A350. Les nombres d'Einstein A3. Nombres remarquables
Problème proposé par Michel Lafond
On appelle nombre d’Einstein un entier dont la décomposition en facteurs premiers est m.c² où m et c sont des nombres premiers distincts. Ainsi 98 = 2.72 et 99 = 11.32 sont deux nombres d’Einstein consécutifs.
Quel est le plus grand nombre théorique de termes d’une suite de nombres d’Einstein consécutifs ? Avec l’aide éventuelle d’un automate, montrer qu’on sait trouver au moins un exemple d’une telle suite.
Solution proposée par Paul Voyer
Un nombre d'Einstein multiple de 6 ne peut être que 12 = 2²x3 ou 18 = 2x3² car il n'a que deux facteurs premiers distincts 2 et 3.
Une suite de nombres d'Einstein consécutifs ne peut donc avoir plus de 5 termes compris entre 6k+1 et 6k+5.
Le plus petit quintuplet d'Einstein connu est : 10 093 613 546 512 321 = 7² × 205992113194129 10 093 613 546 512 322 = 2 × 71040881²
10 093 613 546 512 323 = 3² × 1121512616279147 10 093 613 546 512 324 = 2² × 2523403386628081 10 093 613 546 512 325 = 5² × 403744541860493
D'autres quintuplets connus commencent par les nombres : 14414905793929921 = 7² ×294181750896529 266667848769941521 = 7² ×5442200995304929 562672865058083521 = 7² ×11483119695062929 1579571757660876721 = 7² ×32236158319609729 1841337567664174321 = 7² ×37578317707432129 2737837351207392721 = 7² ×55874231657293729 4456162869973433521 = 7² ×90942099387212929 4683238426747860721 = 7² ×95576294423425729 4993613853242910721 = 7² ×101910486800875729 5037980611623036721 = 7² ×102815930849449729 5174116847290255921 = 7² ×105594221373270529 5344962129269790721 = 23² ×10103898164971249 5415192610051711921 = 7² ×110514134899014529 6478494344271550321 = 7² ×132214170291256129 6644601589030969921 = 7² ×135604114061856529
