Nombres copmlexes TP-AVEC CORRECTION -terminale PH

Tp NOMBRES COMPLEXES TERMINALES STI-STL 2009-2010 Exercice 1

Le plan complexe P est muni d’un repère orthonormal ( ; ; )O u v 

direct d’unité graphique 1 cm.

On désigne par i le nombre complexe de module 1, d’argument / 2 .

1. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation : z²6z12 0 ^. 2. Dans le plan complexe P , on considère les points A et B d’affixes respectives/

z_A  3 i 3 ; z_B  3 i 3 et z_M 2

a. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes z_A et z_B. b. Ecrire z_A et z_Bsous forme exponentielle

c. Montrer que les points A, B et O sont sur un cercle de centre M dont on précisera le rayon d. Placer les points A et B dans le repère ( ; ; )O u v 

.

3. On considère le point C, image du point O par la translation de vecteur AB . a. Placer le point C dans le repère ( ; ; )O u v 

.

b. Déterminer la forme algébrique de l’affixe z_C du point C.

c. Démontrer queOB OC . Donner, en le justifiant, la nature du triangle OAB.

d. En déduire la nature du quadrilatère OABC.

4. On considère le point D, image du point A par la rotation de centre O et d’angle



/ 3. a. Placer le point D dans le repère ( ; ; )O u v 

.

b. Déterminer la forme algébrique de l’affixez_Ddu point D.

c. Démontrer que le quadrilatère ABCD est un trapèze ayant deux côtés opposés de même longueur.

d. Montrer que les points A, C et M d’une part et B,M et D d’autre part sont alignés.

Exercice 2

Le plan complexe est muni du repère orthonormal ( ; ; )O u v 

d’unité graphique 2 cm.

1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation d’inconnue z : z²2z 2 0^. 2. Soient A et C deux points du plan complexe, d’affixes respectives :

z_A   1 i et ^{zC }



^{3 / 2 1/ 2}

 

^{ 3 / 2 1/ 2}



^i.

Déterminer le module de z_A et le module de z_C.puis donner un argument de z_A. 3. a. On pose ^C

A

Z z

 z . Démontrer que ^{Z1/ 2}



^{3 / 2}



^i.

b. Démontrer que Z e ^{i/ 3}.

c. En déduire que le point C est l’image du point A par la rotation de centre O et d’angle 



/ 3..

4. Placer le point A puis construire le point C en utilisant le résultat de la question précédente.

Décrire la construction. Toute rédaction, même partielle, sera prise eu compte dans l’évaluation.

5. Soit B l’image du point O par la translation de vecteur CA

. Construire le point B et démontrer que OCAB est un losange.

Exercice 3

On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument π/2.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( ; ; )O u v 

.

L’unité graphique est 1 cm; on construira une figure que l’on complètera au fur et à mesure de l’exercice.

1. On note A, B et C les points d’affixes respectives : a2 2e^{i/ 4},b 5 3i et c 11 4i. a. Écrire le nombre complexe a sous forme algébrique.

b. Placer les points A, B et C sur la figure.

2. Démonter que le triangle ABC est isocèle.

3. Soit z un nombre complexe quelconque et M le point du plan d’affixe z.

a. Donner une interprétation géométrique des nombres | z −a| et | z − b |.

b. Déterminer l’ensemble  des points M du plan tels que l’on ait |z −a| = |z −b|. Tracer cet ensemble sur la figure, c. On note D le point d’affixe d = 6+i. Les points C et D appartiennent-ils à l’ensemble ?

4. Démontrer que le triangle ABD est rectangle.

5. On considère le point H tel que ADBH soit un carré. Déterminer l’affixe h de ce point H.

Exercice 4

1. Déterminer trois réels a, b et c tels que pour tout nombre complexe z on ait : z³ 8 (z2)(az²bz c )

En déduire la résolution dans  de l'équation z³8 2. Dans le plan muni d'un repère orthonormal ( ; ; )O u v 

(unité 2 cm), on considère les points A d'affixe z_A 2, B d'affixe z_B   1 i 3 et C d'affixe z_C   1 i 3.

a. Placer les points A, B et C

b. Déterminer la nature du triangle ABC. Justifier la réponse.

3. On considère la rotation R de centre O et d'angle /6 et on appelleA',B'et C'les images respectives de A^, B ^et C par R.

a. Déterminer les formes exponentielles de z_A, z_B, et z_C puis de z_A', z_B', et z_C'. b. Placer A'^,B'^et C'sur la figure précédente.

c. Vérifier que z_A', z_B', et z_C'sont solutions de l'équation z³ 8i Exercice 5

On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument π / 2.

1. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation : z²2 3z 4 0

On note z₁la solution dont la partie imaginaire est positive et z₂la solution dont la partie imaginaire est négative.

2. Déterminer le module et un argument de z₁ puis de z₂. 3. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal (O; , )u v 

(unité graphique : 2 cm).

On considère les points A, B et C d’affixes respectives : z_A2e^{5 / 6i} ; z_B 2e^{5 / 6i} . z_C 4e^{i/ 3} a. Écrire les nombres complexes z_A, z_B et z_C sous forme algébrique.

b. Placer les points A, B et C sur une figure. Quelle est la nature du triangle AOC?

Exercice 6

On note i le complexe de module 1 et d’argument π /2.

Le plan est rapporté au repère orthonormal ( ; ; )O u v 

,unité 1 cm).

1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes les équations suivantes (les solutions seront données sous forme algébrique) : (1) : z²10z50 0 (2) : z 2 i 3z6.

2. a. Soit A le point d’affixe z_A 5 5i.Déterminer le module, un argument et la notation exponentielle de z_A. b. Soit B le point d’affixe, z_B , z_Bétant le nombre complexe conjugué de z_A.

Déterminer la notation exponentielle de z_B, puis celle de ^B A

z z ^.

En déduire que B est l’image de A par une rotation de centre O dont on précisera l’angle.

Construire le triangle OAB dans le repère donné et indiquer sa nature.

3. Soit C le point d’affixe z_C   2 2 3i .

Montrer que l’image de C par la rotation de centre O et d’angle −π/2 est le point D, d’affixe z_D 2 3 2 i. Calculer la distance OC et construire avec précision le triangle OCD.

4. Soit K le milieu de [AC].

Calculer les affixes des vecteursOK _et

DB puis montrer que les droites (DB)et (OK) sont perpendiculaires.

Exercice 7

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal ( ; ; )O u v 

d'unité graphique 2 cm.

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument / 2

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes C l'équation z²2z 4 0^. 2. On considère les points A et B d'affixes respectives : z_A 1 i 3 et z_B  1 i 3.

a. Déterminer le module et un argument de z_A et z_B.Donner la forme exponentielle de z_A . b Placer les points A et B dans le plan muni du repère ( ; ; )O u v 

3. On désigne par R la transformation du plan complexe qui à tout point M d'affixe z fait correspondre le point M' d'affixe z' tel que :z'e^{2i/ 3}z

a. Indiquer la nature de la transformation R et préciser ses éléments caractéristiques.

b. On nomme C l'image du point A par la transformation R.

Déterminer la forme exponentielle de l'affixe z_Cdu point C. En déduire sa forme algébrique.

c. Placer le point C.

d. Montrer que le point B est l'image du point C par la transformation R. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier votre réponse.

Exercice 8

Le plan P est rapporté à un repère orthnormal ( ; ; )O u v 

, d'unité graphique 4 cm.

1. a. Résoudre dans l'ensemble Cdes nombres complexes l'équation : z²2 3z 4 0. b. On désigne par z₁et z₂les solutions , z₁étant celle dont la partie imaginaire est négative . Ecrirez₁et z₂sous forme exponentielle.

2. Soit Ale point du plan d’affixe z₁etBcelui d’affixe z₂ .

Placer les pointA^et Bdans le plan complexe et démontrer que le triangle OABest équilatéral.

3. SoitEle point d’affixe z₃ e^{i/ 3et} F ^d’affixe z₄ e^{i/ 6.}

a. Fest l’image deE par une transformation du plan .Donner la nature de cette transformation et ses éléments caractéristiques. Montrer queF est le milieu du segment [ OB].

4. a.On considère l'application R de P dans P qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' telle que : z'e^{i/ 4}z. Caractériser géométriquement l'application R.

b. Placer le point A' image du point A par R.

c. Calculer sous forme trigonométrique puis sous forme algébrique l'affixe du point A'.

d. En déduire les valeurs exactes de cos( /12) et ^sin



^/12



^.

5. SoitD^{l’image de}Epar la translation de vecteur 2v . a. Placer les pointsD^,E^etF sur la figure .

b. Déterminer l’affixe de D.et Montrer que OD DB .

c. Qu’en déduire pour la droite



^AD



, dans cette question , toute trace de recherche même incomplète ou d’initiative non fructueuse sera prise en compte de l’évaluation

.

Exercice 9

Le nombre i est le nombre complexe de module 1 et d'argument / 2 .

1. Résoudre dans l'ensemble C des nombres complexes l'équation d'inconnue z : z²4 2z16 0 2. a. On considère les nombres complexes : z_A4 ,i z_B 2 2 (1i) et z_C 2 2 (1i).

Déterminer le module et un argument de chacun de ces nombres.

b. Le plan est muni d'un repère orthonormal ( ; ; )O u v 

d'unité graphique 1 cm.

Placer dans le repère ( ; ; )O u v^{ } les points A, B et C d'affixes respectives z_A , z_B et z_C . 3. À tout nombre complexe z, on associe le nombre complexe z' par la formule z'e^{3 / 4i} z

On définit la transformation du plan qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z'.

a. Quelle est cette transformation ? Donner ses éléments caractéristiques.

b. Montrer que z^'_B z_A . Que peut-on en déduire pour les points A et B ?

c. Calculer z^'_Asous forme re^i (avec r > 0), puis placer, dans le repère ( ; ; )O u v 

le point D d'affixe z_D z'_A . d. Démontrer que les points A, B, C et D sont sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

Exercice 10

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( ; ; )O u v 

,unité graphique :2 cm.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument / 2 .

1. On note P le polynôme défini pour tout nombre complexe z par : P z( )z³4z²8z8. a. Démontrer que pour tout nombre complexe z , P z( ) ( z2)(z²2z4).

b. Résoudre dans l'ensemble Cdes nombres complexes, l'équation P z( ) 0

2. On note A,Bet Cles points d'affixes respectives : z₁2 ; z₂ 1 i 3; z₃  1 i 3 . a. Déterminer le module et un argument de z , ₁ z et₂ z3.

b. En déduire le centre du cercle et le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC.

c. Placer les pointsA,Bet Cen laissant visibles les traits de construction.

d. Démontrer que le quadrilatère OBAC est un losange.

3. On pose d = z +₁ z₂et on note D le point d'affixe d. Ecrire d sous forme exponentielle.

a. Construire le point D dans le repère ( ; ; )O u v 

.Démontrer que A est le milieu du segment [CD].

b. Démontrer que OCD est un triangle rectangle.

4. Écrire le quotient z z₃/ ₂ sous la forme _re^i où r est un nombre réel strictement positif et  un nombre réel appartenant á l'intervalle ] ; [.Donner la forme algébrique de z z₃/ ₂.

5. a. Montrer que A,Bet Cappartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.

b. Montrer qu'il existe une rotation de centre O qui transforme B en C. Donner une mesure, en radian, de l'angle de cette rotation. Montrer que le triangleA B Cest isocèle.

Exercice 11

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( ; ; )O u v 

(unité graphique : 2 cm ).

On note A le point d’affixe z₁  1.

1. a. Résoudre dans £l’équation :z²4z 5 0. On notez₂ etz₃ les solutions,z₂étant celle dont la partie imaginaire est positive.

b. Placer le pointAet les pointsBetCd’affixes respectives z₁, z₂ etz₃. c. Prouver que z3z2i z( 2z1). En déduire la nature du triangleABC. 2 / Soit 'A le point d’affixe ₁ 2 2

' 2 2

z   i.

a. Montrer que z'₁  z₁ .déterminer l’argument de z

'

₁puis calculer un argument de ¹

1

' z

z . b. En déduire que 'A est l’image de A par la rotation R de centre O et d’angle ^{3 / 4} .

c. Soient 'B et 'C les images respectives de BetCtels que _zB'_zB_e^{3 / 4i} et z_C'z_Ce^{3 / 4i} Calculer les affixes de 'B et 'C , en donnant chaque fois la forme algébrique.

d. Placer les points 'A , 'B et 'C dans le repère ( ; ; )O u v 

.Quelle est la nature du triangle ' ' 'A B C ? Justifier la réponse.

Exercice 12

On considère, les nombres complexes z_A4e^{i/ 6} ; z_B4e^{2 / 3i} et , z_C   2 2i. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal. Les parties I et II sont indépendantes Partie I : Q. C.M.

Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B, C ou Dest exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie

1. Le nombre complexe Z₁z_Az_Best :

Réponse A : un nombre réel positif Réponse B : un nombre réel négatif

Réponse C : un nombre imaginaire pur Réponse D : l’affixe d’un point du plan complexe pris hors des axes

2. Le nombre complexe Z₂z⁶_Aest :

Réponse A : un nombre réel positif Réponse B : un nombre réel négatif

Réponse C : un nombre imaginaire pur Réponse D : l’affixe d’un point du plan complexe pris hors des axes

3. Le nombre complexe conjugué dez_Aest :

Réponse A : 4e^{i/ 6} Réponse B : 4e^{i7 / 6} Réponse C : 4e^{i/ 6} Réponse D :

 

^{1/ 4 ei/ 6}

4. Le nombre complexe z_C peut se mettre sous la forme :

Réponse A : 2 2e^{i/ 4} Réponse B : 2 2e^{3 / 4i} Réponse C : 2 2e^{5 / 4i} Réponse D : 4e^{3 / 4i} Partie II

On considère les pointsA,Bet Cd’affixes respectivesz_A,z_B et z_C. 1. a. Soit M un point du plan d’affixe z. Interpréter géométriquement |z z _A|.

b. Quel est l’ensemble des points M du plan dont l’affixe z vérifie l’égalité : |z z _A| = |z z _B|.

c. Vérifier que le pointCappartient à l’ensemble D

2. Démontrer que le triangleABCest rectangle enC. Déduire des questions 1.et 2. la nature du triangleABC.

Exercice 1

Correction :

1. a.

   ( 6)² 4 1 12 36 48         12 12 ²

i

  2 3

i



²

donc l'équation

_z²_{6z12 0}

admet deux solutions complexes conjuguées :

₁

6 2 3

3 3

2 2

b i i

z i

a

   

    ;

z₂   z₁ 3 i 3 1. b.

Soient

1

et

2

des arguments de z

1

et z

2

:

 

1 3² 3 ² 9 3 12 2 3

z       

Soit 1un argument de z1; 1est tel que :

1

1

3 3

cos 2 3 2

3 1

sin 2 3 2





  



 

   



donc ₁ arg ₁ 2

z 6 k

      et z₁2 3e^{i/ 6}

On en déduit le module et l'argument de z2car : z₂   z₁ 3 i 3 donc z2  z1 2et ₂ arg ₂ arg ₁ arg ₁ 2

z z z 6 k

        et z₂ 2 3e^i/6 2.

2. a . ^{MA zAzM  3 i 3 2  1 i 3  1²}

 

^{3 ² 1 3  4 2}

^{MA zAzM  3 i 3 2  1 i 3  1² }

 

^{3 ² 1 3  4 2}

MO zOzM   ^{0 2 2}

MA MB MO  2

donc les points A, B et O appartiennent au cercle de centre

M

et de rayon 2.

2. b.

3.

le point C, image du point O par la translation de vecteur AB signifie que OC  ABz_OC^  z^_AB donc z_OC^ z_C z^_ABz_Bz_A 3 i 3 3 i 3 2 3i

4.Première méthode :

1 2 3

OA z 

et

OB z2 2 3

donc le triangle AOB est isocèle en O de plus :



^{OA OB }

^;   ^

^{OA u }

^;   ^

^{u OB }

^;   ^

^{u OB }

^;   ^

^{u OA }

^;  ^{ arg}

^zB

^{ arg}

^zA

^{   / 6   / 6    / 3 2 }

^k

^

or un triangle isocèle ayant un angle de mesure 60° ou /3 radians est un triangle équilatéral donc OAB est un triangle équilatéral.

Deuxième méthode :

1 2 3

OA z 

et

OB z2 2 3. AB z_Az_M  3 i 3 3 i 3  2 3i 2 3 2 3

OA OB AB

donc le triangle AOB est un triangle équilatéral.

le point D, image du point A par la rotation de centre O et d’angle



/ 3 signifie que z_D e^{i/ 3}z_A^.

^{zD ei/ 3zA}



^{cos / 3}

^

^{isin / 3 3}

^  

^{i 3}



^_¹₂^i ₂^3_



^{3i 3}



^{ }₂^{3 i3 3}₂ ^{i3 3}₂ ^{i2 3}₂^{i2 3}₂ ^{2 3i}

 

4c.

z^_AC z_C z_A  2 3 3i  i 3  3 3 3i . z^{}_AM z_M z_A   2 3 i 3  1 i 3

On déduit que

AC3AM

, donc les vecteur

^_AC

et

^{}_AM

sont colinéaires , donc les points

^{A C,}

et

M

sont alignés.

2 3 3 3 3 3 3

D B

zBD^ z z  i  i    i . z_BM^{} z_M z_B   2 3 i 3  1 i 3

On déduit que

BD3BM

, donc les vecteur

_BD^

et

^{}_BM

sont colinéaires , donc les points

^{A C,}

et

M

sont alignés.

Exercice 4 : 1.

3 2

3 3 2

8 ( 2)( )

8 ( 2 ) ( 2 ) 2

z z az bz c

z az b a z c b z c

    

       .Par identification :

1 1

2 0

2 0 2 2 8 4

a a

b a

c b b c c

 

 

  

  

   

  

  



3 2

8 ( 2)( 2 4) 0 z   z z  z 

.

3 8 0

z  

équivaut à

(z2)(z²2z4) 0

équivaut à

z 2 0

ou

z²2z 4 0 2

z

ou

z²2z 4 0

² 4 2² 4 1 4 4 16 12 12 ²

b ac i

            12i2 2 3i

  

.Donc deux racines complexes conjuguées :

₁ ^{2 2 3} 1 3

2 2

b i

z i

a

    

    

et

2 1 1 3

z    z i

. Les solution dans

C

de l'équation

_z³_{ 8 0}

sont donc : 2 ;

_{ 1 i 3}

;

_{ 1 i 3}

2. a. Pour placer correctement et précisément les points B et C on peut calculer les modules des nombres

complexes

z_B   1 i 3

et

z_C   1 i 3

:

 

²

( 1)2 3 1 3 4 2

OB zB       

et

^{OC zC  ( 1) 2 }

 

^{3 2  1 3  4 2}

OB = OC = 2 donc les points et B appartiennent au cercle de centre O et de rayon 2.

b. ^{AB zBzA   1 i 3 2   3 i 3  ( 3)² }

 

^{3 ² 9 3  12 2 3}

^.

^{AC zC zA   1 i 3 2   3 i 3  ( 3)²  }

 

^{3 ² 9 3  12 2 3}

 

1 3 1 3 0 2 3 0² 2 3 ² 12 2 3

C B

BC z z   i  i   i    

AB = BC = AC donc ABC est un triangle équilatéral .

3. L'écriture complexe de R est : _z'e^{i/ 6}_z

a. z_A 2 2(cos 0isin 0) 2 e^i0

;

^{1 3 2 1 3} 2(cos(2 / 3) sin(2 / 3)) 2 ^{2 / 3}

2 2

B i

z   i  ^^ i ^  i   e ^

.

2 -1

-2

-1

-2

0 1

1

x y

A B

C

A' B'

C' u

v

4 / 3 2 / 3

1 3

1 3 2 2(cos(4 / 3) sin(4 / 3)) 2 2

2 2

i i

zC   i  ^^ i ^  i   e ^  e^{ }

 

   

/ 6 / 6 0 / 6

'

2

^{i i}

2

ⁱ

2 cos( / 6) sin( / 6) 2 1/ 2 3 / 2 3

A A

z



e^



z



e^



e



e^

  

i

  

i

 

i

;

   

/ 6 / 6 2 / 3 / 6 4 / 6 5 / 6

' 2 ^{i i} 2 ^{i i} 2 ⁱ 2 cos(5 / 6) sin(5 / 6) 2 3 / 2 / 2 3

B B

z e^ z  e^ e ^  e^{  }  e ^   i    i   i

   

/ 6 / 6 2 / 3 / 6 4 / 6 / 2

' 2 ^{i i} 2 ^{i i} 2 ⁱ 2 cos( / 2) sin( / 2) 2 0 / 2

C C

z e^ z  e^ e^{ }  e^{  }  e^   i   i  i b. voir 2.a.

c.

 

^{zA' 3}



^{2ei/ 6}



^{323 3 / 6e i 8ei/ 2 8i}

^{;  }

^{zB' 3}



^{2e5 / 6i}



^{323 5 / 2e i  8 e2iei/ 28i}

 

^{zC' 3}



^{2ei/ 2}



^{323e3 / 2i  8 e2i ei/ 2 8i}

'

zA

;

^z_B'

et

^z_C'

sont solutions de l'équation z

³

= 8i.

Exercice 5

1.Résolution de z²2 3z 4 0:

Calcul du discriminant :  b^{² 4} ac

 

^{2 3 2}   4 1 4 12 16   4 4 ²i donc  2i l'équation admet deux solutions complexes conjuguées : ₁ 2 3 2

2 2 3

b i

z i

a

    

    

et

z₂   z₁ 3i 2.Calcul du module dez1: ^{z1 }

 

^{ 3 ² ( 1)²   3 1  4 2}

Soit 1un argument de z1; 1est tel que : ¹

1

cos 3

2 sin 1

2





 



 



donc _{1 1} 5

arg 2

z 6 k

    

On en déduit le module et l'argument de z2car : z₂   z₁ 3i

donc z2  z1 2et _{2 2 1 1} 5

arg arg arg 2

z z z 6 k

         . 3.Détermination des formes algébriques :

 

5 / 6

2 ⁱ 2(cos(5 / 6) sin(5 / 6)) 2 3 / 2 / 2 3

zA e ^   i    i   i

 

5 / 6

2 ⁱ 2(cos( 5 / 6) sin( 5 / 6)) 2 3 / 2 / 2 3

zB e^{ }    i     i   i

 

4 ⁱ / 3 4(cos( / 3) sin( / 3)) 4 1/ 2 3 / 2 2 2 3

zC  e^   i   i   i

3.b. On peut placer les points A, B et C en utilisant leurs modules et les cosinus et sinus de leurs arguments.

3.c . Montrons que le triangle AOC est rectangle en O :

On a :

^{OA zA }

 

^{ 3 ² 1²  3 1  4 2}

^et

^{OC zC  4ei/ 3 4ei/ 3   4 1 4}



^{2 3}

 

^{2 1 2 3}



² 4 3 2 3 1 12 2 3 20 2 5

c A

AC z^AC  z z             

.Donc, on a :

2 20

AC 

et

OA²OC² 2² 4² 4 16 20    

. Donc, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AOC est rectangle en O.

Exercice 6

1. Résolution de

(1) : z²10z50 0

.

Calcul du discriminant :

 b²4ac100 4 1 50 100 200      100 0

et

 100i²

donc

 10i

l'équation admet deux solutions complexes conjuguées :

₁ ^{10 10 5 5}

2

z   i  i

De même :

z₂ z₁  5 5i

Ensemble des solutions :

^S



^{5 5 ;5 5 i  i}

 .

Résolution de

(2) : z 2 i 3z6

 

  

8 1 3

8 8 8 3

2 3 6 (1 3) 6 2 (1 3) 8

1 3 1 3 1 3 1 3

2 2 3

i i

z i z i z i z z z z

i i i

z i

 

  

                 

   

   

2. Module et argument de

^z_A^{ 5 5i}

;

z_A

s’écrit sous la forme

z_A a bi

, donc on a :

z_A  a²b²  5² ( 5)²  25 25  50 5 2

.

Soit 

A

un argument de

zA

; 

A

est tel que

5 2

cos 5 2 2

5 2

sin 5 2 2

A A

A A

a z b z





   



     



: donc

A

 4

  

La forme exponentielle est donc :

z_A5 2e^{i/ 4}

2.b Forme exponentielle de

z_B

. Soit 

_B

un argument de

zB zA

, donc

zB



zA



zA

 5 2 . donc

^argzB ^argzA ^argzA  



^{/ 4}



^{/ 4 2} k

et

z_B 5 2e^{i/ 4}

.

^{5 2 / 4}_{/ 4} ^{/ 4 / 4 / 2} 5 2

i i i

B A

i i

e e e

z i

z e

   

 

 

  

. On a donc :

z_B iz_A z e_A ^{i/ 2}

. Donc B est l'image de A par la rotation de centre O et d'angle 

/ 2

. De plus, on a OA = OB, donc le triangle OAB est rectangle isocèle en O de centre O et d'angle 

/ 2

.

3.

OC z_C  a²b²  ( 2 3) ²(2)²  12 4  16 4

. De même

^{OD z}_D ^{ iz}_C ^{ i z}_C ^{ z}_C ^4

. Donc les points C et D sont sur le cercle de centre O et de rayon 4, puis on utilise une de leurs coordonnées qui est entière pour les placer avec précision.

4. Affixe du point K, milieu de [AC] :

5 5 2 2 3 ³



^{5 2 3}



2 2 2

A C

K

z z i i i

z      

  

Affixe du vecteur

_OK^

:

³



^{5 2 3}



3



^{5 2 3}



0 2 2 2

OK K

z z   i  i

    



Donc le vecteur

_OK^

a pour coordonnées :

3



^{5 2 3}



2; 2

OK

  

  

 

 



Affixe du vecteur

^_DB

:

z_DB^ z_Bz_D    5 5i ( 2 3 2 ) 5 2 3 3 i    i

Donc le vecteur

_DB^

a pour coordonnées :

^{DB}

 ^{5 2 3;3 } 

Calcul du produit scalaire des vecteurs

_OK^

et

^_DB

:

^{OK DB .   3}₂



^{5 2 3 3}



^{ 5 2 3 15}₂ ^{ }₂ ^{3 3 15}₂ ^{3 3 0}

Donc les vecteurs

OK

et

_DB^

sont orthogonaux donc les droites ( DB) et (OK) sont perpendiculaires.

5. Affixe du point K, milieu de [AC] .

5 5 2 3 2



^{5 2 3}



⁷

2 2 2

B D

E

z z i i i

z      

  

.

Affixe du vecteur

_OE^

: 

^{5 2 3}



⁷



^{5 2 3}



7

0 2 2 2

OE E

z z   i  i

    



Donc le vecteur

_OE^

a pour coordonnées : 

5 2 3 7



2 ;2

OE

  

 

 

 



Affixe du vecteur

^_AC

:

z^AC



z^C



z^A

   ^{2 2 3 5 5}

i

     

i

⁷  ^{5 2 3} 

i

Donc le vecteur

AC

a pour coordonnées :

^{AC}



^{7;5 2 3}



Calcul du produit scalaire des vecteurs

_OE^

et

^_AC

:

₇



^{5 2 3}

 

^{7 5 2 3}



₀

2 2

OE AC  

    

 .

Donc les vecteurs

_OE^

et

^_AC

sont orthogonaux donc les droites ( AC) et (OE) sont perpendiculaires.

H

2 3 4 5 6 7 8

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

2 3 4 5 6 7

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

0 1

1

x y

A B

C D

K O

E

Exercice 8

1. a.

z²2 3z 4 0

^{  }

^b

^{² 4}

^ac

^   ^{2 3}

²

^{   4 4 12 16     4   2}

^{i 2}

^{ 0}

Donc

₁ ^{2 3 2} 3

2 2

b i

z i

a

   

   

et

₂ ^{2 3 2} 3

2 2

b i

z i

a

   

   

On constate que

z2 z1

.

b.

z₁ 3i

et

z₂  3i z₁ a bi

donc

^{z1  a²b² }

 

^{3 212  3 1  4 2}

Soit

1 1

1 1

1 1

cos 3 arg : 2

sin 1

2 a z z

a z







  



 

   



, donc

₁ ²

6 k

    

, avec

kZ

.

On sait que

z2 z1

, donc ils ont le même module et

^arg ₂ ^arg ₁ ²

z   z  6 k

avec

kZ

.

1 2;

z  6

et

2 2;

z  6

  

d’où

z₁2e^{i/ 6}

et

z₂ 2e^{i/ 6}

. 2. c. Montrons que le triangle OAB est équilatéral :

^{OA zA }

 

^{3 2 1² 3 1  4 2}

^;

^{OB zB }

 

^{3 2 1² 3 1  4 2}

z^_AB



z_B



z_A

 3  

i

3  

i

2

i

.

AB zAB^  zBzA  ²i ²

. Comme OA = OB = AB, alors le triangle OAB est équilatéral

3. a.

^{4 / 6 6 3 2}

3 / 3

i i i

i

z e

e e

z e

  





  

 

 





  , donc

₂

4 3

z ei z



  par conséquent

F

est l’image de

E

par la rotation De centre

O

et d’angle

2

 .

b. Soit

M

le milieu de [OB] , donc on a : 3 3 1

2 2 2 2

O B

M z z i

z

 

i

    , donc

^z_M ^z₄

et

par conséquent les points M et F sont confondus et F est le milieu de [OB].

4. a. L'application R est la rotation de centre O et d'angle

/ 4

. 2. b . cf graphique

2. c. Affixe du point A' sous forme trigonométrique :

z_A'e^{i/ 4}z_Ae^{i/ 4}2e^{i/ 6}2e^{i/ 4/ 6} 2e^{i/12} 2 cos

 

/12



isin



/12

 

Affixe du point A' sous forme algébrique :

^{zA'ei/ 4zAei/ 4}



^{3 i}



^ ₂^2i ₂^2^



^{3 i}



⁶₂^{ 2i 6}₂ ²

 

2. d. Valeurs exactes de

^cos



^/12

 et

^sin



^/12

 :

On a montré à la question précédente que

'

     

6 2 6 2

2 cos /12 sin /12

2 2

zA   i   ^ i ^

.

En identifiant les parties réelles et imaginaires, on en déduit que :

^cos



^/12



^{6 2}

  ^4

et

^sin



^/12



^{6 2}

  ^2

5.a. D est l’image du point E par la translation de vecteur

2v

signifie que

ED2v

Donc 1 3

2 2 2

2 2

D E D E

z



z



i



z

 

i z

  

i i

Donc 1 3

2 2 2

zD

 

i

      

 

b.

2 2

1 3 1 3

2 4 2 3 5 2 3

2 2 4 4

OD zD              

.

c. 1 3 1 3

3 2 3 1

2 2 2 2

B D

zDB



z



z

   

i i

 

i

                

i



2 2

1 3 1 3

3 1 3 3 3 1 5 2 3

2 2 4 4

B D

DB zDB  z z               



On déduit que

_{OD DB  5 2 3}

.

d. On sait que le triangle OAB est équilatéral donc AO=AB

on déduit que A appartient à la médiatrice du segment [OB] et on sait que

_{OD DB  5 2 3}

. On déduit que D appartient à la médiatrice de [OB]. Ce qui démontre que la droite ( AD) est la

médiatrice du segment [OB]. On peut aussi démontrer que les droites (AD) et (OB ) sont perpendiculaires par la méthode du produit scalaire .

1 3

3 2

2 2

1 3

3 3

2 2

A D

zDA z z i i i

i

      

 

 

      



;

donc

^{3 1 ; 3 3}

2 2

DA      



^{OB}

  ^{3;1 , d’où}

1 3

. 3 3 3 1

2 2

3 3

3 3 0

2 2

DA OB     

    

 

. cqfd.

Exercice 10

a.

^{(z2)(z22z4)z32z24z2z24z 8 z34z28z 8 P z( )}

,

2 -1

-2

-1

-2

1 1

y

O

A B F

E

D