=N , NnN min =ff;gg etN min =fa;b; ;d;eg. Onauraalors:
bR a: aronpréfèreabandonnerbplut tqueadans le on it
1 .
aR : aronpréfèreabandonneraplut tque dans le on it
3 .
R b: ar onpréfèreabandonner plut tqueb dans le on it
2 .
Nous supposons don dans la suite que la fermeture transitivedelarelationRdé nitunordrestri t (par-tiel)surN ,quenousdénoteronspar<.Nousétendons etordreàEpar:pourtoutxdansEnN ,pourtout y dansN ,y<x.
Proposition5 SoitS unesolutionminimaledu pro-blème de on its. Si E nS est une solution démo-préférée du problème de ohéren e (K ;E;<) alors S
1 2 solutionsminimales duproblème de on its tellesqueS 1 S 2 ausensdeladé nition6, alors(EnS 2 )et(EnS 1
)sontdessolutionsdu problème de ohéren e (K ;E;<) telles que (EnS
2
)estdémo ratiquementpréféréeà(En S
1
).Par onstru tiondel'ordrestri t <sur E,siS
1 S
2
(dé nition 6)alors:pourtout x élémentde S 2 nS 1 , il existe y élément de S 1 nS 2
telquex<y.Or,(EnS 1 )n(EnS 2 )= S 2 nS 1
. Onadon : pour toutx élémentde (EnS 1 )n(EnS 2 ), il existe y élément de (EnS 2 )n(EnS 1 )telquex<y.
Exemple 2 ( n) À partir du problème de on it orrespondantà et exemple (
1 =fa 6 ;a 1 ;a 2 g, 2 = fa 7 ;a 2 ;a 3 g, 3 =fa 3 ;a 4 ;a 8 g, 4 =fa 4 ;a 5 g),ontrouve unordrestri t< ompatibleave lesstrati ations lo- alesdes on its.Songrapheestdonnéparla gure4.
a6
a7
a1
a2
a3
Légende : a b signifie "a est préféré à b"
a5
a8
a4
Fig.4Graphede la relation< obtenueà partirde l'exemple 2
Les solutions démo-préférées du problème de ohé-ren e(K ;E;<)sont: F 1 =fa 6 ;a 7 ;a 1 ;a 3 ;a 5 ;a 8 g, F 2 =fa 6 ;a 7 ;a 3 ;a 1 ;a 4 g, F 3 =fa 6 ;a 7 ;a 2 ;a 4 ;a 8 g.
Remarquonsque e sont aussiles solutions préférées ausens deBrewkaduproblème de ohéren eobtenu parstrati ationuniformede(E;<):
E=(fa 6 ;a 7 g;fa 1 ;a 2 ;a 3 g;fa 4 ;a 8 g;fa 5 g).
Ces3solutionsfournissentles3solutionséli-préférées S 1 , S 2 et S 3
Ladé nitiondesolutionsd'unproblèmederésolution de on itsposeune questionsimilaireà elui ren on-tré lorsqu'on her heàdé nirles solutionsd'un pro-blème de restauration de ohéren e par séle tion di-re te de sous-bases onsistantes: il s'agit de la di - ultéde on ilier deux ontraintes dontle respe test intuitivementné essaire.L'unede es ontraintes im-posequelessolutionssoientlespluspetites (respe ti-vementlesplusgrandes)possibles.L'autre ontrainte imposederespe terlespréféren eséventuellement ex-priméesentreles royan es.
A n d'étudier omment es deux ontraintes inter-agissentlorsqu'on résout des on its, nous avonsété onduits à traduire ha une d'entre elles par un ou plusieurs prin ipes. Ces prin ipes onduisent ensuite àdiérentesdé nitionsdesolutions,etpermettentde omparersimplement esdé nitions.Nousavonsaussi omparé ertainesde esdé nitions ave lesrésultats obtenus lorsqu'on aborde le problème, jusqu'i i plus étudié, de la séle tion dire te de sous-bases onsis-tantes.
L'une des dé nitions semble ressortir d'un point de vue al ulatoire: al ulerlessolutionsminimales pré-féréesrevientà al ulerlesensemblesinterse tants mi-nimaux del'ensemble des parties minimales(au sens despréféren es)des on its.Onpeutnoterquele res-pe tdes préféren esn'induit pasdans e asde di - ulté al ulatoiresupplémentaire(àpartlesimple al- ul des parties minimales des on its): au ontraire, le al ul des solutions minimales préférées est plus simple quele al ul dessolutionsminimales, puisque les ensembles à interse ter sont plus petits. Nous avonsdé rit plusieursalgorithmes qui ont été propo-sés en Intelligen e Arti ielle pour ee tuer es al- uls. Le lien ave la notion d'impliquants premiers semble parti ulièrement intéressant, puisqu'il permet d'exploiter des heuristiques mises au point dans le adre des nombreuses études d'algorithmes permet-tantdetesterla onsistan ed'unensembledeformules propositionnelles.
Les solutions minimales préférées sont d'autant plus intéressantes que la plupart des autres solutionsque nous avons proposées sont minimales préférées. Un prolongementnatureldenotretravailestdon l'étude demodi ationsdesalgorithmesde al uld'ensembles interse tants a n de al uler dire tement es autres solutions. Nous nous intéressonsen parti ulier à une appro he dans laquelle les on its doivent être réso-lus dansun ertainordre,quiestfon tiondutypede solutionsqu'on her heàobtenir.
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