BTS- sujet d'examen - révision tr-FOURIER

Thème : Séries de Fourier TP MATHEMATIQUES BTSGO 2008/2009 Exercice 1. BTS -2005-9 points

1. Soit la fonction numérique ^gdéfinie sur ^_^{0 ;}_ par g t( ) (1 cos )sin  ²t ²t. (a) Montrer que g t'( ) 4sin cos t ³t.

(b) En déduire les variations de ^g sur ^_^{0 ;}_

2. Soit la fonction numérique f définie sur R, paire, périodique de période 1 telle que :

^{( ) 1/ 2 0}

( ) 1/ 2

f t si t

f t si t

    

    



 

  où



est un nombre réel tel que ^{0 } ² (a) Uniquement dans cette question, on prendra ¹

6

 .

Représenter la fonction f sur l'intervalle [-1; 1] dans un repère orthonormal.

(b) On admet que la fonction f satisfait aux conditions de Dirichlet.

Soit S le développement en série de Fourier associé à la fonction f . Montrer que :

1

( ) 1 sin(2 )cos(2 )

n

S t n nt

n









_ ^{ }

3. On décide de ne conserver que les harmoniques de rang inférieur ou égal à 2.

Soit la fonction numérique h définie sur R par : ^{( ) 1}sin(2 )cos(2 ) ¹ sin(4 )cos(4 )

h t   t 2  t

 

On désigne par E_h² le carré de la valeur efficace de h sur une période.

(a) A l'aide de la formule de Parseval, déterminer E_h². (b) Montrer que ^{2 1}₂ ^{(2 )}

h 2

E  g 

 .

4. Déterminer la valeur de



rendant E_h²maximal.

Exercice 2

1 .Calculer à l’aide de deux intégrations par parties successives, l’intégrale :

 

0

( ) cos 2

Jn t t nt dt









 ^{; n1}

On considère la fonction f de R dansR , périodique, définie par : ^{f t( )t}



^{ t}



sit[0; [ 2° a) Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle [0; ] .

Construire la courbe représentative de la fonction f , restreinte à l'intervalle [ 2 ; 2 ].

b) démontrer que f est une fonction paire, Calculer les coefficients de Fourier de la fonction f.

3.a. Vérifier que la fonction f satisfait aux condition de Dirichlet sur R . En déduire que pour tout réel t :

2

2 1

cos(2 ) ( ) 6 n

f t nt

n

 ^



 



^.

b. En donnant à t une valeur particulière , montrer que :

 

^{1 2}

1 2

1

12

n

n n

 





 



4. La valeur efficaceU_eff de la fonction f est telle que : ^{2 2 2}₀ ²

0 1

1 1

( ) 2

eff n

n

U ^f t dt a ^a



  



 

a. Calculer U²_eff en utilisant le calcul intégral

b. Soit P le nombre défini par : ^{P a 021}₂



^{a12a22a32a24 a52}



^.

Donner l’approximation décimale P₁de P à 10^3près.

On peut observer que ₂¹

eff

P

U est supérieur à 0,999. Le nombre P₁ est donc une « bonne »approximation deU²_eff

Exercice 1-2005 -bts

1. Soit la fonction numérique ^g définie sur ^_^{0 ;}_ par g t( ) (1 cos )sin  ²t ²t. (a) Calculons ^{g t'( )} : g t^{'( )} 2sin cos sin ²t t t (1 cos ² )2sin cost t t

g t'( ) 2sin cos ( sin ² t t  t 1 cos ² )t

g t'( ) 2sin cos (cos ² t t tcos ² ) 4sin cost  t ³t

(b) Sur ^_^{0 ;}_,la fonction sinus est positive, par conséquent ^{g t'( )}est du signe de ^cost. Si ^0;

t  2

  

  : ^{g t'( ) 0} donc ^g est strictement croissante sur ^0;

2



 

 

 

Si ^; t_{ }^ 2 ^_

  : ^{g t'( ) 0} donc ^gest strictement décroissante sur ^;

 2

 

 

 

t 0 / 2  sint 0 + 1 + 0 cost 1 + 0 ^ 1

'( )

g t 0 + 0 ^ 0 ( )

g t

1

0 0 2. (a) Dans cette question, on a : ^{( ) 1}

f t 3sur ^0;1 6

 

 

 et ^{( ) 1}

f t  6sur ^{1 1;} 6 2

 

 

 

Avec la parité de la fonction f, on peut tracer la courbe sur l’intervalle ^{1 1;} 2 2

 

 

  en utilisant la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées. De plus, la fonction f

est périodique de période 1, donc on obtient la représentation ci-contre :

(b) Calculons les coefficients de Fourier de la fonction f :

Pour n1, on a : ^{1/ 2 1/ 2}

1/ 2 0

2 ^{a T} ( )cos 2 ( )cos2 4 ( )cos 2

n a

a f t ntdt f t n t dt f t n tdt

T ^  









 



₀ ^{1/ 2}

 

^{1/ 2}

0

1 1 sin 2 sin 2

4 cos 2 cos 2 4 ( )

2 2 2 2

n

n t n t

a n tdt n tdt

n n

 

 

 

     

 

 

          

 



   



            

-1 0 1

1

1/2 -1/6

1/3

-1/2 -1/6 1/6

 

1/ 2 1/ 2

0 1/ 2 0

1/ 2 0

1 ( ) ( ) 2 ( )

2 1 2

1 1

2 . ( ). 0

2 2

a T

a a f t dt f t dt f t dt

T

dt dt



  

   



   

   

       

 

 

 

   

        

   

 

 

  

 

1/ 2 0

1 sin 2 sin 2 2 1

4 ( ) sin 2 sin sin(2 )

2 2 2 2

2 1

sin 2 sin(2 ) 2

1 sin 2

n

n

n

n t n t

a n n n

n n n

a n n

n

a n

n





 

      

  

  



 

         

 

                

  

     

 

 

 



Pour ⁿ¹, on a bn⁰ car la fonction f est paire .On obtient donc

1

( ) _ncos(2 )

n

S t ^ a nt







1

( ) 1 sin(2 )cos(2 )

n

S t n nt

n









_ ^{  .}

3. Ecrivons la formule de Parseval :

2 2

2 2

0

1 2

n n

n

a b

E a ^



 



 .On sait que a00 et bn ⁰; calculons a1et a2 : 1 1

sin(2 )

a 

 et 2 1

sin(4 )

a 

 . On a donc : ^E21₂



^a12a22



^{2 1 1}₂^{sin ²(2 ) 1}₂^{sin ²(4 ) 1}₂ ^{sin ²(2 ) 1sin ²(4 )}

2 4 2 4

Eh    

            , de plus, on sait que : sin(4 ) 2sin 2 cos 2u  u u.

Donc on peut écrire : ^{sin (4 )2  }



^{2sin 2}

   

^{ cos 2}



^{24sin 22}

^{ }

^{ cos 22}

^{ }

^{ .}

Remplaçons dans E_h²

 

2 2

2 2

2

2 2

2

1 1

sin ²(2 ) sin ²(4 ) 2 4

1 sin ²(2 ) sin ²(2 )cos (2 ) 2

1 sin ²(2 ) 1 cos (2 ) 2

h

h

h

E E E

 

     

  

 

       

 

      

.

Posons t2 dans l’expression , g t^{( )}sin ²( ) 1 cos ( )t



 ² t



, On obtient : g^{(2 )} sin ²(2 ) 1 cos (2 )



 ² 





et on déduit : ^{2 12} sin ²(2 ) 1 cos (2 )



²



¹² (2 )

2 2

Eh         g  . 4. D’après la question 1 . b) , l’expression ^{g t( )}est maximale pour

t_2 . Par conséquent E_h²est maximal pour : ²

2

  , d’où ¹

 4. Exercice 2

1.Jn 



₀^t⁽t^{) cos 2}



nt dt







₀^t^{cos 2}



nt dt







₀^t^{2cos 2}



nt dt



I J par linéarité des intégrales On pose ^{u t( ) t u t' ) 1 '( ) cos 2 ( ) 1 sin 2}

v t nt v t 2 nt

   n

 

   

0 0

0 0

2 2

sin 2 1 1 1 1

cos 2 sin 2 2 sin 2 0 sin 0 cos 2

2 2 2 2 2

1 1

0 cos 2 cos 0 1 1 0 0

4 4

t nt

I t nt dt nt dt n nt

n n n n n

I n donc I

n n

 

 

 



   

          

      

 

On pose u t( )t²u t'( ) 2 t et ^{'( ) cos 2 ( ) 1 sin}

v t nt v t 2 nt

   n

2 2

0 0

0 2

0

0

sin 2 1

cos 2 2 sin 2

2 2

1 1

sin 2 0 sin 0 sin 2

2

1 sin 2

t nt

J t nt dt t nt dt

n n

J n t nt dt

n n

J t nt dt

n

  





 

 

   

 

 

     

 

 





On pose ^{u t( ) t u t' ) 1 '( ) sin 2 ( ) 1 cos 2}

v t nt v t 2 nt

    n

 

   

0 0

0 0

2 2

cos 2 1 1 1 1

sin 2 = cos 2 cos 2 0 cos0 sin 2

2 2 2 2

1 1

sin 2 sin 0 0 0 =

2 4 2 2

t nt

t nt dt nt dt n nt

n n n n n

n n n n n n

 

 

 

   

          

   

   

        

 

et on a : 1 ₀ 1 ₂

sin 2

2 2

J t nt dt

n n n n

  

 



    ^{et Jn    J} ₂^_n^{2 .} 2.a ^{f t( )t}



^{ t}



sit[0; [ et ^{f t'( )}



^2t



donc '( ) 0f t  pour t/ 2.

t 0 ^{/ 2 } '( )

f t  + 0 - -^

( ) f t

²/ 4

0 0 Représentation graphique.



      





















 







2b. ^f est périodique de période^ donc ^{f t(} ⁾ ^{f t( )}et ^f( ^t ⁾ ^{f( )}^t Or ^t^{[0; ]} , donc   ^{t [} ^;0] et   ^t  ^{[0; ]}

^f( ^t ^{) (}  ^t  ⁾⁽   ^{( t} ^{)) (}  ^t  ⁾⁽  ^t ⁾^t( ^{t) f t( )}

comme^f( ^t ⁾ ^{f( )}^t on déduit que ^{f( ) t f t( )}et par conséquent f est paire.

2 3 3 3 3 2

0 0

0

1 1 1 1

( )

2 3 2 3 6 6

t t

a t t dt

       

   

   





          

et ² ₀ ^{( ) cos 2}

 

^{2 2} ₂ ¹₂

n n 2

a t t nt dt J

n n

  

  

 





       

f est périodique de période ^, ^f est continue , ^{f '}est continue sauf en t k où elle admet des limites à gauche et à droite : f '(0 )^   et f '(0 )^  ; f '(^)  et f '(^), les conditions de Dirichlet sont vérifiées .

pour t k la fonction ^f satisfait aux condition de Dirichlet , donc la série de Fourier associée

à ^f converge vers ^f et on a :

2 1 2

cos(2 ) ( ) 6 _n

f t nt

n

 ^



 



^.

En t k ( où k=0) la série de Fourier associée à ^f converge vers ¹₂



^{f(0 )  f(0 )}



^1₂^{(  ) 0 .}

donc ^{f(0) 0} et

2 1 2

cos(0)

(0) 6 _n

f n

 ^



 



^{; 2} 2

1

0 1

6 _n n

 ^



 



, c’est-à-dire

2 1 2

1

n n 6

 





 f est continue en ^{/ 2} donc

2

2 1

cos( ) ( )2 6 n

f n

n

  ^ 



 



c’est-à-dire

2 2

1 2

( 1)

4 6

n

n n

  ^



 





1 2 2 2 2 2

1 2

( 1) 3 2

4 6 12 12 12

n

n n

    

 



     



. Les séries de terme général 1₂

n et 1₄

n sont des séries de Riemann qui convergent La série de terme général

2

( 1)ⁿ n

 est une série alternée qui converge.

4. ^{2 2 2 2}

0 0

1 1

( ) ( )

U eff  ^f t dt  ^t  t dt









2 2 2 2

0

2 2 2 3 4

0

3 5

2 2 4

0

5 5 5 5 5 5

2

5 4

2

1 ( 2 )

1 ( 2 )

1 2

3 4 5

1 1 10 15 6

3 2 5 30 30 30

1 3, 247

30 30

eff

eff

eff

eff

eff

U t t t dt

U t t t dt

t t

U t

U

U







    



    



  

    

  

        

        

 

   







.

D’après la formule de Parseval , on a : ^{2 2}₀ ²

1

1

eff 2 n

n

U a ^a



 



^;

 

2 2 2 2 2 2

0 1 2 3 4 5

2 2 2 2

4 2

1 2

1 1 1 1 1

1 3, 246

36 2 4 9 16 25

P a a a a a a

P 

     

         

 

             

D’après l’égalité de Parseval ^{2 2}0 ² 1

1

eff 2 n

n

U a ^a



 



, on a :

4 4

1 4

1 1

30 36 2_n n





  



4 4 4 4 4

1 4

1 1 6 5

2_n n 30 36 180 180 180





    

    



4 4

1 4

1 2

180 90

n n





 

 



^.