Nombres en écriture fractionnaire

Nombres en écriture fractionnaire

I Différentes interprétations des fractions

1. Partage équitable

Une fraction permet de décrire un partage équitable (en parts égales).

2

7 correspond à 2 parts d'une unité (un gâteau, une tablette de chocolat, une somme d'argent...etc.) partagée en 7 parts égales.

« Léa mange 2

7 du gâteau » signifie que le gâteau a été coupé en 7 parts égales et que Léa en mange 2 parts. Si Enzo mange 8

7 du gâteau, cela signifie que le gâteau est coupé en 7 parts égales mais ça ne suffit pas. Donc Enzo mange le gâteau entier plus une part de même taille que les 7 premières.

2. Proportion

Une fraction exprime aussi une proportion. Dire que la proportion d'élèves externes est de

2

9

signifie que 2 élèves sur 9 sont externes. S'il y avait 9 élèves au total, il y en aurait 2 qui seraient externes.

C'est en général pour comparer une quantité à une quantité totale : La proportion d'élèves qui viennent au collège à vélo est de

11

452

signifierait qu'il y a 452 élèves au collège dont 11 qui viennent au collège à vélo.

Remarque : 3 25= 12

100=12 %

3. Quotient

Une fraction est aussi un quotient (résultat d'une division).

Définition : Soit a et b deux nombres avec b≠0 . Le quotient de a par b est le nombre qui, lorsqu'il est multiplié par b, donne a. On le note a÷b (où a est le dividende et b est le diviseur) ou a

b (où a est le numérateur et b est le dénominateur).

Explications : ....×b=a dans cette multiplication à trou, le nombre cherché est a b ^.

Ceci signifie que le quotient de a par b est le résultat de la division de a par b, mais on ne peut pas toujours l'écrire sous forme décimale.

Exemple : - Le nombre par lequel il faut multiplier 5 pour obtenir 17 est

17

5

^{car 5×}

17

5 =17 ^. 17

5 est donc le quotient de 17 par 5 qui est égal à 3,4.

- Le nombre par lequel il faut multiplier 7 pour obtenir 23 est 23

7 ^car 7×23

7 =23 . 23

7 est donc le quotient de 23 par 7 mais il ne peut pas s'écrire sous forme décimale ( Définition : Si a et b sont des nombres entiers, alors l'écriture a

b est appelée fraction.

Si a et b sont des nombres décimaux, c'est une écriture fractionnaire.

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction.

23÷7≈3,285714286...

Exemple : 2

5=0,4 ^.

2

5

est un nombre rationnel, 0,4 aussi.

II Division euclidienne, multiples et diviseurs.

Définition: Poser la division euclidienne de a par b (où a et b sont des entiers et b≠0 ) c'est trouver le quotient et le reste (2 nombres entiers) tels que

a=b×quotient+ reste avec reste < b

a est le dividende et b est le

diviseur.

C'est l'égalité qu'on écrit pour vérifier une division qu'on a posée.

Exemple: 155÷8 division posée:

Dans la division euclidienne de 155 par 8, le quotient est 19 et le reste est 3

155=8×19+3

Définition: On dit que a est divisible par b ou que b est un diviseur de a ou que a est un multiple de b lorsque dans la division euclidienne de a par b le reste est nul (égal à zéro), c'est à dire lorsque le quotient

a

b est un entier.

Exemple: * 18

6 =3 car 18=6×3+0 Donc 6 est un diviseur de 18

* 7

2=3,5 7=2×3+1 donc 2 ne divise pas 7.

Complète par les mots « multiple(s) », « diviseur(s) » ou « divisible(s) » : * 48

6 =48÷6=8 48 est _______________ par 6 et par 8.

6 et 8 sont ______________________de 48.

48 est _____________________de 6 et de 8.

* 3128 est-il un multiple de 8 ? Détaille ton calcul.

Il existe des méthodes simples et rapides pour savoir si un nombre entier est, ou n'est pas, divisible par 2, 3, 4, 5, 9 ou 10 sans avoir à effectuer la division euclidienne : ce sont les critères de divisibilité :

Un nombre est divisible :

 par 2 lorsque son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8. C'est un nombre pair.

 par 5 lorsque son chiffre des unités est 0 ou 5.

 par 10 lorsque son chiffre des unités est 0.

 par 3 lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de 3.

 par 9 lorsque la somme de ses chiffres est un multiple de 9.

 par 4 si le nombre composé de ses deux derniers chiffres est un multiple de 4.

Exemple : 528 est-il divisible par 2,3,4,5,9 ou 10 ?

par 2 : …...

par 3 : …...

par 4 : …...

par 5 : …...

par 9 : …...

par 10 : …...…

Dividende

Quotient Reste

Diviseur

Définition: Un nombre entier qui admet exactement 2 diviseurs (1 et lui-même) est appelé nombre premier.

Exemple: 5 est un nombre premier car il n'est divisible que par 1 et par 5 ( 5=1×5 ) 9 admet 3 diviseurs: 1, 3 et 9. Il n'est donc pas premier.

1 admet un seul diviseur: 1. Il n'est donc pas premier.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19 sont les nombres premiers inférieurs à 20.

Définition : La décomposition d'un nombre entier non nul en produit de facteurs premiers consiste à écrire ce nombre sous la forme d'un produit de nombres premiers. Elle permet de déterminer tous les diviseurs de ce nombre.

Elle nous servira, entre autres, à simplifier des fractions.

Exemples :

30=6×5=3×2×5 75=... 24=...…

III Quotients égaux

Propriété : Un quotient ne change pas si on multiplie ou que l'on divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.

* Utilisation pour transformer une écriture fractionnaire en fraction Exemple :

8,4

0,47

=

8,4

×100

0,47

×

100

=

840

47

* Utilisation pour modifier le dénominateur d'une fraction Exemple : Trouver une fraction égale à

7

3

ayant 15 comme dénominateur.

7

3

=

7×5 3

×

5

=

35

15

* Utilisation pour simplifier des fractions

Définition : simplifier une fraction signifie écrire une fraction qui lui est égale mais avec un numérateur et un dénominateur plus petits (mais on garde des nombres entiers).

Exemple : Simplifier les fractions suivantes : 5

10=5×1 5×2=1

2

42

56

=

2×21

2×28

=

2×3×7 2× 4×7

=

3

4

* Utilisation pour diviser par un décimal

Pour diviser par un décimal, on rend entier le diviseur en le multipliant par 10, 100 , 1000 etc. On doit alors multiplier le dividende par le même nombre.

Division posée :

4,83÷1,2= 4,83

1,2

=

4,83×10

1,2

×

10

=

48,3

12

=

4,025

IV Comparer des fractions

1. comparer des proportions

Définition : Comparer des fractions c'est dire quelle est la plus grande ou si elles sont égales.

Estelle mélange 1 volume de grenadine dans 5 volumes de jus d'orange.

Maxence mélange 3 volumes de grenadine dans 9 volumes d'eau.

Qui a la boisson la plus concentrée en grenadine ?

Estelle a une boisson dont la proportion de grenadine est de 1

6 (6 volumes au total) Maxence a une boisson dont la proportion de grenadine est de 3

12 1

6=1×2 6×2= 2

12et 2 12< 3

12 Donc la boisson de Maxence est plus concentrée en grenadine.

Pour comparer des fractions, on les mets généralement au même dénominateur.

Propriété : Si deux fractions ont le même dénominateur alors la plus petite est celle qui a le plus petit numérateur.

On peut aussi effectuer les divisions.

3

12=3÷12=0,25 1

6=1÷6≈0,16666667 C'est une valeur approchée.

0,16<0,16666667<0,17

On dit que 0,16 est la valeur approchée par défaut au centième près et que 0,17 est la valeur approchée par excès au centième près de 1

6 ^. Et 0,17 est plus proche de 1

6 que 0,16, on dit que son arrondi au centième est 0,17.

Ex : L'arrondi au centième de 4,157 est...

L'arrondi au centième de 2,184 est...

L'arrondi au dixième de 84,47 est...

L'arrondi au dixième de 12,65 est...

Pour comparer des fractions, on peut aussi utiliser les valeurs approchées en cherchant des multiples (se demander de quel nombre entier notre résultat est-il proche)

Exemple de comparaison de fractions : Complète par < ou > :

17

15 ... 4 5

17 15...17

16

17 15...15

17

17 15...20

7

2. Égalité des produits en croix

Une technique facile pour vérifier si des fractions sont égales, c'est l'utilisation des produits en croix Propriété : a, b, c et d sont 4 nombres avec b ≠ 0 et d ≠ 0

Dire que a b=c

d signifie que a×d=b×c

Exemples : 1. Les fractions 34 51et 2

3 sont-elles égales ?

34 x 3 = 102 et 51 x 2 = 102 donc les deux fractions sont égales.

2. compléter l'égalité 23 207=35

... cela revient à compléter 23 x ….. = 207 x 35 soit 23 x ...= 7245 la valeur cherchée est donc 7245÷23=315

Donc 23

207= 35 315

V Demi-droite graduée

Definition : Une demi-droite graduée a une origine, un sens et une unité de longueur. Chaque point est repéré par un nombre appelé abscisse de ce point.

Sur cette droite graduée, Le point A a pour abscisse

5

6

et le point B 1 3

Sur cette demi-droite graduée, l'abscisse de C est 7

12 , l'abscisse de D est 2 12=1

6 et E a pour abscisse 9

12=3 4

Placer des points sur une demi-droite graduée peut aussi permettre de comparer les nombres (fractions, nombres décimaux etc.).

B C A

D E