CORRECTION du TP: Démontrer par disjonction de cas. 1ère S Objectifs: travailler la définition du sens de variation et les démonstrations de propriétés du cours; mettre en œuvre un raisonnement par disjonction de cas.
DEMONTRER LA PROPRIETE 2 DU COURS:
Énoncé de la propriété:
Si u est strictement monotone sur un intervalle I,
- si
0
, alors la fonction u
a même sens de variations que u sur I.- si
0
, alors la fonction u
a le sens de variation contraire à celui de u sur I.Méthode:
Il faut en fait démontrer deux propriétés: l'une dans le cas de
0
et l'autre dans le cas où 0
. De plus, on ne connaît pas le sens de variations de la fonction u ! On sait par hypothèse qu'elle est soit strictement croissante, soit strictement décroissante sur I.L'idée de la démonstration: la disjonction des cas.
On examinera séparément tous les cas possibles selon le signe de
et le sens de variation de u.Travail à faire:
1) Rédiger la démonstration pour
0
et u strictement croissante sur I. Si difficultés pour démarrer, relire celle du cours concernant P1.Soit une fonction u strictement croissante sur un intervalle I de IR. Par définition, si a et b désignent deux réels distincts de cet intervalle, on a:
Si a < b, alors u(a) < u(b).
Soit
une constante réelle strictement positive.On a alors, pour a < b :
u a u b
car la multiplication d'une inégalité par un réel positif ne change pas l'ordre de l'inégalité.Donc, si
0
et que u est une fonction strictement croissante, alors toute fonctionu
est strictement croissante sur un intervalle I de IR.2) Finir de démontrer la propriété en examinant les autres cas.
On se place avec la même fonction u qu'au 1) pour ce 2ème cas:
Soit
une constante réelle strictement négative.On a alors, pour a < b :
u a u b
car la multiplication d'une inégalité par un réel négatif change l'ordre de l'inégalité.Donc, si
0
et que u est une fonction strictement croissante, alors toute fonction u
est strictement décroissante sur un intervalle I de IR par définition car si a < b, u a u b
.➢ Soit une fonction u strictement décroissante sur un intervalle I de IR. Par définition, si a et b désignent deux réels distincts de cet intervalle, on a:
Si a < b, alors u(a) > u(b).
Soit
une constante réelle strictement positive.On a alors, pour a < b :
ua u b
car la multiplication d'une inégalité par un réel positif ne change pas l'ordre de l'inégalité.Donc, si
0
et que u est une fonction strictement décroissante, alors toute fonctionu
est strictement décroissante sur un intervalle I de IR.Soit
une constante réelle strictement négative.On a alors, pour a < b :
ua u b
car la multiplication d'une inégalité par un réel négatif change l'ordre de l'inégalité.➢ Donc, si
0
et que u est une fonction strictement décroissante, alors toute fonction u
est strictement croissante sur un intervalle I de IR.T.Pautrel - CORRECTION du TP: raisonnement par disjonction de cas - niveau 1ère S
DEMONTRER LA PROPRIETE 3 DU COURS SUR LES FONCTIONS COMPOSEES:
Énoncé de la propriété:
Soit u une fonction strictement croissante ou décroissante sur un intervalle I, à valeurs dans un intervalle J.
Soit une fonction v strictement croissante ou décroissante sur J.
➢
Si les sens de variation de u sur I et v sur J sont les mêmes, alors v °u est strictement croissante sur I.
➢
Si les sens de variation de u sur I et v sur J sont contraires, alors v °u est strictement décroissante sur I.
Méthode:
1) Supposer que u est strictement croissante de I vers J et v strictement croissante sur J. Établir des inégalités pour des réels a et b en prenant a < b. Que peut-on dire de u(a) et u(b) quant à l'intervalle J ?
2) Si v est strictement décroissante sur J, établir des inégalités en utilisant a et b, ainsi que v(u(a))) et v(u(b)).
3) En déduire que v °u av °u b et établir le sens de variation de la fonction v °u .
Supposons u strictement croissante de I vers J et v strictement croissante sur J. Pour tous a et b de I tels que a < b, on a u(a) < u(b) car u est strictement croissante sur I.
De plus u(a) et u(b) appartiennent à J puisque u est une fonction de I vers J. Comme v est strictement croissante sur J, v conserve l'ordre sur J et donc v[u(a)] < v[u(b)]. Ceci signifie que v °u a v °u b . La fonction v °u est donc strictement croissante sur I.
Travail à faire:
1) Examiner les autres cas selon le sens de variation de u et de v.
2) Finir de rédiger cette démonstration.
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Supposons u strictement croissante de I vers J et v strictement décroissante sur J. Pour tous a et b de I tels que a < b, on a u(a) < u(b) car u est strictement croissante sur I.
De plus u(a) et u(b) appartiennent à J puisque u est une fonction de I vers J. Comme v est strictement décroissante sur J, v renverse l'ordre sur J et donc v[u(a)] > v[u(b)]. Ceci signifie que v °u a v °u b . La fonction v °u est donc strictement décroissante sur I.
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Supposons u strictement décroissante de I vers J et v strictement croissante sur J. Pour tous a et b de I tels que a < b, on a u(a) > u(b) car u est strictement décroissante sur I.
De plus u(a) et u(b) appartiennent à J puisque u est une fonction de I vers J. Comme v est strictement croissante sur J, v conserve l'ordre sur J et donc v[u(a)] > v[u(b)]. Ceci signifie que v °u a v °u b . La fonction v °u est donc strictement décroissante sur I.
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Supposons u strictement décroissante de I vers J et v strictement décroissante sur J. Pour tous a et b de I tels que a < b, on a u(a) > u(b) car u est strictement décroissante sur I.
De plus u(a) et u(b) appartiennent à J puisque u est une fonction de I vers J. Comme v est strictement décroissante sur J, v renverse l'ordre sur J et donc v[u(a)] < v[u(b)]. Ceci signifie que v °u a v ° ub quand a < b. La fonction
v °u est donc strictement croissante sur I.
T.Pautrel - CORRECTION du TP: raisonnement par disjonction de cas - niveau 1ère S
