Nombres copmlexes cours-terminale PH

NOMBRES COMPLEXES 1. Introduction

L’équation

_x²_{ 1 0}

n’a pas de solution dans

R

.

On a donc défini un ensemble "plus grand" que

R

, noté

C

et appelé ensemble des nombres complexes, dans lequel on peut utiliser les mêmes règles de calcul et tel que l’équation

_x²_{ 1 0}

possède des solutions.

L'une d'elles est notée

i

et est donc telle que

_i² _{ 1}

.

   

2 1 0 2 ( 1) 0 2 2 0 0

x   x     x   i x i x i    x i ou x i

d’où

^{S }



^{i i;}

 . 2. Forme algébrique d’un nombre complexe

2.1. Notation : Tout nombre complexe noté

^z

s’écrit de manière unique sous la forme :

z a ib 

avec

aR

,

bR

et

_i² _{ 1}

.

' ' ' '

a ib a ib    a a et b b

en particulier

^{a ib   0 a 0et b0} a

s’appelle la partie réelle de

^z

on note

^aRe

 

^z

.

b

s’appelle la partie imaginaire de

^z

on note

^{bI m}

 

^z

. Remarques

·

Si

a0

,

z ib

: on dit que z est un imaginaire pur .

·

Si

b0

,

^{z a}

: on dit que z est un réel . En électricité , pour éviter la confusion avec l’intensité du courant

ⁱ

, on le note

^j

.On écrit alors

^{z a  jb}

2.2. Propriétés

a. Nombre complexe conjugué

On appelle nombre complexe conjugué de

z a ib 

, le complexe noté

_{z a ib }

. Remarque : Soit

^{z a  jb} z a jb 

et

donc z    a bj a bj

· z z ^{ a bj a bj   2bj   0 b 0 Im( ) 0z  z est réel.}

·

z

  

z a bj

   

( a bj )



2 a

   

0 a 0 Re( ) 0 z

 

z est imaginaire p ur b. Addition des nombres complexes

Soit

z = a+ib,z = a' +ib'et z a ib  ^.

· z z ' (a jb) ( ' a b j ' ) ( a a ') ( b b j') ,commea a ' et b b 'sont des réels, on obtient :

 

2

z z  Re z et ^{z z 2I m}

 

^{z .} zR z z 0 ^; zI m ( M appartient à l’axe des ordonnées ) z z 0^.

c. Multiplication des nombres complexes

Soit

z = a +ibet z = a' +ib'.

· ^{zz' ( a bj a b j )( ' ' )}



^{aa bb' '}



^{(ab ba j' ')} .

La suite des puissances entières de

i

,

iⁿ

, est une suite de période 4 et

i⁰ 1

,

i¹ i

,

i²  1

,

i³  i

. d. Inverse d’un nombre complexe

Règle Toute écriture fractionnaire de complexes doit toujours être simplifiée en rendant le dénominateur réel .Pour cela, on multiplie les 2 termes de la fraction par le conjugué du dénominateur.

e. Propriétés du conjugué

Soit

z = a +ibet z = a' +ib'.

Pour tout complexe z et z’,

_{z z  ' z z'}

et

_{zz' z z'}

et z ' z '

z z

  

   z z ' (a jb) ( ' a b j ' ) ( a a ') ( b b j') (a a ') ( b b j')

^{zz' ( a b a b j )( ' ' )}



^{aa bb' '}



^{(ab ba j' ') (aa bb' ') ( ab ba j' ')} .D'autre part z z ' (a bj a b j )( ' ' )aa bb' ' ( ab ba j' ') ^{, donc} zz' z z'^.

· ^{z z }



^{a bj a bj}

 

^



^{a2( )bj 2 a2 ( b2)a2b2}

Donc z z R +est un réel positif

^{1 z}

^

^{z z}

^

^z

^

 ^{a jb a jb}

^

^{a jb}

^

 

^



^

^{a a jb}

^2

^b

^{2 }

^a

²

^a

^

^b

^{2 }

^{j a}

²

^b

^

^b

²

^{1 z 1} z z z ^z  ^{a ib a ib a ib}    ^{a a ib}

²

^b

²

^a

²

^{a b}

²

^{i a}

²

^{b b}

²

 

     

    



2.3. Interprétation géométrique

Le complexe

z = a+ib

peut être représenté dans le plan muni d’un repère orthonormé 

^{O u v; , }



par le point

^{M a b}



^;

 ou par le vecteur

^{OM a b}



^;

 . On dit alors que M ou

OM

est l’image de

^z

ou que

M

a pour affixe

^z

.

On dit que [ ; ]r  est un couple de coordonnées polaires de M lorsque :

r OM et ^



^{u OM ;}



^[2].

Définition : le module d’un nombre complexe z est réel positif tel que r z  zz  a²b²

Si z a réel, d’où r z  aa  a a  a² a, puisque a a

Remarque : la notion du module dans Cgénéralise donc celle de valeur absolue dans R cos

a r  et b r sin , ^{z a bj r  }



^{cos jsin}



.

Si

^M

 

^{O u;}

c’est-à-dire

zR

:

On dit que cet axe est l’axe des réels . Si

^M

 

^{O v;}

c’est-à-dire

z i R

:

On dit que cet axe est l’axe des imaginaires purs .

Soient

^{M z}

  et ^{M z}

¹

  les images de

^z

et

_z

. M et

M1

sont symétriques par rapport à l'axe des réels.

Soient

^{M z}

  et

^M2

 

^z

les images de

^z

et

_z

. M et

M2

sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

Soient

^{M z}

  et

M3

 

z

les images de

^z

et

^z

. M et

M2

sont symétriques par rapport à l’origine O 3. Forme trigonométrique d’un nombre complexe

3.1. Définition

Soit

zC *

et M son image dans le plan . Soit

r OM  zM ⁰ et



^{u OM;}



  

[2] . Dans OMH , ^cos _{2 2}

M

a a a a

OM z r a b

   



et

^cos _{2 2}

M

b b b b

OM z r a b

   



M( z ) M2( - z )

M1( z ) M3( - z )

0 ¹

1

x y

u

v

M( z )

a b

0 1

1

x y

OM^

v u

 H

r est appelé module de z , On le note

r z  a²b²  zz

.  est appelé argument de z et est noté

^argz

est défini à 2π près et est tel que

^cos

M

a a

z r

 

et

^cos

M

b b

z r

  

.On a alors

^{z a ib r  }



^{cosisin}



^{[ ; ]r }

. Cette forme s'appelle la forme trigonométrique de z.

Ces relations permettent de passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique et inversement.

3.2. Propriétés

a. Si deux nombres complexes z et z' sont écrits sous forme trigonométrique :

^{z r}



^{cos jsin}



^{et z'r' cos '}



^{  jsin '}



, on a : z = z'  ^{' '} ' 2 z z r r

  k

 

     b. Comparer des nombres complexes écrits sous forme trigonométrique

^{' '}

' 2

z z r r

k

 

          ^{' '}

' 2

z z r r

k

 

      

c. SoientM et M' d'affixes respectives zet 'z dans le plan complexe rapporté au repère



^{O u v; ; }



. Si zet 'z ont pour formes trigonométriques : ^{z r}



^{cos jsin}



^{[ ; ]r } et ^{z'r' cos '}



^{  jsin '}



^{[ '; ']r }

Alors : ·

 

^{u v ;   argz} [2]. ·

 

^{v v ; '    ' arg ' argz z [2].}

Démonstration En utilisant la relation de Chasles sur les angles, on peut écrire :

    

^{v v ; '  v u ;  u v ; '}

 

^{ u v ; '}

  

^{ u v ;    ' arg ' argz z [2] .}

d. Conjugué , égalité de 2 complexes

Si

^{z r}



^{cosjsin}



^{[ ; ]r } ,

alors

^{z r}



^cos

 

^{  jsin}

 

^



^r



^{cos jsin}



^{[ ;r ]}

Si

^{z[ ; ]r }

alors

^z^{[ ;r} ^]

et .

^{z  z r}

e. Module et argument d’un produit Soit

^{z[ ; ]r }

et

^{z' [ ' ; '] r }

] .

     

         

' cos sin ' cos ' sin ' ' cos cos ' cos sin ' sin cos ' sin sin ' ' cos cos ' sin sin ' cos sin ' sin cos ' cos ' sin '

zz r j r j rr j j

zz j r

           

           

       

       

Si

^{z[ ; ]r }

et

^{z' [ ' ; '] r }

, alors

z z ' [ ; ] [ ' ; '] [ ';r   r   rr   ']

et .

^{z z '  z z' rr'} Comme 'rr est un nombre réel positif, on a donc ^cos( ^ ') cos cos ' sin sin '^   ^   et ^sin( ^ ') cos sin ' sin cos '^   ^  

Si   ', on déduit cos(2) cos ²sin² et sin(2)2sin cos 

f. Module et argument d’un inverse : Soit

^{z[ ; ]r }

et

^{z' [ ' ; '] r }

.

^{1 1 1}



^cos

 

^sin



^{1 cos}₂ ^sin₂ ¹



cos sin



cos sin cos sin cos sin cos sin

j j

r j r j j r r j

     

       

 

      

   

Si

^{z[ ; ]r }

, alors

^{1 1;}

z ^r ^

et

¹_z ^{ 1}_z ^1_r

g. Module et argument d’un quotient

· On peut écrire ^{cos sin}



^{cos sin}



^{1 (cos} sin )(cos ' sin ' )

' cos ' sin ' cos ' sin '

z j

j j j

z j j

       

   

       

 

   

cos cos ' cos sin ' sin cos ' 2sin sin ' cos cos ' sin sin ' cos 'sin sin sin ' ' '

cos cos ' sin sin ' cos 'sin cos sin ' ' '

z r

j i j j j

z r

z r

z r j

               

       

         

    

Comme ' r

r est un nombre réel positif, cos(θ - θ') = cosθcosθ' + sinθsinθ' ; sin(θ - θ') = cosθ'sinθ - cosθsinθ'.

Si

^{z[ ; ]r }

et

^{z' [ ' ; '] r }

, alors

[ ; ] [ ; '] [ ;¹ ']

' ' '

z r

z  r   r   r  

et

' ' '

z z r

z  z r

k. Module et argument d’une puissance

Soit

^{z[ ; ]r }

.

z z z  ² [r r;  ] [ ;2 ] r² 

.

z³   z² [ ;2 ][ ; ] [ ;3 ]r²  r   r³ 

. Plus généralement,

zⁿ [r nⁿ; ]

. Si

^{z[ ; ]r }

alors

zⁿ [r nⁿ; ]

.

4. Autre expression de z = cos θ + i sin θ

4.1. Notation exponentielle : Soit un complexe z tel que

^z



^{cos jsin}

 _.

Pour^R, on note^z^cos^jsin^ej et ^z^cos ^jsin^ej. Cette notation est appelée notation exponentielle.

On pose

^{cos jsinei}

et on lit « e puissance i thêta »

On déduit : e^j  1, ^{ej/ 2} ^j et e^j0e^j2 1 . ^z^cos ^jsin ^ei ^{[1 ; ]}

Si  est un argument de z,alors un argument de z est  et   est un argument de z , d’où e^j e^j Toute écriture ^{z r}



^cos ^jsin



^rej ( avec ^rR^*₊et ^R réels )est une forme exponentielle . En effet :Si rest un réel non nul , z  re^j  r e^j  r (e^j 1 , donc z  r .

Si r0 , alors z  r r , donc dans ce cas z re ^jest une forme exponentielle .

Si r0, alors z  r  r , donc dans ce cas z re ^j   ( )(r e^j) ( ) r e^{j(  )}(le module est égale à r et un argument dezest   ,est aussi une forme exponentielle

4.2. Propriétés Soit

^{z[ ; ]r  rei}

et

^{z' [ ' ; '] r  rei'}

.

· ^z^{[ ;r}  ^{] rei}

.

z z  [r r;  ] [ ;0] r² r e^{2 i(  )}r e^{2 i(0)} r²

.

· ^{z z ' rr e' jej'ej(  ')rr' cos(}



^{  ') jsin(  ')}

 .

· _' ^{( ')}



^{cos( ') sin( ')}



' ' ' '

j j

j

z r e re r

z r e r r

  

 ^    

     

4.2 . Formule de Moivre :

zⁿ [ ; ]r  ⁿ [r nⁿ; ]

. Donc

^{zn }

 

^{rei n rnein rn}



^cos

^{ }

^{n isin}

^{ }

^n

 ^.

Ou encore, pour r = 1 :

^{zn }

 

^{ei n ein cos}

^{ }

^{n isin}

^{ }

^n

4.4. Conséquence Soit

cos jsine^j

et

cos jsine^j

. En ajoutant membre à membre,

j j 2cos

e^ e^  

d’où

cos

2

j j

e^ e ^

 ^{ }

.

e^je^j 2 sini 

d’où

sin

2

j j

e e

i

 

 ^{ }

Ces formules sont appelées " formules d’Euler" .

5. Equation du second degré

Propriété L'équation : a z²b z c 0, où a, b et c sont des réels (avec a0) admet dans  deux solutions : Soit  b²4a c le discriminant de l'équation.

· si  0 , les deux solutions sont réelles : ₁ 2 z b

a

  

 et ₂

2 z b

a

  



· si  0 , les deux solutions sont des nombres complexes non réels, conjugués l'un de l'autre :

1 2

z b i a

  

 et ₂

2 z b i

a

  



Le trinôme a z²b z c peut alors se factoriser sous la forme a z²b z c a z z z z  (  ₁)(  ₂). 6. TRANSFORMATIONS

1. f z( )z^. OM 'OM 2OI

avec I milieu de[MM , or'] z z 2Re z( ).donc le point I appartient à l’axe des réels. Ainsi M’ se déduit de M par la symétrie d’axe

 

^{O u;} . L'image d'une droite (d) est la droite (D) passant par les points M’ et N’ images des points quelconques M et N de (d).

Si d n’est pas parallèle à

 

^{O u;} .on prendra M à l’intersection de d et

 

^{O u;} car alors M’ = M.

L'image d'un cercle de centre ω et de rayon R est le cercle de centre Ω, image de ω, et de rayon R.

· La transformation géométrique associée à f z: zest la symétrie orthogonale d’axe ( Ox ) 2. Pour : f(z) = z . OM' OM

.ainsi O est le milieu du segment [MM .Donc M’ se déduit de M par la ']

symétrie de centre O. L'image d'une droite (d) est la droite (D) parallèle à (d) passant par le point M’ image d'un point quelconque M de (d).L'image d'un cercle de centre ω et de rayon R est le cercle de centre Ω, image de ω, et de rayon R.

3. Pour : f(z) = z + boù best un nombre complexe donné, on prendra b   j . b étant un complexe donné, on considère, dans P, le point B image de b. Alors on a : OM  'OM OB _⇔

' MM OB

 

La transformation T est donc la translation de vecteur OB   u v

.L'image d'une droite (d) est la droite (D) parallèle à ( )d passant par le point M’ translaté d'un point quelconque M de ( )d

Remarque : L'image d'un cercle de centre ω et de rayon R est le cercle de centre Ω, translaté de ω, et de rayon R.

Propriétés

· L'application qui au point M d'affixe z associe le point M' d'affixe

^{z' = z + b}

où b est un nombre complexe fixé, est la translation

^t_^

de vecteur

^

d'affixe b.

4. Rotation (z f z( )e z^i ) (^z^{z'  ei}



^z



· L'application qui au point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' avec z'  e^i(z)

où  est

un nombre réel fixé et  un nombre complexe fixé, est la rotation de centre  d'affixe  et d'angle 

· cas particulier : Soit f l’application z f z( )e z^i où est nombre réel fixé

Soit M l’image de z et M’ l’image de z’ dans le plan complexe d’origine O .

l’application M M'ainsi définie est la rotation de centre O du repère et d’angle 