Cours Nombres Complexes

M

M..JAJACCQQUUIIEERR BTBTSS IRIRIISS

C C H H A A P P I I T T R R E E 1 1 : : L L E E S S N N O O M M B B R R E E S S C C O O M M P P L L E E X X E E S S

O

OBBJJEECCTTIIFF::

MeMettttrree enen œuœuvvrree etet ccoommpplléétteerr ddeess acacqquuiiss popouurr ffoouurnrniirr dedess ououttiillss ququii sosonntt uuttiilliissééss enen scsciieenncceess phphyyssiiqquueesseettenenméméccaanniiqquuee..

I

I.. DDÉFÉFIINNIITTIIOONN

1.1. FFORORMMEEALALGGÉÉBBRRIIQQUUEEDD’’UNUNNONOMMBBRREECCOOMMPPLLEEXXEE

z = a + ib aveca etbÎℝ et i²=-1 Re (z) =a (partie réelle) Im (z) =b (partie imaginaire)

2

2.. NNOMOMBBRREECCOOMMPPLLEEXXEECCOONNJJUUGGUUÉÉ

Le nombre complexe-z =a-ib est le conjugué de z = a + ib.

IIII..OOPÉPÉRRAATTIIOONNSSSUSURRLELESSNONOMMBBRREESSCOCOMMPPLLEEXXEESS 1.1. a + ib = a¢ + ib¢ Þ a =a’ et b =b’

2.2. a + ib =0 Þ a = 0 et b = 0

3.3. AADDDDIITTIIOONN: (a + ib): + (a¢ + ib¢) =(a + a¢)+ i(b + b¢)

4.4. SSOUOUSTSTRRAACCTTIIOONN: (a + ib): - (a¢ + ib¢) =(a- a¢)+ i(b- b¢)

5

5.. MMULULTTIIPPLLIICCAATTIIOONN:: (a + ib).(a¢ + ib¢)= (aa¢ - bb¢)+ i(ab¢ + a¢b)

6.6. DDIVIVIISSIIOONN::z

z' = a +ib

a' + ib' =(a + ib)(a'- ib')

a'² +b'² =(aa' +bb') +i(a'b-ab') a'² +b'²

7.7. OONNAA:: z z+ = +' z z' et z z. '=z z. '

z z+ = 2a z z- =2ib z z. = a² +b² = z² (½z½ : module de z)

IIIIII..FFOORRMMEETRTRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIIQQUUEEDD’’UNUNNONOMMBBRREECOCOMMPPLLEEXXEE 1

1.. DDÉFÉFIINNIITTIIOONN

z =r (cosq +i sinq) = [r ,q]

2.2. MMODODUULLEEETETARARGGUUMMEENNTT

· Module : |z | =r = a² +b² = -zz

· Argument : Arg(z) =q = Arc ra = r Arc b

cos sin (

q = ra

cos et

q = rb

sin )

Les signes dea etb permettent de déterminer dans quel quadrant se trouveq :

* a > 0 et b > 0Þq Î ]0 ;p/2[

* a < 0 et b > 0Þq Î ]p/2 ;p[

* a < 0 et b < 0Þq Î ]p ; 3p/2[

* a > 0 et b < 0Þq Î ]3p/2 ; 2p[

3.3. RREPEPRRÉÉSSEENNTTAATTIIOONNGÉGÉOOMMÉÉTTRRIIQQUUEEDD’’UUNNNNOOMMBBRREECOCOMMPPLLEEXXEE

A tout nombre complexez = a + ib est associé le point M (a, b) dans le plan (O ;Åi,Åj).

On dit que : M est l’imagedez,

ou le vecteurÄOM est levecteur imagedez, ou M a pouraffixe z.

y (Im(z))

b M

r

q

O a x (Re(z))

|z | =r = OM et q = mes (Ox ;ÄOM) (défini à 2kp près).

4.4. PPASASSSAAGGEEDEDELALAFFOORRMMEEALALGGÉÉBBRRIIQQUUEEÀÀLALAFOFORRMMEETRTRIIGGOONNOOMMÉÉTTRRIIQQUUEEEETTININVVEERRSSEEMMEENNTT

z = a + ib

a =rcosq r = a² +b²

b =r sinq q = Arc ra = r Arc b

cos sin

z =r(cosq + isinq)

IIVV..FFORORMMEEEXEXPPOONNEENNTTIIEELLLLEEDD’’UNUNNONOMMBBRREECOCOMMPPLLEEXXEE 1.1. DDÉFÉFIINNIITTIIOONN

On a : e^iq = cosq + isinq

D’où : z = a + ib = r(cosq + isinq) =r e^iq

2

2.. PPRORODDUUIITTETETQQUUOOTTIIEENNTTDEDEDEDEUUXXNONOMMBBRREESSCCOOMMPPLLEEXXEESS

Soit : z =r.e^iq et z¢ =r’.e^iq’

On a : · z.z' = (r.e^iq).(r’.e^iq’) = (r.r’). e^{i(q +q ')} = (r.r’).[cos (q +q’) + isin (q +q’)]

Þ|z.z¢| =½z½.½z'½ =r.r’

Arg(z.z¢) = argz+ argz' =q+q¢+2kp (kÎℤ)

· ^z

(

)

z e

e e i

i i

i

' ' '.

' cos ' sin '

'

( ')

= r = ^- = - + -

r

r r

r

r q q q q

q

q q q

Þ z z' = r'

r =½z½

½z'½ Arg z

z' æ èç ö

ø÷= argz – argz' =q - q¢ + 2kp (kÎℤ)

3.3. FFORORMMUULLEESSDEDEMMOIOIVVRREEEETTDD’E’EULULEERR

Pour tout complexez différent de 0, et tout entier relatifn, on a :

½zⁿ½ =½z½ⁿ et arg (zⁿ) =n argz.

De plus : e^iq = cosq + i.sinq

D’où : e^i(-q) = cos (-q)+ i.sin (-q) = cosq - i.sinq

Formules d’Euler: cosq=e^iq +e^-iq

2 et sinq=e^iq-e^-iq 2i Formule de Moivre:

(cosq + i.sinq)ⁿ = cosnq + i.sinnq

@

VV..ÉÉQQUUAATTIIOONNDDUUSESECCOONNDDDEDEGGRRÉÉÀÀCOCOEEFFFFIICCIIEENNTTSSRÉRÉEELLSS 1.1. ÉÉQUQUAATTIIOONN zz²²==aa aa>>00 ((aaÎÎℝℝ))

z₁= a et z₂ = - a

2

2.. ÉÉQUQUAATTIIOONN zz²²==aa aa<<00 ((aaÎÎℝℝ)) z₁=i a et z₂ = -i a

3

3.. ÉÉQUQUAATTIIOONN a.a.zz²²++bb..zz++cc==00 ((aa,,bbetetccÎÎℝℝ)) On a : D = b²-4ac

· Si D < 0, exemple :D =-4 = 4i² on a : D = 2i

a z b

1 2

D +

= - et

a z b

2 2

D -

= -

· Si D = 0 : z z b

1= 2 =-2a

· Si D > 0 :

a z b

1 2

D +

= - et

a z b

2 2

D -

= -

VVII..ÉÉQQUUAATTIIONONDDUUSESECCOONNDDDEDEGGRRÉÉÀÀCOCOEEFFFFIICCIIENENTTSSCOCOMMPPLLEEXXEESS

1.1. ÉÉQUQUAATTIIOONN zz²²==zz00 (z(z00ÎÎℂℂ)) On a :z0= a + ib

Déterminons :z = x + iy tel que z²= z0

Þ - + = +

+ = +

ìí ï îï

(x y ) ixy a ib

x y a b

2 2

2 2 2 2

2 Þ

x y a

xy b

x y a b

2 2

2 2 2 2

2

- =

=

+ = +

ì íïï îï ï Ce qui nous permet de déterminerx ety.

On vérifie que les images M1 et M2 dez1 etz2 sont symétriques par rapport à O.

2.2. ÉÉQUQUAATTIIOONN aa..zz²²++bb..zz++cc==00 (a(a,,b,b,etetccÎÎℂℂ)) On a : D = b²- 4ac

· SiD Îℝ :

SiD < 0, exemple :D =-4 = 4i² on a : D= 2i a

z b

1 2

D +

= - et

a z b

2 2

D -

= -

SiD = 0 : z z b

1 2 a

= = -2 SiD > 0 :

a z b

1 2

D +

= - et

a z b

2 2

D -

= -

· SiD Îℂ :

On détermined =x+iy tel qued² =D

On a : z b d

1 =- +2a

et z b d

2 = - -2a

@

VVIIII.. LLIGIGNNEESSDEDENINIVVEEAAUU

Soitz = x + iy, le nombre complexe admettant le point M(x,y) comme image.

1

1.. LLIGIGNNEESSDEDENNIIVVEEAAUUDEDESSFOFONNCCTTIIOONNSSRREE((zz))ETETIIMM((zz))

· Dans le repère orthonormal (O ; Åu, Åv), la ligne de niveau Dk de la fonction z ↦ Re(z) est l'ensemble des points dont l'affixe a une partie réelle constantek.

C'est la droite d'équation x =k .

Les lignes de niveau de la fonction z ↦ Re(z) sont donc les droites parallèles à l'axe des ordonnées.

· La ligne de niveauDk de la fonctionz↦ Im(z) est l'ensemble des points dont l'affixe a une partie imaginaire constantek ;

C'est la droite d'équation y =k .

Les lignes de niveau de la fonction z ↦ Im(z) sont donc les droites parallèles à l'axe des abscisses.

2.2. LLIGIGNNEESSDEDENNIIVVEEAAUUDEDESSFOFONNCCTTIIOONNSS|z|z--a|a|ETETARARGG(z(z--a)a) Sia est le nombre complexe admettant le point A pour image :

· La ligne de niveau Ck de la fonctionz ↦| z - a | est l'ensemble des points M d'affixez tels que

| z- a |=k = Cte (k > 0, réel), soit AM =k ;

Ck est le cercle de centre A de rayonk .

Les lignes de niveau de la fonctionz↦| z- a |sont donc les cercles concentriques de centre A.

· La ligne de niveau Dq de la fonctionz↦ arg (z - a) est l'ensemble des points M d'affixe z tels que arg (z- a) =q + 2kp (q constant,kÎℤ).

Donc l'angle (Åu,ÄAM) a pour mesureq.

Dq est la demi-droite d'origine A (A non compris) .

Les lignes de niveau de la fonctionz↦ arg (z- a) sont donc les demi-droites d'origine A (A non compris).

@

VVIIIIII..TTRARANNSSFFOORRMMAATTIIOONNSSGGÉOÉOMMÉÉTTRRIIQUQUEESS Soit f une application deℂ dansℂ :z↦f(z).

M étant l'image de z et M' l'image de z' = f (z), on définit dans le plan l'application géométrique T associée à f qui à M fait correspondre M'.

1

1.. TTRARANNSSLLAATTIIOONNDEDEVEVECCTTEEUURRWWÅÅ

T(W)Å :M↦M’ WÅ

Tel que : MM' =Ä W M’Å On a : OM' =Ä ÄOM +MM'Ä

D’où : z’= z + zw M

O

Ex : Si z' = z + 2 – i, la transformation T associée à z ↦ z + 2 – i est la translation de vecteur (2 ; –1)

2.2. TTRARANNSSFFOORRMMAATTIIOONNDÉDÉFFIINNIIEEPAPARRz'z'==--zz

Le point M' (-z ) est le symétrique de M (z) par rapport à l'axe Ox.

La transformation géométrique T associée àz↦-z est lasymétrie orthogonalepar rapport à Ox.

3

3.. HHOMOMOOTTHHÉÉTTIIEE

a

a)) HHOMOMOOTTHHÉÉTTIIEEDEDECECENNTTRREEOOETETDEDERARAPPPPOORRTTkk(k(kÎÎR*R*))::

H(O , k) : M↦M’ M’

Tel que : OM' =Ä k.ÄOM M D’où : z’= k.z

O

b)b)HHOMOMOOTTHHÉÉTTIIEEDEDECECENNTTRREEAAETETDDEERARAPPPPOORRTTkk(k(kÎÎR*R*))::

H(A , k) : M↦M’

Tel que : AM' =Ä k.ÄAM M' On a : OM' =Ä ÄOA +AM' MÄ

=ÄOA +k.ÄAM

=ÄOA +k.(ÄOM-ÄOA) A D’où : z’ = zA + k.(z- zA) ^O

4.4. RROTOTAATTIIOONN

a)a) RROTOTAATTIIOONNDDEECCEENNTTRREEOOETETDD’’ANANGGLLEEqq::

R(O ,q) : M↦M’

Tel que :

îïí

ïìOM = OM'

ang (ÄOM ,OM') =Ä q M' On a : z = OM.e^ij

D’où : z’= OM.e^i(j+q) =OM.e^ij.e^iq q

Soit : z’=z. e^iq M O

b)b)RROTOTAATTIIOONNDDEECCEENNTTRREEAAETETDD’’ANANGGLLEEqq::

R(A ,q) : M↦M’ M' Tel que :

îïí

ïìAM = AM'

ang (ÄAM ,AM') =Ä q

On a : OM' =Ä ÄOA +ÄAM' q

D’où : z’= zA + (z- zA).e^iq A M

O

5.5. SSIMIMIILLIITTUUDDEEDEDECECENNTTRREEA,A,DDEERRAAPPPPOORRTTkkEETTDD’’AANNGGLLEEqq

S(A , k ,q) : c’est la composée d’une homothétie H(A , k) et d’une rotation R(A ,q).

(L’ordre étant indifférent).

M¾^{H A k}¾¾^{( , )}®M₁¾^{R A}¾¾^{( , )q} ®M' (1)

M¾^{R A}¾¾^{( , )q} ®M₂¾^{H A k}¾¾^{( , )}®M' (2) M’

(1) : z1 = zA + k. (z- zA) q

z’ = zA+ (z1- zA).e^iq M1

z’ = zA+ k.(z - zA).e^iq A M

(2) : z2 = zA+ (z- zA) .e^iq z’ = zA+ k.(z2- zA)

z’ = zA+ k.(z - zA).e^iq

6

6.. IINVNVERERSSIIOONN

a)a) IINVNVEERRSSIIOONNDEDEPPÔÔLLEEOOEETTDEDEPUPUIISSSSAANNCCEEkk::

I(O , k) : M↦M’

Tel que : O M M

OM OM k

, , '

. '

aligné s

= ìí

î

M’

· k > 0 : M z =r.e^iq -z =r.e^-iq z’ =r’.e^iq

avecrr’ =kÞ r '= rk

O D’où : z’ =k

r.e^iq = k e ⁱ r. ^-q z’=k

z

· k < 0 :

z =r.e^iq -z=r.e^-iq z’ =r’.e^i(q+p) avecrr’ =-kÞ r

'= -kr D’où :z’ = -k

r . e ^i(q+p)= ^-_r^{k. cos}

[ (

)

(

) ]

[

]

[

]

=k

r .e^iq = k e ⁱ

r. ^-q M’

z’=k z

b)b)IINVNVEERRSSIIOONNDEDEPPÔÔLLEEAAEETTDEDEPPUUIISSSSAANNCCEEkk::

I(A , k) : M↦M’

Tel que : A M M

AM AM k

, , ' . '

aligné s

= ìí

î

M On a : z’ = zA + k

z – zA

= zA + k z – zA

A

M’

c)c) IINVNVEERRSSIIOONNCCOMOMPPLLEEXXEE::

La transformation définie par z' =1

z est appelée inversion complexe.

Si M' est l'image de M, on a :

½z'½ = 1

½z½ donc OM . OM' = 1

et argz' = – argz + 2kp soit (Ox ;OM') = – (Ox ;Ä ÄOM) + 2kp Les demi-droites [OM) et [OM') sont symétriques par rapport à Ox.

@

Droite D Cercle de centre C et de rayon R

Tr ra an ns sl la at ti io on n T(

(

)

La droite est transformée en une droite parallèle sur laquelle la circulation s’effectue dans le

même sens.

Le cercle est transformé en un cercle sur lequel la circulation s’effectue dans le même sens.

On a :

et R’ = R

Ho

om mo ot th hé ét ti ie e

H( (A A ,

r)

)

La droite est transformée en une droite parallèle sur laquelle la circulation s’effectue dans le même sens si r > 0 et dans le sens contraire si

r < 0.

Le cercle est transformé en un cercle sur lequel la circulation s’effectue dans le même sens.

On a :

et R’ =

.R

R

Ro ot ta at ti io on n

R( (A A ,

q q )

La droite est transformée en une droite.

Le cercle est transformé en un cercle sur lequel la circulation s’effectue dans le même sens.

On a : ( AC ,

AC') =

q et R’ = R

Si im mi il li it tu ud de e

S

S( (A A

, r

, q q )

La droite est transformée en une droite. Le cercle est transformé en un cercle.

I

In nv ve er rs si io on n

I( (A A ,

k)

) La droite est transformée en un cercle. Le cercle est transformé en une droite.