D171. Deux curiosités toutes simples

D171. Deux curiosités toutes simples

1- Ce premier triangle ABC a un angle obtus en A et l'angle en B est le double de l'angle en C. Le cercle circonscrit à ABC a pour centre O et rayon R = 1. On construit le triangle isocèle de base OB avec le sommet D situé du même côté que A par rapport OB et les angles DBO et DOB sont l'un et l'autre le triple de l'angle ACB. Sur le côté DB on trace le point E tel que DE = 1. Le point E est confondu avec l'orthocentre du triangle ABC. Comment s'appelle ce curieux triangle ABC où l'on peut construire l'orthocentre sans avoir besoin de tracer les hauteurs ? Que vaut le carré de la distance OE ?

2- Les côtés de ce deuxième triangle ABC ont les dimensions suivantes BC = 2009, AC = 2010 et AB = 2008. Soient O le centre du cercle circonscrit à ce triangle, D et E les milieux des côtés AB et AC. Démontrer que sans tracer les bissectrices des angles au sommet on peut construire le centre du cercle inscrit au triangle ABC qui est à l'une des deux intersections du cercle passant par quatre points convenablement choisis parmi les six points A,B,C,D,E et O et de la médiatrice d'une corde de ce cercle.

1) Si l’angle ACB=t, ABC= 2t et BAC=π-3t. Alors BOC=6t, et CBO=BCO=π/2-3t DBO=DOB=3t, soit DBC=DBO-CBO=6t-π/2.

Si E est l’orthocentre, BE (ou BD) est perpendiculaire à AC, donc DBC+BCA=π/2, soit t=π/7. Il reste à vérifier que AE est perpendiculaire à BC: OD est la médiatrice de BC, BDO=π-6t, et BD=sin3t/sin6t=1/(2cos3t). Soit F l’intersection de AB et OD;

OBF=π/2-t, et BFO=π/2-2t donc BF=sin3t/sin(π/2-2t)=sin3t/cos2t; enfin AB=2sint.

AE est parallèle à OD si BD/ED=BF/AF, soit BD(BF-AB)=BF*ED ou encore

sin3t-2sintcos2t=2sin3t*cos3t soit sin3t+(sint-sin3t)=sin6t : AE est parallèle à OD si sin6t=sint, ce qui est bien vérifié lorsque t=π/7. ABC est donc un triangle heptagonal.

Le centre de gravité G de ABC est situé au tiers du segment OE, donc le vecteur OE=OA+OB+OC, et OE² =3+2(cos2t+cos4t+cos6t).

Or 2sint(cos2t+cos4t+cos6t)=(sin3t-sint)+sin(5t-sin3t)+(sin7t-sin5t)=sin7t-sint, et comme ici sin7t=0, cos2t+cos4t+cos6t=-1/2. Donc OE²=2.

2) Soit plus généralement le cas d’un triangle ABC, avec BC=a, AC=a+x et AB=a-x (avec 2x<a), donc 2p=BC+CA+AB=3a et p-a=a/2. Soit F le point diamétralement opposé à A sur le cercle circonscrit, (donc à l’intersection de la médiatrice de BC) et J et K les projections de F sur AB et AC. F est au milieu de l’arc BC, donc AF est la bissectrice de l’angle BAC et FJ=FK, ainsi que AJ=AK; par ailleurs BF=CF, et les triangles rectangles FJB et FKC sont égaux, donc BJ=CK; puisque AB=AJ-BJ et AC=AK+BK, on identifie AJ=AK=a, et BJ=BK=x.

Le centre I du cercle inscrit est situé sur la bissectrice AF, tel que les projections de AI sur AB et AC soient égales à p-a=a/2: I est donc le milieu de AF.

Une homothétie de centre A de rapport 1/2 transforme le cercle circonscrit au triangle ABC, en un cercle circonscrit au quadrilatère ADEO; F intersection du premier cercle avec la médiatrice de BC se transforme en I, intersection du second cercle avec la médiatrice de DE.