Cours : Nombres complexes

- Cours -

Les nombres complexes.

HISTORIQUE.

Nous vous avons menti !!

Malgré tout ce que vos enseignants ont pu vous raconter depuis le collège, il existe des nombres dont le carré peut être négatif !

Imaginés au XVI^ème par Cardan (1501−1576), Tartaglia (1500−1557) ou encore Bombelli

(1526−1573), les nombres complexes (appelés aussi nombres imaginaires) ont mis plus de trois siècles à s’imposer au sein de la communauté scientifique.

Fréquemment utilisés jusqu’au XVIII^ème, leur nature reste encore obscure et leur adoption au sein de la communauté est loin de faire l’unanimité.

Il faudra attendre le XIX^ème siècle et leur interprétation géométrique pour qu’ils s’imposent de manière définitive auprès des scientifiques.

Tout aurait pu commencer comme cela…

L’étude des racines des polynômes contraint le mathématicien à construire de plus en plus d’ensembles…

Au tout début de l’étude des nombres (l’arithmétique), il y avait l’ensemble {0 ;1}.

Muni de l’addition, le mathématicien obtient alors l’ensemble IN des entiers naturels.

- Dans IN, l’équation x+3 = 4 admet comme solution x = 1.

Mais par contre, l’équation x+4 = 3 n’en admet aucune.

On décide alors de munir IN de la loi soustraction, on construit alors l’ensemble Z Z, avec ℕ⊂ℤ. - Ainsi dans Z Z, l’équation x+4 admet une solution, -1.

Cependant, la simple équation 3x = −5, elle, n’admet pas de solution dans ℤ.

On construit alors l’ensemble ℚ, qui contient ℤ et qui permet désormais de résoudre toutes les équations du type ax+ =b 0, a non nul.

- Pourtant, dans Q, on bloque par exemple sur l’équation x² - 3 = 0.

On construit alors l’ensemble IR , tel que ℚ⊂ℝ, qui contient lui, tous les irrationnels.

- Dans IR, vous l’avez bien compris, nous sommes désormais capables de déterminer les racines d’un trinôme de discriminant positif... mais pas ceux de discriminant négatif.

Nous bloquons sur l’équation toute simple x² = 1.

Ainsi né l’ensemble ℂ, avec ^ℝ⊂^ℂ, qui contient un nombre i tel que i² = −1…

Cet ensemble, imaginé par les mathématiciens est compatible avec les règles connues sur ℝ, addition, multiplication, puissance… et apportera enfin une solution aux équations P(x) = 0, où P est un trinôme de discriminant négatif.

Et après me dirait vous ? Ne peut-on pas trouver d’équation polynomiale insoluble dans ℂ pour construire un ensemble encore plus gros ??

Et bien non, il n’y a rien « au dessus » de ℂ !

On dit que ℂ est algébriquement clos : tout polynôme à coefficient dans ℂ admet ses racines dans

ℂ.

→ Remarquons enfin que cette notion de nombres complexes, que certain trouveront peut-être folklorique, est utilisée de manière parfois centrale dans de nombreux domaines : physique (électricité…), informatique (imagerie 3D…), sociologie (modélisation de l’évolution de populations…), etc. C’est donc loi de n’être qu’une théorie imaginaire !

→ Animations liées : Le cours illustré sur les complexes : animations sur l’affixe d’un point ou d’un vecteur, la forme trigonométrique, l’écriture exponentielle, le module ou l’argument…

http://mathemitec.free.fr/animations/comprendre/complexes/ici/nombre-complexe.php

I. Forme algébrique d’un complexe. Représentation graphique.

De manière générale, les lettres x, y, x’, y’… représentent des nombres réels, les nombres complexes étant le plus souvent notés z, z’, z₁…

Généralités Théorème (admis).

On admet l’existence d’un ensemble noté ℂ, appelé ensemble des nombres complexes, qui possède les propriétés suivantes :

- IR est inclus dans ℂ.

- il existe un nombre complexe, noté i tel que i² = −1.

- les règles de calcul connus sur IR (distributivité, commutativité, addition…) sont vraies sur ℂ.

- tout nombre complexe z s’écrit de manière unique sous la forme z= +x iy, où x et y sont deux réels.

Exemples.

Les nombres suivants sont des complexes : z₁ = 3 + i, z₂ = −4, z₃ = 3 2 4

−i ^…

Définition.

L’écriture z = x + iy est la forme algébrique du complexe z.

→ x est la partie réelle de z, notée Re(z) (x ∈ IR).

→ y est la partie imaginaire de z, notée Im(z) (y ∈ IR).

Exercices I-1.

Donner les parties réelles et imaginaires des trois complexes précédents.

Théorème I-2.

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si (ssi) ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.

Indication : utiliser l’unicité de la forme algébrique d’un nombre complexe.

Vocabulaire.

→ Un complexe de partie imaginaire nulle est un nombre réel : Im(z) = 0 ⇔ z est réel.

→ Un complexe de partie réelle nulle est appelé un imaginaire pur : Re(z) = 0 ⇔ z est un imaginaire pur (donc de la forme z = iy, y∈ℝ).

L’ensemble des imaginaires purs est noté iℝ.

Attention : si z n’est pas un réel, ce n’est pas forcement un imaginaire pur.

Théorème.

Les règles d’addition et de multiplication connues dans ℝ se prolongent à ℂ. Autrement dit : (x+iy)+(x’+iy’) = (x+x’)+i(y+y’) : la partie réelle d’une somme est la somme des parties

réelles (de même pour la partie imaginaire).

Tout complexe z = x + iy admet pour opposé z’ = -z = -x – iy : z + z’ = 0 (x+iy)(x’+iy’) = xx’ + ixy’ + iyx’ + i²yy’. Comme i² = -1, on obtient :

(x+iy)(x’+iy’) = (xx’ - yy’) + i(xy’ + yx’) [formule à ne pas apprendre !]

En particulier, pour tout réel x et y : (x+iy)(x-iy) = x²+y².

Tout nombre complexe non nul z admet un inverse noté 1 '

z = z : zz’ = 1.

Note

Tous les exercices ou les démonstrations des

propriétés de ce chapitre se trouvent à la

fin de ce document.

Remarque.

Contrairement à ℝ, la notion d’ordre n’a aucun sens sur ℂ : on ne peut donc ordonner les complexes, écrire que z > 0 lorsque z n’est pas réel n’aura donc aucune sens.

Exercices I-3.

Résoudre dans

ℂ

les équations suivantes :

1. 3z + 2 – i =0 2. 3

i 5 z i =

− 3.

(

^{3z− +2i 3 3}

)(

^−iz

)

^{=0 4. z2+ =4 0}

Remarque.

→ L’inverse de 3+i est donc 1

3 i+ : mais comment déterminer la forme algébrique de ce complexe.

La nouvelle identité remarque va nous permettre de le faire.

En effet, multiplions numérateur et dénominateur par 3 i− ^: 1 3 3_{2 2} 3

3 3 3 10

i i i

i i i

− − −

× = =

+ − − ^.

→Suivant le même principe, elle nous servira aussi à déterminer la forme algébrique des complexes de la forme

' z z ^.

Par exemple ^{1 3 1 3 2}

(

^{1 3}

)(

²

)

^{1 7}

2 2 2 5 5

i i

i i i i

i i i

+ +

+ = + × + = = − +

− − + ^.

Exercice I-4.

Déterminer la forme algébrique de l’inverse des complexes suivants : z₁= −1 i^, z2 = − +2 4i^,

3

2 2

2 2

z = +i ^puis z4 =i^.

Déterminer la forme algébrique des complexes suivants : ₅ 3 1 z i

i

= +

− ^{et 6} 3 2 1 z i

= i

− ^. Remarque.

Puissances de i : i⁰ = 1 i¹ = i i² = −1 i³= −i i⁴ = 1

∀ n ∈ IN, i⁴ⁿ = 1 i⁴ⁿ⁺¹ = i i⁴ⁿ⁺² = −1 i⁴ⁿ⁺³ = −i Aspect Géométrique

Définition.

Le plan est muni du repère orthonormé direct (O; u^→; v^→).

A tout nombre complexe z = x + iy on associe le point M de coordonnées M(x ;y).

On dit que M a pour affixe z un encore que M est le point image de z : on note M(z).

On dit de même que OM

a pour affixe z ou que OM

est le vecteur image de z : on note OM (z).

Le plan est alors appelé plan complexe.

Autrement dit, le point M a pour coordonnées (x ; y) dans le plan cartésien si et seulement si M a pour affixe z = x + iy dans le plan complexe

Remarque.

L’axe des abscisses est l’ensemble des points M d’affixe un réel : on l’appellera aussi « axe des réels ».

L’axe des ordonnées est l’ensemble des points M d’affixe un imaginaire pur : on l’appellera aussi

« axe des imaginaires purs ».

Nous avons déjà remarqué que la forme algébrique d’un nombre complexe est unique : comme l’affixe d’un vecteur est liée à sa forme algébrique, nous obtenons naturellement que :

Propriété. Deux vecteurs sont égaux ssi ils ont la même affixe.

o u v

M(z)

M'(z) M2(-z)

M1(-z)

x -x

y

-y

Propriétés I-5.

Si A z

( )

A et B z

( )

B alors AB z

(

B−zA

)

: autrement dit _{B A} zAB=z −z . On a

u v u v

z₊ =z+z : autrement dit, l’affixe d’une somme de vecteurs est la somme des affixes.

Pour tout réel k,

k u u

z =kz. Soit A z

( )

A et B z

( )

B .

Si G est le barycentre de (A,a)(B,b) avec a et b réels (et a+b non nul), alors _G az^A bz^B

z a b

= +

+ . En particulier, l’affixe du milieu I de [AB] est

2

A B

I

z z

z = + .

Indication : utiliser les résultats connus sur les coordonnées cartésiennes d’un vecteur.

Exercice I-6.

Soit ^A

(

^{− +2 i}

)

^{, B}

(

^{3 3+ i}

)

^{et 1 11}

C 5i

 + 

 ^.

1. Calculer les affixes des vecteurs AB

et AC . 2. En déduire que les points A, B et C sont alignés.

Exercice I-7.

1. Soit

z

_A

= − 1 2 i

^{. Placer}

^{A z} ( )

^{A et}

^{B z} ( )

^{B avec}

^z

^B

^{= iz}

^A dans le plan complexe.

Que dire du triangle OAB ? Le prouver.

2. Soit z un nombre complexe quelconque d’affixe z = x + iy. Placer M(z) et M’(iz) dans le plan complexe.

Que dire du triangle OMM’ ? Le prouver.

3. Que dire de la transformation du plan complexe qui à M(z) associe M’(iz) ?

II. Conjugué d’un nombre complexe.

Définition. Le conjugué du complexe z = x + iy est z= x – iy.

Interprétation géométrique.

M’(z) est le symétrique de M(z) par rapport à l’axe des abscisses.

On retiendra la configuration suivante…

Exemple.

2 i 2 i

− + = − − , 3i+ = − +2 3i 2 ou encore 2=2 et 6i= −6i. Propriétés II-1.

Pour tout complexe z, on a :

z=z

z est un nombre réel ssi z=z. z est un imaginaire pur ssi z= −z. ^{z+ =z 2 Re}

( )

^{z et z− =z 2 Im}

( )

^{z .}

Pour tout complexe z = x+iy, z z=x²+y² est un réel positif.

Remarque.

C’est en fait le conjugué de z que nous utilisions pour donner la forme algébrique d’un quotient :

3 3 1 2 4

1 1 1 2 1 2

i i i i

i i i i

+ = + × + = + = +

− − + .

La conjugaison est une en fait une fonction ℂ→ℂ qui à z associe z. Il est naturel d’étudier sa compatibilité avec les opérations usuelles.

Propriétés II-2.

Pour tout complexes z et z’, z+ = +z' z z'

z× = ×z' z z'

^{zn =}

( )

^{z n} pour tout entier naturel n

' '

z z

z z

 

=

 

  Exercice II-3.

Soit ^{f z( )= +}

(

^{1 z i}

) ( )

^+z une fonction de la variable complexe.

1. Déterminer l’ensemble géométrique des points M d’affixe z tels que f(z) soit réel.

2. Déterminer l’ensemble géométrique des points M d’affixe z tels que f(z) soit un imaginaire pur.

Indication : déterminer la forme algébrique de f(z).

Exercice II-4.

Démontrer que M(z) est sur le cercle C(O ;1) ssi 1 z

= z (O est l’origine du repère).

III. Racines d’un trinôme

Nous allons étudier dans cette partie les trinômes de variable complexe à coefficients réels : ce sont les trinômes de la forme P(z) = az² + bz + c où z∈ℂ et a,b et c sont réels.

Equation z² = a, a réel

Lorsque a est un réel positif, ^a=

( )

^{a 2} donc nous avons ^{z2− = −a}

(

^{z a}

)(

^{z+ a}

)

: les solutions de l’équation z² = a sont les réels a et - a.

Lorsque a est un réel négatif, ^a=

( )

^{i −a 2} donc nous avons ^{z2− = − −a}

(

^{z i a}

)(

^{z+ −i a}

)

^{: les}

solutions de l’équation z² = a sont les imaginaires purs i −a et -i −a.

Remarque.

Le symbole est réservé uniquement réservé aux réels positifs : rappelons que par définition, la fonction racine a été définie de ℝ⁺ →ℝ⁺, et ça restera longtemps juste comme çà…

Par exemple, on ne devra pas écrire « -3 », mais on dira que i 3 et -i 3 sont les racines carrées complexes de –3.

Trinômes de variable complexe, à coefficients réels.

Rappelons-nous la méthode pour déterminer les racines d’un trinôme… la forme canonique !

Soit P z( )=az²+ +bz c, a non nul :

2 2

2

( ) 2

2 4

b c b b c

P z a z z a z

a a a a a

 

    

=  + + =  +  − +  donc

2 2

2

( ) 4

2 4

b b ac

P z a z

a a

  − 

=  +  −  .

Posons donc ∆ =b²−4ac de sorte que

( ) ( )

2 2

2 2

( ) 0 0

2 2 2 2

b b

P z z z

a a a a

∆ ∆

   

= ⇔ +  − = ⇔ +  = qui est de lq

forme Z² =A, avec

2 Z z b

= + a et

( )

^{2 2}

A a

= ∆ .

A l’aide de la partie précédente, on obtient le théorème suivant : Théorème.

L’équation az²+ bz + c = 0 de variable z complexe, à coefficients réels (a ≠ 0) et de discriminant

∆ = b² - 4ac, admet :

> Si ∆ = 0 : 1 solution réelle unique 2

b

− a .

> Si ∆ > 0 : 2 solutions réelles ^{-b - ∆} et ^{-b - ∆}

2a 2a .

> Si ∆ < 0 : 2 solutions complexes conjuguées ^{-b - i -∆} et ^{-b - i -∆}

2a 2a .

Remarque. Dans la pratique, lorsque le discriminant est négatif, on calcule une racine z₁ et on remarque que z₂ =z₁.

Exercice III-1.

Soit P z( )=z³−2z²− +3z 10 où z est un nombre complexe.

1. En remarquant que -2 est racine de P, déterminer le trinôme Q tel que P z( )= +(z 2) ( )Q z . 2. Factoriser le polynôme P dans ℂ.

Exercice III-2 [difficile].

Soit P un polynôme à coefficients réels. Montrer que si z₀ est racine de P alors z₀ est aussi racine de P.

Remarque.

Le fait que les coefficients soient réels ou non est donc capitale dans l’étude des racines d’un polynôme, comme le montre l’exercice précédent.

Nous allons voir sur un exemple à priori simple, comment déterminer les racines d’un polynôme à coefficients complexes.

Exercice III-3.

Soit P(z) = z² + i un polynôme.

1. Déterminer la forme algébrique de P(z).

2. En déduire les racines de P.

IV. Brefs rappels de trigonométrie

cos (x+2π) = cos(x) sin (x+2π) = sin(x)

sin( ) tan( )

cos( ) x x

= x

Définition. Soit

^{R =} ( ^{O u v ; ;} )

un repère orthonormé direct.

→

Le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1 unité, et orienté (dans le sens inverse des aiguilles d’une montre).

→

On dit que M est d’abscisse angulaire x, noté M(x), si une mesure de l’angle orienté

( ^{u OM ,} ) ^{≡ x [2 ] π}

^.

→

Dans ce cas, à l’aide des définitions géométriques vues en collège du cos et du sin, on montre que les coordonnées cartésiennes de M sont :

M ( cos( );sin( ) x x )

.

Remarque.

A l’aide des valeurs remarquables des sinus et cosinus ci- dessus, on pourra placer de manière exacte la plupart des angles utilisés en T°S.

Et il faut savoir le faire !

Deux formules qui donnent toutes les autres 1. cos( a+b ) = cos( a ).cos( b ) – sin( a ).sin( b )

2. sin( a+b ) = sin( a ).cos( b ) + sin( b ).cos( a )

En effet : en faisant

b → − b

dans la formule 1 : cos (a-b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b).

en faisant

b → − b

dans la formule 2 : sin (a-b) = sin(a)cos(b) - sin(b)cos(a).

en faisant

a = b

dans la formule 1 : cos(2a) = cos²(a) – sin²(a)

= 1 – 2sin²(a) car cos²(a) + sin²(a) = 1 en faisant

a = b

dans la formule 2 : sin(2a) = 2sin(a)cos(a).

en faisant

b = π

dans la formule 1 : cos(a+ππππ) = - cos(a).

…

Résolution d’équations

La lecture du cercle trigonométrique donne entre autre que : 1. sin(x) = sin(a) ⇔ x = a [2π] ou x = π-a [2π].

2. cos(x) = cos(a) ⇔ x = a [2π] ou x = -a [2π].

cos² (x) + sin² (x) = 1 x 0 ππππ/6 ππππ/4 ππππ/3 ππππ/2 cos(x)

1

3 2

2 2

1

2

⁰

sin(x) 0

1

2 2 2

3 2

¹

tan(x)

0

3 3

1

3

^N.Def

Pour tout x : cos( ) 1

1

≤ x ≤

−

Pour tout x : sin( ) 1

1

≤ x ≤

−

Pour tout x : cos(− =x) cos( )x Pour tout x :

sin(− = −x) sin( )x

O u

v M (x)

cos(x) sin(x)

x

o

M

x y

r V. Forme trigonométrique d’un complexe

(O, u^→ ; v^→) désigne un repère orthonormé direct.

Rappels sur les coordonnées polaires En coordonnées cartésiennes,

dire que M(x,y) a pour coordonnées (x ;y) signifie que OM^→ = xu^→ + yv^→. En coordonnées polaires,

dire que M(r,θ) a pour coordonnées (r,θ) signifie que



OM = r

( u^→;OM^→ ) ≡ θ [2π]

D’après les relations trigonométriques dans un triangle rectangle

² ² ²

r x y

cos

sin

x r y r

θ θ

= +

=

=

 

 

 





ou encore

( ) ( )

2 2

cos sin

r x y

x r y r

θ θ

 = +

 =



 =

: ces relations permettront de passer des coordonnées cartésiennes aux polaires et

réciproquement.

Exercices V-1.

1. Déterminer les coordonnées polaires des points suivants : M(1 ; −1), N(1+i 3), K(- 3+i) 2. Déterminer les coordonnées cartésiennes des points suivants : L(3 ; −π/3), P(1 ; −π/2)

Forme trigonométrique d’un complexe

Dans toute la suite : z = x + iy est la forme algébrique de z (x et y réels) et z est l’affixe de M(z).

Définitions.

Le module du complexe z = x +iy, noté |z|, est le réel | |z = x²+y².

Lorsque z est non nul, on appelle argument de z, noté arg(z), toute mesure en radians de l’angle orienté

(

^{u OM,}

)

^.

Interprétation. Module et argument de z correspondent donc respectivement aux première et deuxième coordonnées polaires de M(x,y).

Remarque.

Le module d’un réel est sa valeur absolue, ce qui justifie la notation.

Exemples.

| |i = 0² 1²+ =1 : logique ! La distance de O à M(i) est 1, et arg( ) i ₌π2 _.

|1 + i| = 2 et arg(1+i) = 4

+π (par exemple, placer M(1+i) pour déterminer cette valeur)

Exercice V-2.

Déterminer le module et l’argument des complexes suivants :

1 2 2

z = − + i, z₂ = 3−i, z₃= −5i, z₄ = −3, z₅= − +3 3 3i.

Remarques.

z est réel SSI le point M(z) est sur l’axe (Ox), ce qui se traduit par ^arg

( )

^{z =0 [ ]π .}

z est imaginaire pur SSI le point M(z) est sur l’axe (Oy), ce qui se traduit par ^arg

( )

^{z =π π}₂ ^{[ ].}

Découverte de la forme trigonométrique d’un complexe.

Nous savons que z = x + iy est la forme algébrique de z, affixe du point M

En termes de coordonnées cartésiennes, on a M(x ;y) et en termes de coordonnées polaires, M(r,θ=arg(z)).

Nous avons déjà vu que x = r cos θ et y = r sin θ donc z = x + iy = (r cos θ) + i(r sin θ) ! Définition.

La forme trigonométrique du complexe z est z = r[cos θ + i sin θ] avec

( )

| | arg r z θ z

=



 = .

Attention. Notez que r est le module de z est un réel strictement positif (pour z non nul).

Exemples.

Par exemple, pour l’exercice V-2, on a ₁ 3 3

2 2 2 cos sin

4 4

z _{= − + =}i ^{ } π^₊i ^ π^

    

   

  ou encore

2 3 2 cos sin

6 6

z _{= − =}i ^{ }₋π^₊i ^₋π^

    

   

 .

Exercice V-3.

Déterminer la forme trigonométrique des complexes suivants :

1 12 12

z = − i, ₂ 3 cos sin

12 12

z ₌ ^{ }π ^₋i ^π ^

    

   

 , ₃ 2 cos sin

8 8

z _{= −} ^{ }π^₊i ^π ^

    

   

 , ₄ 3 3

6 cos sin

12 12

z ₌ ^₋ ^ π^₊i ^ π ^

    

   

  ou encore

( ) ( )

( )

' cos sin

z =r θ −i θ avec r>0.

Propriétés Module / Argument.

Propriété V-4.

Deux complexes sont égaux ssi ils mont le même module et le même argument.

Pour tout complexe z : z = -z = z

z

2

= × z z

arg z ≡ - arg z [2 π ] arg (-z) ≡ arg z + [2 ] π π

z est un réel ⇔ z = 0 ou arg z ≡ 0 [ ] π

z est un imaginaire pur ⇔ z = 0 ou arg z ≡ /2 [ ] π π

Module/Argument et Opérations.

Propriété V-5. Pour tout complexe z, z’, on a :

>

z z × = × ' z z '

>

1 1

z = z

(z non nul)

>

' ' z z

z = z

(z’ non nul)

> Pour tout réel λ^,

λ z = × λ z

(module de λ = valeur absolue de λ)

> Pour tout naturel n,

n n

z = z

_.

>

z + ≤ + z ' z z '

Exercices V-6.

Déterminer le module des complexes suivants : (1+3i)² ; (1−2i)(3+i); ¹ 2 i i +

+ ; ^{(2 3 )²}₅ (1 )

i i +

− ; cosθ+isinθ. Propriété V-7. Pour tout complexe z, z’ on a :

> arg(zz’) ≡ arg z + arg z’ [2π]

> arg(1

z ) ≡ − arg z [2π]

> arg(z

z' ) ≡ arg z − arg z’ [2π]

> arg(zⁿ) ≡ n × arg(z) Remarques importantes.

Quelle forme ont donc les nombres complexes de module 1 ??

La forme trigonométrique nous permet d’affirmer que tout nombre complexe de module 1 s’écrit ^z=cos

( )

^{θ +isin}

( )

^θ puisque r = 1.

Mais nous savons que

n

| | | |

arg(z )=n arg(z)

n n

z z

 =



×

 : zⁿ sera donc un nombre complexe de module 1 et d’argument nθ^.

D’après la remarque ci-dessus, on a donc

(

^cos

( )

^{θ +isin}

( )

^θ

)

^{n =cos}

( )

^{nθ +isin}

( )

^{nθ !!}

Magnifique non ?? non ! bon…

Exercices V-8

Soit z = 1 − i et z’ = 1 + i 3.

(i) Déterminer modules et arguments de z ; z’ ; z⁴. Donner la forme algébrique de z⁴ et de ' z z . (ii) Déterminer modules et arguments de

' z

z . En déduire la valeur exacte de 7 cos 12

π

 

 

 .

Module/Argument : Aspect Géométrique

Voici une liste non exhaustive de propriétés (avec leurs démonstrations) simples, mais parfois très utiles. Les deux derniers points vont être démontrés séparément, et le raisonnement est à

connaître [ROC] ! Propriété V-9.

z_B − zA est l’affixe de AB^→ donc |z_B − zA| = || AB^→ || = AB.

|z| = 0 ⇔ OM = 0 ⇔ O = M ⇔ z = 0

|z| = |z’| ⇔ OM = OM’ ⇔ M et M’ sont sur le cercle de centre O.

|z| = a (a réel +) ⇔ OM = a ⇔ M est sur le cercle de centre O et rayon a.

|z − zI| = a (a réel +) ⇔ IM = a ⇔ M est sur le cercle de centre I et rayon a.

|z − zA| = |z − zB| ⇔ AM = BM ⇔ M est sur la médiatrice de [AB].

arg(zB −−−− zA) = arg(zAB→→→→) = (u^→→→→ ; AB^→→→→ ) [2π]

(AB^→→→→ ; CD^→→→→ ) ≡≡≡≡ arg(zD −−−− zC

zB −−−− zA ) [2ππππ]

Exercices V-10

Soit A(2), B(i), C(1 − 2i). Déterminer la nature du triangle ABC.

Exercices V-11

Soit A(2), B(i), C(1 − 2i)

Calculer (c−a)/(b−a). Que peut−on en déduire ? Exercices V-12

Soit M d’affixe ^{z∈ℂ\ 1; 2}

{

^{− i}

}

^.

1. Interpréter géométriquement arg(z - 1 z + 2i )

2. Déterminer l’ensemble des points M(z) tel que arg(z - 1

z + 2i ) = π/2 [π].

3. Déterminer l’ensemble des points M(z) tel que z - 1

z + 2i soit réel.

Exercices V-13

Quel est l’ensemble des points M(z) tels que z 2 z i +

− soit un imaginaire pur ? Exercices V-14

Quel est l’ensemble E des points M(z) tels que |z+ = − +2 | |z 3 i| ?

VI. Forme exponentielle d’un complexe

Introduction à la notation exponentielle.

Soit f la fonction définie sur IR qui à un réel x associe le complexe z de module 1 et d’argument x f(x) = cos(x) + i sin(x).

> Les fonctions cos et sin étant dérivables, i étant une constante, et en admettant que nous comprenons ce que nous faisons (cad dériver une fonction complexe !), on obtient :

f ’(x) = − sin x + i cos x = i²sin x + i cos x = i f(x) cad f’(x) = if(x).

Remarquons alors que f(0) = 1. Nous obtenons : '( ) ( ), (0) 1

f x kf x avec k i f

= =



=

 .

Cela devrait vous rappeler quelque chose…

> Remarquons aussi que, en vertu des propriétés démontrées sur l’argument d’un complexe, on a : ( ') ( ) ( ')

f x+x = f x f x . Cela devrait vous rappeler quelque chose encore !

En fait nous venons de vérifier que la fonction f(x) = cos(x) + i sin(x) satisfaisait les propriétés caractérisant la fonction exponentielle…

Cela justife la notation suivante :

Notation.

On note f(θ) = e^iθ le complexe de module 1 et d’argument réel θ.

Autrement dit, pour tout réel θ, on pose cos(θ) + i sin(θ) = e^iθ.

Exemples.

eⁱ⁰ = e^i2π = 1 ; e^iπ = -1; e^iπ/2 = i ; −i = e^i(−π/2) ; e^iπ/3 = cos π/3 + i sin π/3 = 1 3 2+i 2 … Définition.

Pour tout complexe z, non nul, de module r et d’argument α, z = r e^iα est l’écriture exponentielle de z.

Remarque.

Cela vient évidemment de la forme trigonométrique d’un complexe : rappelons que tout complexe z s’écrit sous la forme ^z=r

(

^{cos( )θ +isin( )θ}

)

où on note cos( )θ +isin( )θ =e^iθ.

Exercice VI-1.

Soit z = 1 + i. Donner l’écriture exponentielle de z.

Donner la forme algébrique de 2 e^iπ/6.

Cohérence et efficacité de cette notation

L’avantage de cette notation est que, connaissant déjà beaucoup de propriétés de la fonction exponentielle, nous allons pouvoir « en oublier » la plupart de celles des arguments.

En effet, la propriété suivante nous permettra d’en retrouver la grande majorité, voire de les utiliser sans s’en rendre compte !

Propriété VI-2.

∀z∈C*, si z =

e

^iα alors

z = re

^−iα

− = z re

^{i(α π+ )}

e

^iα

× e

^iβ

= e

^{i(α β+ )} : l’exponentielle complexe réagit comme l’exponentielle réelle sur le produit.

( )

i i i

e e

e

α α β

β

=

− : l’exponentielle complexe réagit comme l’exponentielle réelle sur le quotient.

( e

^iα

)

ⁿ

= e

^inα pour tout entier n [formule de Moivre] : idem que l’exponentielle réelle…

Propriété VI-3.

1. Donner l’écriture algébrique de (1 − i)⁸ = [ 2 e^i(−π/4)]⁸ = 16 e^i(−2π) = 16.

2. Donner l’écriture exponentielle puis algébrique de

5 12

( 3 ) (1 )

i i + +

^.

3. Donner l’écriture exponentielle de z = 1 – i ;

z

; - z .

Présentons maintenant deux formules célèbres qui seront utiles dans l’avenir… des prépas surtout.

Formules d’Euler :

Par définition, (1) : cos θ + i sin θ =

e

^iθ

donc (2) : cos θ − i sin θ =

e

^−iθ en passant au conjugué

(1) + (2) donne : cos θ =

2

i i

e

^θ

+ e

^−θ

puis (1) – (2) : sin θ =

2

i i

e e

i

θ

−

−θ

Pour ceux qui ne connaissent pas leurs formules de trigo, on en déduit par exemple que :

( )

^{( ) ( )}

( )

cos cos

2 2 2

i i i i i i i i

e

^{θ π}

e

^{θ π}

e e

^{π θ}

e e

^{π θ}

e

^θ

e

^θ

θ π + =

⁺

⁺

^{− +}

= ⁺

⁻

= − ⁺

⁻

= − θ

donc mieux vaut connaître ses formules de trigo -)).

VII. Transformations

Avant d’étudier les transformations géométriques classiques, introduisons une nouvelle notion.

Propriété VII-1 - Equation paramétrique d’un cercle :

(C) est le cercle de centre Ω d’affixe ω et de rayon r. M est un point d’affixe z.

Alors M ∈ (C) ⇔ ∃ α ∈ ]−π ;π] tel que z = ω + r e^iα : on dit que z = ω + r e^iα est l’équation paramétrique de (C).

1. Ecriture complexe d’une translation de vecteur u^→→→→ d’affixe b.

Par définition d’une translation, M



^t

→

M’ ⇔ MM'^→ = u^→

En terme d’affixe, on obtient donc MM'^→→→→ = u^→→→→ ⇔⇔⇔⇔ z’ −−−− z = b ⇔ z’ = z + b.

Exemple.

Soit u^→(1 − 2i) et A(1 + i). Si A’ = t(A) alors a’ = 1 + i + 1 − 2i = 2 − i.

2. Ecriture complexe d’une homothétie de centre ΩΩΩ d’affixe ωΩ ωωω et de rapport réel k (≠≠≠≠ 0) Par définition d’une homothétie, M

→

^h M’ ⇔ ΩM'^→ = k ΩM^→

En terme d’affixe, on obtient donc ΩΩΩΩM'^→→→→ = k ΩΩΩΩM^→→→→ ⇔⇔⇔⇔ z’ −−−− ωωωω = k(z −−−− ωωωω) ⇔ z’ = ω + k(z − ω) 2. Ecriture complexe d’une rotation de centre ΩΩΩ d’affixe ωΩ ωωω et d’angle αααα.

Par définition d’une rotation, M



^r

→

M’ ⇔



ΩM' = ΩM

( Ω^→M;Ω^→M') = α + 2kπ ⇔

 



|z'- ω| = |z - ω|

arg(z' - ω

z - ω) = α

⇔

  

|z'- ω|/|z - ω| = 1 arg(z' - ω

z - ω) = α ⇔ z' - ω z - ω = e^iα Or si M ≠ Ω alors Ω ≠ M’, sinon M = Ω = M’ et z’ = ω

Ainsi, M’ = R(M) ⇔⇔⇔ z’ −−−− ω⇔ ωωω = (z −−−− ωωωω)e^iαααα.

Cas particuliers.

Lorsque Ω = O, la rotation s’écrit z’ = ze^iα.

Lorsque α = π/2, la rotation s’écrit z’ − ω = i(z − ω) (quart de tour direct).

Lorsque α = −π/2, la rotation s’écrit z’ − ω = −i(z − ω) (quart de tour indirect).

→ Voir les ds des années précédentes ou les sujets corrigés de Bac du site pour les nombreux exercices illustrant des écritures complexes.

DS corrigés : http://mathemitec.free.fr/archives/Ts-ds.php

Bac corrigé : http://mathemitec.free.fr/bac/ts/bac-sujet-corrige.php

Corrigé des exos et Démo.

I. Forme algébrique d’un complexe. Représentation graphique.

Corrigé I-1.

On a Re( )z₁ =3 et Im( )z₁ =1 ; Re(z₂)= −4 et Im(z₂)=0 et ₃ 3 Re( )

z =2 et ₃ 1

Im( )

z = −4. Démonstration I-2.

Soit z et z’ deux complexes : on a z = x + iy et z’ = x’ + iy’ leurs formes algébriques.

z = z’ ⇔ + = +x iy x' iy' : la forme algébrique d’un complexe étant unique (voir le premier théorème), on a x = x’ et y = y’ d’où le résultat.

Correction I-3.

Il faut raisonner comme dans ℝ et isoler l’inconnue z.

1. 3z + 2 – i =0 2 3

z=− +i 2. 3 8

5 3 5 5 8 5

5

i i

i z i i z z

z i = ⇔ = − ⇔ = ⇔ =

−

3.

( )( )

2 3

3 2 3 0 3

3 2 3 3 0

3 0 3

z i

z i

z i iz ou ou

iz z

i

= −

− + =

− + − = ⇔ ⇔

− = =

4. ^{z2+ =4 z2−}

( ) (

^{2i 2= −z 2i}

)(

^z+2i

)

donc z²+4 = 0 lorsque z = -2i ou z = 2i.

Corrigé I-4.

1

1 1 1 1

1 1 2

i i

z i i

+ +

= × =

− + 2

1 1 2 4 2 4 1 2

2 4 2 4 20 10

i i i

z i i

− − − − +

= × = = −

− + − −

3

2 2 2 2

1 1 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

4 4

2 2 2 2

i i

z i

i i

− −

= × = = −

+ − +

4

1 1

²

i i

z i i

= = − = −

− .

Suivant la même méthode : ₅ 3 1 2 4

1 1 2 1 2

i i i

z i

i i

+ + +

= × = = +

− + et ₆ 3 2 1 6 3

2 1 2 1 5

i i i

z i i

− − −

= × =

− − − .

Démonstration I-5.

(1) Si ^{A z}

( )

^{A et B z}

( )

^B alors en coordonnées cartésiennes, on a ^A

A

A x y

 

 

  et ^B

B

B x y

 

 

  : nous savons alors

que ^{B A}

B A

x x

AB y y

−

 

 

 − 

. L’affixe de AB

est alors par définition zAB=⁽xB−xA⁾+i y

(

B−yA

)

=zB−zA.

(2) De même, si ^u

u

x u y

 

 

 

 

et ^v

v

x v y

 

 

 

 

alors nous savons qu’en coordonnées cartésiennes on a

u v

u v

x x

u v

y y

+

 

+  + 

donc par définition de l’affixe, zu v₊ =

(

xu+xv

) (

+i yu+yv

)

= +zu zv. (3) Si ^u

u

x u y

 

 

 

 

alors pour tout réel k on a ^u

u

kx ku ky

 

 

 

 

donc zk u =

( ) ( ) (

kxu +i kyu =k xu+iyu

)

=kzu.

(4) Soit A z

( )

A et B z

( )

B . Si G est le barycentre de (A,a)(B,b) avec a et b réels (et a+b non nul), alors par définition du barycentre aGA bGB+ =0

donc a z

(

A−zG

) (

+b zB−zG

)

=⁰ soit _G az^A bz^B

z a b

= +

+ . Corrigé I-6.

1. On a _{B A} 5 2

zAB =z −z = + i et 6

3 5

C A

zAC =z −z = + i. 2. On en déduit que 3

AC 5 AB

z= z et donc 3 AC=5AB

: ces deux vecteurs étant colinéaires, avec le point A en commun, les points A, B et c sont alignés.

Corrigé I-7.

1. Soit

z

_A

= − 1 2 i

. On a donc

z

_B

= iz

_A

= + 2 i

et il semble que le triangle OAB soit rectangle en O.

En coordonnées cartésiennes, 1 OA 2

 

−

 

, 2 OB 1

  

et 1 AB 3

  

donc OA² = 5, OB² = 5 et AB² = 10.

Comme OA²+OB² = AB², d’après la réciproque du théorème de Pythagore, OAB est bien rectangle en O.

2. Soit z un nombre complexe quelconque d’affixe z = x + iy. On a donc z’ = iz = -y + ix, d’où en coordonnées cartésiennes x

OM y

  

 

, ' y

OM x

−

 

 

 

et _MM'

(

^{x y}

)

x y

− + 

 

−

 

. Ainsi OM²+OM’² = 2x²+2y² et MM’² = (x+y)² + (y-x)² = 2x²+2y².

Le triangle OMM’ est donc rectangle en O.

3. La transformation du plan complexe qui à M(z) associe M’(iz) est donc la rotation de centre O et d’angle

2 π _.

II. Conjugué d’un nombre complexe.

Démonstration II-1.

(1) Si z = x + iy par définition z= x – iy donc z= x + iy = z.

(2) z=z ssi x-iy = x+iy ssi 2iy = 0 ssi y = 0 ssi z est réel.

(3) z= −z ssi x-iy = -x-iy ssi 2x = 0 ssi x = 0 ssi z est un imaginaire pur.

(4) évident

(5) ^{z z=}

(

^{x iy+}

)(

^{x iy−}

)

^=x2−

( )

^{iy 2 =x2+y2}

Démonstration II-2.

(1) ^{z+ =z'}

(

^x+x'

) (

^{+i y+y'}

)

^{donc z+ =z'}

(

^x+x'

) (

^{−i y+y'}

)

^{= −(x iy)+( 'x−iy')= +z z'.}

(2) ^zz'=

(

^{x iy+}

)(

^x'+iy'

) (

^{= xx'+yy'}

) (

^{+i xy'+yx'}

)

^{donc zz'=}

(

^xx'+yy'

) (

^{−i xy'+yx'}

)

^.

On vérifie alors que ^{z z× ='}

(

^{x iy−}

)(

^x'−iy'

)

^{= =... zz'.}

(3) Démontrons la propriété par récurrence. Soit P(n) la proposition « ^zn=

( )

^{z n ».}

P(1) est vraie puisque z¹=z.

Supposons P(n) vraie au rang n : comme zⁿ⁺¹= ×z zⁿ, d’après la propriété 2, zⁿ⁺¹ = ×z zⁿ = ×z zⁿ. Alors par hypothèse de récurrence, ^{zn+1= ×z zn = ×z}

( ) ( )

^{z n = z n+1.}

Le résultat est donc vrai pour tout n.

(5) Nous savons que '

' ' '

z z z

z z z

= ×

× : comme z'×z' est un réel, ' '

z z z

z

 = ×

 

 

  z' ' '

z z = z

× et comme Z =Z, on a bien

' '

z z

z z

 

= 

 . Corrigé II-3.

Posons z = x + iy : il vient ^{f z( )=}

(

^{(1+ +x) iy}

)(

^{x+ −i(1 y)}

)

^=[x

(

^{1+ −x}

) (

^{y 1−y}

)

^{]+i[ 1}

(

^+x

)(

^{1− +y}

)

^yx].

1. On a ^{f z( )∈ ⇔ℝ Im}

(

^{f z( )}

)

^{= ⇔ +0}

(

^{1 x}

)(

^{1− +y}

)

^{yx= ⇔ = +0 y x 1.}

L’ensemble des points M d’affixe z tels que f(z) soit réel est donc la droite D d’équation cartésienne y=x+1.

2. On a ^{f z( )∈iℝ⇔Re}

(

^{f z( )}

)

^{= ⇔0 x}

(

^{1+ −x}

) (

^{y 1−y}

)

^{= ⇔0 x2+ +x y2− =y 0.}

Or

2 2

2 2 1 1 1

0 2 2 4

x x y y x  y 

+ + − = ⇔ +  + −  =

    donc l’ensemble des points M d’affixe z tels que f(z) soit réel est un cercle de centre 1 1

2 2i

 

Ω − 

  et de rayon 2 2 . Corrigé II-4.

( ) ( )

2 2

1 1 1 ; ;1

z z z x y M x y C O

= ⇔z = ⇔ + = ⇔ ∈

III. Racines d’un trinôme Corrigé III-1.

Soit P z( )=z³−2z²− +3z 10 où z est un nombre complexe.

1. P(-2) = - 8 - 8 + 6 + 10 = 0 donc -2 est racine de P et donc P se factorise par (z+2) : comme P est de degré 3, il existe un polynôme Q de degré 2 tel que pour tout z, ^{P z( )= +(z 2)}

(

^{az2+ +bz c}

)

^.

On a ^{P z( )= +(z 2)}

(

^{az2+ + =bz c}

)

^z3

( )

^{a +z2}

(

^{2a+ +b}

) (

^{z c+2b}

)

^+2c.

Par identification avec l’expression initiale de P, on trouve : a = 1, b = -4 et c = 5.

Ainsi, ^{P z( )= +(z 2)}

(

^z2−4z+5

)

^.

2. Factoriser le polynôme Q dans ℂ : Q est un trinôme à coefficients réels et on a

( )

²

16 20 4 2i

∆ = − = − = < 0

Par conséquent, Q admet deux racines complexes conjuguées ₁ 4 2 2 2

z = − i = −i et z₂ = = +z₁ 2 i. Ainsi ^{P z( )= +(z 2)}

(

^{z− −2 i}

)(

^{z− +2 i}

)

^.

Corrigé III-2.

Soit P un polynôme à coefficients réels, de degré n : P est donc de la forme

1

1 1 0

( ) _n ⁿ _n ⁿ ...

P z =a z +a₋z ⁻ + +a z+a où les coefficients a_i sont réels.

Soit z₀ une racine de P alors ^{P z}

( )

^{0 =0 cad P z( 0)}=^{a zn 0n}+^an−^{1 0zn−1}+ +^{... a z1 0}+^a0 =⁰.

Par conséquent, en passant cette égalité au conjugué : a z_{n 0}ⁿ+a_{n−1 0}zⁿ⁻¹+ +... a z_{1 0}+a₀ = =0 0. Or le conjugué d’une somme est la somme des conjugués donc : a z_{n 0}ⁿ+ +... a z_{1 0}+a₀ =0.

Mais le conjugué d’un produit est le produit des conjugués donc : a z_{n 0}ⁿ+ +... a z_{1 0}+a₀ =0 ; idem pour la puissance d’où : ^an

( )

^{z0 n+ +... a z1 0+a0 =0.}

Comme les coefficients a_i sont réels, on a a_i =a_i pour tout i et on a ^an

( )

^{z0 n+ +... a z1 0+a0 =0 cad}

( )

^{0 0}

P z = .

Ainsi, z₀ est aussi racine de P si z₀ est une racine de P.

Corrigé III-2.

1. Soit z = x + iy, x et y réels, la forme algébrique de z.

Alors on a P(z) = (x²-y²) + i(2xy+1).

2. Par conséquent, P(z) = 0 ssi ^{² ² 0}

( )( )

⁰

2 1 0 2 1

x y x y

x y

xy xy

 − + =

− =

 

⇔

 

+ =  = −

  : mais x et y sont des réels par

définition donc si x = y alors 2x² = -1 ce qui est impossible sur ℝ.

Ainsi ( ) 0 2

2 ² 1

2

y x

y x

P z x x

= −

= − 

 

= ⇔ ⇔

− = − = ±

 



: P a donc deux racines, ₁ 2 2

2 2

z = −i et ₂ 2 2

2 2

z = − +i (qui ne sont pas conjuguées).

→ Lorsque la forme exponentielle d’un nombre complexe aura été introduite, une méthode plus efficace et plus générale sera mise en place…

V. Forme trigonométrique d’un complexe Corrigé V-1.

1. M(1 ; −1) : r = x²+y²= 2, cos θ = 1/ 2 et sin θ = −1/ 2 donc θ ≡ −π/4 [2π].

N(1+i 3) donc en cartésien ^N

( )

^{1; 3 : r= 1 3+ =2, cos}

^{( )}

^{θ =1}₂^{, sin}

^{( )}

^{θ =} ₂^{3 donc θ≡π}₃

^{[ ]}

^{2π .}

K(- 3+i) donc en cartésien ^K

(

^{− 3;1}

)

^{: r= 3 1+ =2, cos}

^{( )}

^{θ = −} ₂^{3, sin}

^{( )}

^{θ =1}₂ ^{donc θ π≡ − ≡π}₆ ⁵₆^π

^{[ ]}

^{2π .}

2. L(3 ; −π/3) : donc x= 3cos(−π/3) = 3/2 et y = 3sin(−π/3) = 3 3/2.

P(1 ; −π/2) : donc x= 1cos(−π/2) = 0 et y = 1sin(−π/2) = -1.

Corrigé V-2.

1. On a z1 =

( )

−2 ²+2² = 8=2 2 : de plus, 2 1 2

cos 2 2 2 2

x

θ= =r ⁻ = − = − et 2

sin 2

y

θ= =r donc 3 [2 ]

4 4

π π θ π= − = π .

2. On a ^{z2 =}

( )

^{3 2+ −( 1)2 =2} : de plus, 3

cosθ = 2 ^et 1

sinθ = −2 ^donc [2 ] 6 θ= −π π ^.

3. On a z3 =

( )

−5 ² =5 : de plus, cosθ =0 ^et 5

sin 1

θ −= 5 = − ^donc [2 ] 2 θ= −π π ^.

4. On a z4 =

( )

−3² =3 : de plus, cosθ = −1 ^et sinθ =0 ^donc θ π π= ^{[2 ]}. 5. On a ^{z5 =}

( )

⁻³²⁺

( )

^{3 3 2 =6} : de plus, 1

cosθ = −2 ^et 3

sinθ = 2 ^donc 2 3 3 [2 ]

π π

θ π= − = π ^.

Corrigé V-3.

Soit z₁= −12 12i ^{: z1 =12 1}

( )

^{−i donc |z1| 12 1²= + −( 1)²=12 2 et cos 2}

θ = 2 ^et 2

sinθ = − 2 ^donc

4

θ = −π : la forme trigonométrique est donc ₂ 12 2 cos sin

4 4

z = ^ ^−π^+i ^−π ^^

   

 .

2 3 cos sin

12 12

z = ^ ^π ^−i ^π ^^

   

  : ce n’est pas une forme trigonométrique à cause du –i.

Mais comme cos(-x) = cos(x) et sin(-x) = -sin(x) donc ₂ 3 cos sin

12 12

z = ^ ^−π ^+i ^−π ^^

   

 .

3 2 cos sin

8 8

z = − ^ ^π^+i ^π^^

   

  : ce n’est pas une forme trigonométrique à cause du -2.

Mais ^cos

(

^{π + = −x}

)

^{cos( )x et sin}

(

^{π + = −x}

)

^{sin( )x donc}

3 2 cos sin 2 cos sin

8 8 8 8

z = ^− ^π ^−i ^π^^= ^ ^π+π^−i ^π+π^^

       

    est la forme trigonométrique.

4

3 3

6 cos sin

12 12

z = ^− ^ π ^+i ^ π^^

   

  : on doit ici changer cos(x) en –cos(x) sans changer le sinus.

il faut donc utiliser ^cos

(

^{π − = −x}

)

^{cos( )x et sin}

(

^{π − =x}

)

^{sin( )x d’où} 4

3 3

6 cos sin

12 12

z = ^ ^π− π^+i ^π− π ^^

   

 

est la forme trigonométrique.

On a ^z'=r

(

^cos

( )

^{θ −isin}

( )

^θ

)

avec r>0 : comme pour z₂, on a ^z'=r

(

^cos

( )

^{− +θ isin}

( )

^−θ

)

^{est la}

forme trigonométrique.