cours- nombres complexes-BTS1-GO

NOMBRES COMPLEXES 1. Introduction

L’équation

_x²_{ 1 0}

n’a pas de solution dans

R

.

On a donc défini un ensemble "plus grand" que

R

, noté

C

et appelé ensemble des nombres complexes, dans lequel on peut utiliser les mêmes règles de calcul et tel que l’équation

_x²_{ 1 0}

possède des solutions.

L'une d'elles est notée

i

et est donc telle que

_i² _{ 1}

.

   

2 1 0 2 ( 1) 0 2 2 0 0

x   x     x   i x i x i    x i ou x i

d’où

^{S }



^{i i;}

 . 2. Forme algébrique d’un nombre complexe

2.1. Notation : Tout nombre complexe noté

^z

s’écrit de manière unique sous la forme :

z a ib 

avec

aR

,

bR

et

_i² _{ 1}

.

' ' ' '

a ib a ib    a a et b b

en particulier

^{a ib   0 a 0et b0} a

s’appelle la partie réelle de

^z

on note

^aRe

 

^z

.

b

s’appelle la partie imaginaire de

^z

on note

^{bI m}

 

^z

. Remarques

·

Si

a0

,

z ib

: on dit que z est un imaginaire pur .

·

Si

b0

,

^{z a}

: on dit que z est un réel . En électricité , pour éviter la confusion avec l’intensité du courant

ⁱ

, on le note

^j

. On écrit alors

^{z a  jb}

2.2. Propriétés

a. Nombre complexe conjugué

On appelle nombre complexe conjugué de

z a ib 

, le complexe noté

_{z a ib }

. Remarque : Soit

^{z a  jb} z a jb 

et

donc z    a bj a bj

· z z ^{ a bj a bj   2bj   0 b 0 Im( ) 0z  z est réel.}

· z  z a bj   

(

a bj

)



2

a   

0

a

0 Re( ) 0

z  z est imaginaire pur

b. Addition des nombres complexes

Soit

^{z = a + jb},z = a' + jb'_et z a jb  .

· z z ' (a jb) ( ' a b j ' ) ( a a ') ( b b j') ,commea a ' et b b 'sont des réels, on obtient :

 

2

z z  Re z et ^{z z 2I m}

 

^{z .} zR z z 0 ^; zI m ( M appartient à l’axe des ordonnées ) z z 0^.

c. Multiplication des nombres complexes

Soit

^{z = a + jb}et z = a' + jb'_.

· ^{zz' ( a bj a b j )( ' ' )}



^{aa bb' '}



^{(ab ba j' ')} .

· ^{z z }



^{a bj a bj}

 

^



^{a2( )bj 2 a2 ( b2)a2b2 donc} z z R + est un réel positif .

La suite des puissances entières de

^j

,

jⁿ

, est une suite de période 4 et

j⁰ 1

,

j¹ j

,

j²  1

,

j³ j

. d. Inverse d’un nombre complexe

Règle Toute écriture fractionnaire de complexes doit toujours être simplifiée en rendant le dénominateur réel .Pour cela, on multiplie les 2 termes de la fraction par le conjugué du dénominateur.

e. Propriétés du conjugué

Soit

z = a+ibet z = a' +ib'.

Pour tout complexe z et z’,

_{z z  ' z z'}

et

_{zz' z z'}

et

z

'

z

'

z z

  

   z z ' (a jb) ( ' a b j ' ) ( a a ') ( b b j') (a a ') ( b b j')

^{zz' ( a b a b j )( ' ' )}



^{aa bb' '}



^{(ab ba j' ') (aa bb' ') ( ab ba j' ')}

D'autre part z z ' (a bj a b j )( ' ' )aa bb' ' ( ab ba j' ') , donc zz' z z'^.

· ^{z z }



^{a bj a bj}

 

^



^{a2( )bj 2 a2 ( b2)a2b2 donc} z z R + est un réel positif

¹

^{z  z zz }



^{a jb a jb a jb}

 

^



^{aa jb2b2 a2ab2  ja2bb2}

¹

^{z  }

¹

^{z z zz }



^{a jb a jb a jb}

 

^



^{aa2jbb2 a2 ab2  ja2bb2}

2.3. Interprétation géométrique

Le complexe

z = a +ib

peut être représenté dans le plan muni

d’un repère orthonormé 

^{O u v; , }

 par le point

^{M a b}



^;

 ou par le vecteur

^{OM a b}



^;

 ^.

On dit alors que M ou

_OM^{}

est l’image de

^z

ou que

M

a pour affixe

^z

.

On dit que [ ; ]r  est un couple de coordonnées polaires de M lorsque : r OM et ^



^{u OM ;}



^[2]

On a alors r z OM  a²b² ; a r cos et b r sin , ^{z a bj r}  



^cos ^jsin



.

 

^;

M O u

c’est-à-dire

zR

: on dit que cet axe est l’axe des réels .

 

^;

M O v

c’est-à-dire

^{z j}R

: on dit que cet axe est l’axe des imaginaires purs .

Soient

^{M z}

  et

^{M z}

^'   les images de

^z

et

_z

. M et M’ sont symétriques par rapport à l'axe des réels.

3. Forme trigonométrique d’un nombre complexe 3.1. Définition

Soit

zC *

et M son image dans le plan . Soit

r OM  zM ⁰ et



^{u OM;}



  

[2] . Dans OMH , ^cos _{2 2}

M

a a a a

OM z r a b

   



et

^cos _{2 2}

M

b b b b

OM z r a b

   



r est appelé module de z , On le note

r z  a²b²  zz

.

 est appelé argument de z et est noté

^argz

est défini à 2π près et est tel que

^cos

M

a a

z r

 

et

^cos

M

b b

z r

  

.On a alors

^{z a  jb r}



^{cos isin}



^{[ ; ]r }

. Cette forme s'appelle la forme trigonométrique de z.

Ces relations permettent de passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique et inversement.

3.2. Propriétés

a. Si deux nombres complexes z et z' sont écrits sous forme trigonométrique :

^{z r}



^{cos jsin}



^{et z'r' cos '}



^{  jsin '}



, on a : z = z'  ^{' '} ' 2 z z r r

  k

 

  

   b. Comparer des nombres complexes écrits sous forme trigonométrique

'

' ' 2

z z r r

k

 

          '

' ' 2

z z r r

k

 

      

c. SoientM et M' d'affixes respectives zet 'z dans le plan complexe rapporté au repère



^{O u v; ; }



^.

Si z et z' ont pour formes trigonométriques : ^{z r}



^{cos jsin}



^{[ ; ]r } et ^{z'r' cos '}



^{  jsin '}



^{[ '; ']r }

Alors : ·

 

^{u v ;   argz} [2]. ·

 

^{v v ; '    ' arg ' argz z [2].}

Démonstration En utilisant la relation de Chasles sur les angles, on peut écrire :

    

^{v v ; '  v u ;  u v ; '}

 

^{ u v ; '}

  

^{ u v ;    ' arg ' argz z [2] .}

d. Conjugué , égalité de 2 complexes

Si

^{z r}



^{cosjsin}



^{[ ; ]r } ,

alors

^{z r}



^cos

 

^{  jsin}

 

^



^r



^{cos jsin}



^{[ ;r ]}

Si

^{z[ ; ]r }

alors

^{z[ ;r ]} .

M(z)



a b

0 1

1

x y

OM v

u

e. Module et argument d’un produit Soit

^{z[ ; ]r }

et

^{z' [ ' ; '] r }

] .

     

         

' cos sin ' cos ' sin ' ' cos cos ' cos sin ' sin cos ' sin sin ' ' cos cos ' sin sin ' cos sin ' sin cos ' cos ' sin '

zz r j r j rr j j

zz j r

           

           

       

       

Si

^{z[ ; ]r }

et

^{z' [ ' ; '] r }

, alors

z z ' [ ; ] [ ' ; '] [ ';r   r   rr   '] .

Comme 'rr est un nombre réel positif, on a donc ^cos( ^ ') cos cos ' sin sin '^   ^   et ^sin( ^ ') cos sin ' sin cos '^   ^  

Si   ', on déduit cos(2) cos ²sin² et ^{sin(2)2sin cos }

f. Module et argument d’un inverse : Soit

^{z[ ; ]r }

et

^{z' [ ' ; '] r }

.

   

_{2 2}

 

1 1 1 cos sin 1 cos sin 1

cos sin

cos sin cos sin cos sin cos sin

j j

r j r j j r r j

     

       

 

      

   

Si

^{z[ ; ]r }

, alors

^{1 1;} z r 

. g. Module et argument d’un quotient

· On peut écrire ^{cos sin}



^{cos sin}



^{1 (cos} sin )(cos ' sin ' )

' cos ' sin ' cos ' sin '

z j

j j j

z j j

       

   

       

  donc

   

2

cos sin ' ' cos ' sin '

cos cos ' cos sin ' sin cos ' sin sin ' cos cos ' sin sin ' cos 'sin sin sin ' ' '

cos cos ' sin sin ' cos 'sin cos sin ' ' '

z r i

z r i

z r j i j j j

z r

z r

z r j

 

 

               

       

  



         

    

Comme ' r

r est un nombre réel positif, cos(θ - θ') = cosθcosθ' + sinθsinθ' ; sin(θ - θ') = cosθ'sinθ - cosθsinθ'.

Si

^{z[ ; ]r }

et

^{z' [ ' ; '] r }

, alors

[ ; ] [ ; '] [ ;¹ ']

' ' '

z r

z  r   r   r   .

k. Relations entre les deux écritures :

^{z a bj r   (cos  jsin )}

 

2 2

cos

sin arctan / 2 0 arctan( / ) 2 0

r a b

a r

b r b a k si a et b a k si a

  

  

 

              

 

Cas particulier : z R il existe un entier k tel que   k

z est imaginaire pure (zjR ) il existe un entier k tel que   / 2 k .

l. Module et argument d’une puissance

Soit

^{z[ ; ]r }

.

z z z  ² [r r;  ] [ ;2 ] r² 

.

z³   z² [ ;2 ][ ; ] [ ;3 ]r²  r   r³ 

. Plus généralement,

zⁿ [r nⁿ; ]

. Si

^{z[ ; ]r }

alors

zⁿ [r nⁿ; ]

.

4. Autre expression de z = cos θ + i sin θ

4.1. Notation exponentielle : Soit un complexe z tel que

^z



^cos ^jsin

 .

PourR, on notezcosjsine^j et zcos jsine^j. Cette notation est appelée notation exponentielle.

On pose

^{cos jsinei}

et on lit « e puissance i thêta »

On déduit : e^j  1, e^{j/ 2} j et e^j0e^j2 1 . zcos jsin e^i [1 ; ]

Si  est un argument de z,alors un argument de z est  et   est un argument de z , d’où e^j e^j Toute écriture ^{z r}



^{cos jsin}



^{rej ( avec r}R^*+et R réels )est une forme exponentielle . En effet :Si rest un réel non nul , z  re^j  r e^j  r (e^j 1 , donc z  r .

Si r0 , alors z  r r , donc dans ce cas z re ^jest une forme exponentielle .

Si r0, alors z  r  r , donc dans ce cas z re ^j   ( )(r e^j) ( ) r e^{j(  )}(le module est égale à r et un argument dezest   ,est aussi une forme exponentielle

4.2. Propriétés Soit

^{z[ ; ]r  rei}

et

^{z' [ ' ; '] r  rei'}

.

· z[ ;r  ] re^i

.

z z  [r r;  ] [ ;0] r² r e^{2 i(  )}r e^{2 i(0)} r²

.

· ^{z z ' rr e' jej'ej(  ')rr' cos(}



^{  ') jsin(  ')}

 .

· _' ^{( ')}



cos( ') sin( ')



' ' ' '

j j

j

z r e r r

z r e r e r

  

 ^    

     

Formule de Moivre :

zⁿ [ ; ]r  ⁿ [r nⁿ; ]

. Donc

^{zn }

 

^{rei n rnein rn}



^cos

^{ }

^{n isin}

^{ }

^n

 ^.

Ou encore, pour r = 1 :

^{zn }

 

^{ei n ein cos}

^{ }

^{n isin}

^{ }

^n

4.3. Conséquence Soit

cos jsine^j

et

cos jsine^j

. En ajoutant membre à membre,

j j 2cos

e^ e^  

d’où

cos

2

j j

e^ e ^

 ^{ }

.

e^je^j 2 sini 

d’où

sin

2

j j

e e

i

 

 ^{ }

Ces formules sont appelées " formules d’Euler" .

5. Equation du second degré

Propriété L'équation : a z²b z c 0, où a, b et c sont des réels (avec a0) admet dans  deux solutions : Soit  b²4a c le discriminant de l'équation.

· si  0 , les deux solutions sont réelles : ₁ 2 z b

a

  

 et ₂

2 z b

a

  



· si  0 , les deux solutions sont des nombres complexes non réels, conjugués l'un de l'autre :

1 2

z b i a

  

 et ₂

2 z b i

a

  



Le trinôme a z²b z c peut alors se factoriser sous la forme a z²b z c a z z  (  ₁)(z z ₂). 6. RESOLUTION DANS _ DE L’EQUATION : z² a Racines carrées d'un complexe.

a. Définition :

On dit que

^z

est une racine complexe de

^a_

si

^z

vérifie l'égalité

_z² _a

.

Pour tout nombre complexe non nul z , z²  z² a et arg( ) 2argz²  z2k avec k dans Z^.

Pour

^a⁰

une seule solution

^z⁰

.

Pour

a^

, on peut utiliser la forme exponentielle. Soit

a e^i

et

z re ^i

.

^{2 2 2 2}

2

i i r

z a z r e e k

k

  

   

 

     

  





.On obtient donc deux solutions

i2

z e





 

.

b. Propriété : Si un nombre complexes a, a pour module et pour argument



, alors le nombre complexxe z de module r  et d’argument

2

  est tel que z² a^. c. Trigonométrique

Si le module  et un argument  de a sont connus alors on peut déduire ceux ret  dez.En effet : z2a donc r²; 2    ;  ; d’après l’égalité des complexes , on a : r² et 2  2k

où

k

Donc

^{r  (r0)} et

2 k

   

où

^kZ

.On obtient donc deux points images sur le cercle de centre O de

^r

. Il y a donc deux complexes opposés. Solutions :

1 ;

z   2

  

 

ou

2 ; z   2 

  

 

7. Lignes de niveau

Définition : Dans un repère orthonormé



^{O u v; , }



,la ligne de niveau N_k d’une fonction f de  dans R , est l’ensemble des points M du plan d’affixe z tels que : f z( )k( k constante réelle ) Cas particuliers :

1. ( ) Re( )f z  z ( partie réelle de z ) ou f z( ) Im( ) z ( partie imaginaire de z ).

·Si Re( )z k le point M d’affixe

z

a une abscisse constante il s’agit donc de la droite d’équation :x k . ·Si I m( )z k( partie imaginaire de z ).il s’agit donc de la droite d’équation y k .

2. Lignes de niveau de f : ^z ^z ( module de z ) ( k0)

z x  jy ; z  x²y² k x²y²k². Il s’agit donc d’un cercle de centre O de rayon k . 3. Lignes de niveau de ^z ^{z a} . aC et k 0

z x  jy, a  i z a  k (x)² ( y)²k². Il s’agit donc d’un cercle de centre A de rayon k Dans le cas particulier où k = 0 , il s’agit du cercle point A.

4. Lignes de niveau de f : zargz (argument z ) z x  jy ; ^{argz }



^{u OM ;}



^

Il s’agit donc de la demie droite d’origine O , O exclu , et d’angle polaire  .

5. Lignes de niveau de f : zarg(z a ) (argument (z a ) ) z x  jy et A un point fixé d’affixe a   j . ^{arg(z a ) }



^{u AM ;}



^. Il s’agit donc de la demie droite d’origine A , A exclu , et d’angle polaire  . Théorème : Soit A un point fixé d’affixe a   j

La ligne de niveau  de la fonction zarg(z a )correspondant au niveau  modulo 2. est la demi-droite issue deAprivé du point A , faisant l’angle  avec le vecteur directeur u .