NOMBRES COMPLEXES (Partie 3) Tout le cours en vidéo :

NOMBRES COMPLEXES (Partie 3)

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/ABo2m52oEYw

I. Formules de trigonométrie

1) Formules d'addition

Propriété : Soit a et b deux nombres réels quelconques. On a : (a−b)=cosacosb+¿sinasinb

cos¿

(a+b)=cosacosb−¿sinasinb cos¿

(a−b)=sinacosb−¿cosasinb sin¿

(a+b)=sinacosb+¿cosasinb sin¿

Démonstrations aux programmes : - 1^ère formule :

On considère un repère orthonormé (O ;i ,⃗ ⃗j) du plan et le cercle

trigonométrique de centre O.

⃗u et ⃗v sont deux vecteurs de norme 1 tels que : (i;^⃗ u⃗)=a et (i;^⃗ ⃗v)=b .

On a alors : ⃗u

(

)

(

)

Ainsi : ⃗u .⃗v=cosacosb+sinasinb . On a également :

⃗u .⃗v=‖⃗u‖×‖⃗v‖×cos(⃗u ;⃗v)

¿1×1×cos(b−a)=cos(a−b)

D'où : cos(a−b)=cosacosb+sinasinb . - 2^e formule :

cos(a+b)=cos(a−(−b))=cosacos(−b)+sinasin(−b)=cosacosb−sinasinb .

- 3^e formule :

sin(a−b)=cos

(

)

¿cos

( ⁽

⁾

)

¿cos

(

)

(

)

sinacosb−¿cosasinb

¿ ¿

- 4^e formule :

sinacosb+¿cosasinb sinacos(−b)−¿cosasin(−b)=¿

sin(a+b)=sin(^a−(−b))^=¿

Méthode : Calculer des valeurs de cos et sin à l'aide des formules d'addition Vidéo https://youtu.be/WcTWAazcXds

Calculer : cos5π

12 et sin5π 12

cos5π

12=cos

(

6

)

(

)

¿cosπ 4cosπ

6−sinπ 4sinπ

6=sinπ 4cosπ

6+cosπ 4sin π

6

¿

√

2 ×

√

2 −

√

2 ×1 2=

√

2 ×

√

2 +

√

2 ×1 2

¿

√

√

4 =

√

√

4

2) Formules de duplication

Propriété : Soit a un nombre réel quelconque. On a : cos(2a)=cos²a−sin²a=2 cos²a−1=1−2 sin²a

sin(2a)=2 cosasina Démonstrations :

Cas particulier des 2^e et 4^e formules d'addition dans le cas où a=b : cos(2a)=cos²a−sin²a

sin(2a)=2 cosasina

On a également : cos²a+sin²a=1 donc : cos²a−sin²a=cos²a−

(

)

cos²a−sin²a=1−sin²a−sin²a=1−2sin²a

Méthode : Calculer des valeurs de cos et sin à l'aide des formules de duplication Vidéo https://youtu.be/RPtAUl3oLco

Calculer cosπ

8 et sinπ 8

cosπ

4=cos

(

)

cos²π 8=1

2

(

)

(

^√

)

^√

cosπ

8=

√

^√

car cosπ

8 est positif.

sin²π

8=1−cos²π

8=1−2+

√

4 =2−

√

sinπ

8=

√

^√

car sinπ

8 est positif.

Méthode : Résoudre une équation trigonométrique Vidéo https://youtu.be/yx3yULqR_wI

Résoudre dans [0;2π] l'équation cos(2x)=sinx .

cos(2x)=sinx soit 1−2 sin²x=sinx d’après une formule de duplication.

On pose X=sinx , l'équation s'écrit alors : _1−2X²=X Soit : 2X²+X−1=0

Δ=1²−4×2×(−1)=9

L'équation du second degré possède deux solutions distinctes : X₁=−1+3

4 =1

2et X₁=−1−3

4 =−1

Résolvons alors dans [0;2π] les équations : sinx=1

2 et sinx=−1 : sinx=1

2⟺x=π

6 ou x=5π 6 sinx=−1⟺x=3π

2 Ainsi :

S=

{

2

}

II. Forme exponentielle d’un nombre complexe

1) Définition

Posons f (θ)=cosθ+isinθ .

En prenant |z|=|z '|=1 , on a démontré dans la Partie 3 (III.) que : (cosθ+isinθ) (cosθ '+isinθ')=cos(θ+θ ')+isin(θ+θ ')

Soit : f (θ)f(θ ')=f(θ+θ ') .

On retrouve ainsi la même équation fonctionnelle que celle établie pour les exponentielles : e^θe^θ'=e^θ+θ' .

Définition : Pour tout réel θ , on a : e^iθ=cosθ+isinθ .

Remarque :

e^iθ est le nombre complexe de module 1 et d'argument θ . Propriété : _e^iπ₌₋₁

Démonstration :

e^iπ=cosπ+isinπ=−1+i×0=−1

Cette relation a été établie en 1748 par le mathématicien suisse Leonhard Euler (1707 ; 1783). Elle possède la particularité de relier les grandes branches des mathématiques : l'analyse (avec le nombre e), l'algèbre (avec le nombre i) et la géométrie (avec le nombre π ).

Exemples :

eⁱ⁰=cos 0+isin 0=1+i×0=1 e^{i π2}=cosπ

2+isinπ

2=0+i ×1=i

Définition : Tout nombre complexe z non nul de module r et d'argument θ s'écrit sous sa forme exponentielle z=r e^iθ .

Méthode : Passer de la forme algébrique à la forme exponentielle et réciproquement Vidéo https://youtu.be/WSW6DIbCS_0

Vidéo https://youtu.be/tEKJVKKQazA

Vidéo https://youtu.be/zdxRt5poJp0

1) Écrire les nombres complexes suivants sous la forme exponentielle :

2) Écrire les nombres complexes suivants sous la forme algébrique : a) _z

4=e^{i π6} b) _z

5=4e^{i π4}

1) a) -

|

|

- Pour déterminer un argument de z₁ , on peut utiliser le cercle trigonométrique.

On fait un petit schéma à main levée en plaçant le point M d’affixe ^z1 et on lit graphiquement qu’un argument de ^z1 est −π

2

.

Ainsi, on a : z₁=2e^{−i π2} .

b) -

|

|

- On place le point M d’affixe ^z2 et on lit graphiquement qu’un argument de z₂ est π

.

Ainsi, on a : z₂=3e^iπ .

c)

|

|

^| √

|

√ ^√

^√

^√

^√

- Il n’est pas évident de déterminer graphiquement un argument de ^z3 . La méthode consiste alors à calculer z₃

|

|

z₃

|

|

√

2

√

√

2

√

3i 2

√

1

2− 3i ×

√

2

√

√

1

2−3i×

√

2×3 =1 2−

√

2 i On cherche donc un argument θ de z₃ tel que :

cosθ=1

2etsinθ=−

√

2 Comme, on a :

cos

(

)

(

)

^√

3 convient. Et ainsi :

z₃

|

|

(

)

(

)

Soit :

z₃=

|

| (

⁽

⁾

⁽

⁾ )

^√

(

⁽

⁾

⁽

⁾ )

^√

2¿a¿z₄=e^{i π6}=cos

(

)

(

)

^√

b¿z₅=4e^{i π4}=4

(

⁽

⁾

⁽

⁾ )

^{( √}

^√

⁾

^√

^√

2) Propriétés

Propriétés : Pour tous réels q _et q'_, a) e^iθe^{i θ'}=e^i(θ+θ') b) 1

e^{iθ ¿e}

−iθ c) e^iθ

e^{i θ'} ¿e^i(θ−θ') d) e´^iθ=e^−iθ

Méthode : Appliquer la notation exponentielle Vidéo https://youtu.be/8EVfyqyVBKc

1) Déterminer la forme exponentielle de z=1+i

√

2) En déduire la forme exponentielle des nombres suivants : a) iz b) i´z c) −2i

z

1) z=1+i

√

(

√

2

)

2) a) iz=2i e^{i π3}=2e^{i π2}e^{i π3}=2eⁱ

(

)

=2eⁱ

5π 6

b) i´z=2i e^{−i π3}=2e^{i π2}e^{−i π3}=2eⁱ

(

)

=2e^{i π6}

c) −2i

z =2×(−i) 2e^{i π3}

=e^{−i π2} e^{i π3}

=eⁱ

(

)

= e⁻ⁱ

5π 6

3) Formules de Moivre et d’Euler

Formule de Moivre : Pour tous réels q _et q', pour tout entier naturel ⁿ non nul :

(

)

Que l’on peut également écrire : (cosθ+isinθ)ⁿ=cos(nθ)+isin(nθ)

Méthode : Appliquer la formule de Moivre

Exprimer cos(3x) en fonction de cosx .

cos(3x)=ℜ(^{cos(3x)+isin(3x})) Or, selon la formule de Moivre :

cos(3x)+isin(3x)=(cosx+isinx)³

¿cos³x+3icos²xsinx+3i²cosxsin²x+i³sin³x , en appliquant la formule du binôme de Newton pour développer.

Soit :

(3x)=¿cos³x+3icos²xsinx−3 cosxsin²x−isin³x cos(3x)+isin¿

¿cos³x−3 cosxsin²x+i

(

)

On en déduit que : (3x)=¿cos³x−3 cosxsin²x cos¿

Or, sin²x=1−cos²x , donc : (3x)=¿cos³x−3 cosx

(

)

cos¿

¿cos³x−3 cosx+3 cos³x

¿4 cos³x−3 cosx

Formules d’Euler : Pour tous réels q _et q' _: cosθ=e^iθ+e^−iθ

2 sinθ=e^iθ−e^−iθ 2i

Méthode : Appliquer les formules d’Euler Vidéo https://youtu.be/p6TncUjPKfQ

1) Linéariser (*) l’expression cos³x .

2) En déduire une primitive de la fonction x⟼cos³x .

(*) Linéariser une telle expression consiste à la ramener comme somme d’expressions du type cosax et sinax .

1) On applique une formule d’Euler : cos³x=

(

)

¿1

8

( (

)

(

)

(

)

(

)

)

en appliquant la formule du binôme de Newton pour développer.

Soit encore : cos³x=1

8

(

)

¿1

8

(

)

¿1

8(cos 3x+isin 3x+3 cosx+3isinx+3 cosx−3isinx+cos 3x−isin 3x)

¿1

8(cos 3x+3 cosx+3 cosx+cos 3x)

¿1

8(2 cos 3x+6 cosx)

¿1

4(cos 3x+3 cosx)

2) Ainsi, chercher une primitive de _cos³_x revient à chercher une primitive de 1

4(cos 3x+3 cosx) .

Une primitive de la fonction x⟼1

4(cos 3x+3 cosx) est la fonction : x⟼1

4

(

)

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