dm-BTS-TR-FOURIER-PROBA-2ème annéeavec correction

Soit f la fonction numérique définie surR, de période 4 telle que :

( ) 0 1

( ) 1 1 3

( ) 4 3 4

f t t si t

f t si t

f t t si t

  

   

    

 1° a) Représenter graphiquement la fonction f sur l'intervalle [ 6 ; 6 ].

b) Établir que f est paire.

c) Justifier que f satisfait aux conditions de Dirichlet.

Soit 0

     

1

( ) _ncos _nsin

S t a 



^ a n t b n t la série de Fourier associée à f . Déterminer a₀ et  ; Montrer que, pour n  1 : _{2 2}4

cos 1

n 2 a n

n





   

    

2° Soit  la fonction définie surR par : ^{( ) 3 4}₂^{cos 2}₂^cos

 

4 2

t t t

 

 

 

    a) Vérifier que  est paire et a pour période 4.

b) Résoudre sur [0 ; 2] l'équation ^{'( ) 0t}  . Calculer à ₁₀^2près, 3

    n pourⁿégal successivement à 0, 1, 2, 3, 4, 5 et 6. Dresser le tableau de variation de  pour 0  t  2.

c) Construire dans un même repère orthonormal les courbes d'équations

^{y f t( )} et ^y^{( )t} pour  2  t  2 puis pour  4  t  4. (On prendra 2 cm pour unité graphique).

3° a) Calculer ^{2 2}

0 ( )

I 



f t dt. En déduire le carré de la valeur efficace de ^f .

b) Calculer le carré de la valeur efficace de  (On pourra utiliser la formule de Parseval).

c) Comparer les résultats obtenus en a) et b) . Exercice 2

Une usine fabrique en grande série des pièces susceptibles de présenter un défaut A dans 3% des cas, ou un défaut B dans 7% des cas. L'apparition d'un défaut est indépendante de l'apparition de l'autre.

1° Calculer la probabilité qu'une pièce tirée au hasard : a) présente les deux défauts ;

b) présente au moins l'un des deux défauts ; c) présente un seul défaut ;

d) ne présente aucun défaut.

2° On prélève au hasard 250 pièces dans la production.

Soit X la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 250 pièces, fait correspondre le nombre de pièces présentant le défaut A.

a) Quelle est la loi de probabilité de X ?

b) On admet que la loi de X peut être approchée par une loi de Poisson. En déterminer le paramètre .

Calculer alors la probabilité que, parmi les 250 pièces, il y en ait au plus 3 présentant le défaut A.

3° Soit Y la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 250 pièces, fait correspondre le nombre de pièces présentant le défaut B. On admet que la loi de Y peut être approchée par une loi normale de paramètres m = 17,5 et  = 4,03.

a) Justifier les valeurs de m et  .

b) Calculer la probabilité qu'il y ait au plus 20 pièces présentant le défaut B.

c) Calculer la probabilité de l'événement : 15  Y  20.

1.

2 3 4

-1 -2

-3

-4 0 1

1

x y

2.la fonction f étant paire , on peut écrire que pour tout entier n : bn ⁰.

Calcul de a0 puisque f est paire , donc on a : ^{a0 1}₄

^

^{04 f t dt( ) 1}₄

 ^

^01tdt

^

^13dt

^

³⁴



^{4t dt}

 

^.

D’où

  ^{ }

1 2 4

2 3

0 1

0 3

1 4 1 1 1 3

(3 1)

4 2 2 4 2 2 4

t t

a t

       

   

             

Remarque : ⁴

0 f t dt( )



est aussi l’aire du trapèze OABC . ( le calcul est plus rapide ) Calcul de an.a_n ² ₀⁴ f t( ) cos(n t dt)

T 





^{, comme  2}_T^{ 2}₄^{ } ₂ , on obtient ¹ ₀⁴ ( ) cos( )

2 2

n

a f t nt dt





^.

La fonction ^{( )cos( )} 2 t f t nt

 est paire , donc on peut écrire :

4 1 3 4

0 0 1 3

1 1

( ) cos( ) cos( ) cos( ) (4 ) cos( )

2 2 2 2 2 2

n

n n n n

a f t t dt _ t t dt t dt t t dt_





 











 ^.

La première intégrale nécessite un intégration par parties, en posant : ^{u t( )t} ; ^{u t'( ) 1} et ^{'( ) cos( )} 2 v t _ n t

et ( ) 2 sin( )

2

v t n t

n



  . Il vient

 

1 1 1

0 0

0

1

0

2

1 1 2 2

cos( ) sin sin

2 2 2 2 2

1 2 3 2 2

sin cos

2 2 2

1 2 3 4

sin cos 1

2 2 2

1 sin 2

n n n

t t dt t t t dt

n n

n n

n n n t

n n

n n

n n

  

 

 

  

 

 





     

 

        

      

 

       

      

 

       

 

  

 

 

²

2 cos 1

2 n n





    

   

 

.

3 3

1 1

1 1 2 1 3

1 cos( ) sin( ) sin( ) sin( )

2 2 2 2 2 2

n n n n

t dt t

n n

   

 

   

       



La troisième intégrale nécessite un intégration par parties, en posant : ^{u t( ) 4 t} ; ^{u t'( ) 1} ; '( ) cos( )

2 v t _ nt

et ^{( ) 2 sin( )} 2

v t n t

n



  .il vient :

   

4

3

2

1 2 3 2 2

sin cos

2 2 2

1 2 3 4 3

sin cos 2 cos

2 2 2

n n

n n n t

n n

n n n

 

  

  

 

      

 

       

     

 

       



 

²

1 2 3 4 3

sin 1 cos

2 2 2

n n

n n

 

 

     

      

     

 

 

 

4 3 2

2

1 1 3 2 3

(4 )cos( ) sin 1 cos

2 2 2 2

1 3 2 3

sin 1 cos

2 2

n n n

t t dt

n n

n n

n n

  

 

 

 

     

 

        

     

 

       



et enfin

 

 

   

2

2

2 2

1 2 1 3

sin cos 1 sin( ) sin( )

2 2 2 2

1 3 2 3

sin 1 cos

2 2

2 3 2 3

cos 1 cos 1 cos cos 2

2 2 2 2

n

n

n n n n

a n n n

n n

n n

n n n n

a n n

   

  

 

 

   

 

 

     

         

     

 

       

          

           

   

   

2 2 2

2 2 4

2cos cos 2 2 2 cos 2 cos 1

2 2 2

n

n n n

a n

n n n

   

  

 

 

           

             

La fonction ^f étant continue , on peut écrire : 2 2 1

3 4 1

( ) cos 1 cos

4 n 2 2

n n

f t t

n

 







     

 



     ^.

1 2 2

4 4

cos 1

a 2

 

   

       ; 2 2

   

2

^{ }

2

4 1 2

cos 1 1 1

a 4 

  

       ;

 

3 2 2 2

4 3 4 4

cos 1 0 1

9 2 9 9

a 

  

    

       et 4 2

   

1 cos 2 1 0

a 4 

    .

2.

a. - Rest symétrique par rapport à 0 et pour tout t réel :

   

2 2 2 2

3 4 2 3 4 2

( ) cos cos cos cos ( )

4 2 4 2

t  t t t t t

   

   

   

           . donc ^ est paire On vérifie que ^est 4périodique : Pour tout t réel on a

   

 

2 2 2 2

2 2

3 4 2 3 4 2

( 4) cos ( 4) cos ( 4) cos 2 cos 4 ( )

4 2 4 2

3 4 2

cos cos ( )

4 2

t t t t t t

t t t

 

     

   

  

 

   

             

 

    

b. ^{'( ) 4}₂ ^{sin 2}₂ ^sin

 

^{2sin 2sin}

 

^{2 sin( ) sin}

2 2 2 2

t   t t t t t t

    

  

 

 

     

             

2 3

'( ) 2sin( ) cos

4 4

t t  t

 

  

   .Donc ^{'( ) 4sin 3 cos}

4 4

t t t

 

   

     ; ( ^{sin sin 2sin cos}

2 2

p q p q

p q      

   

'( ) 0t

  équivaut à ^{sin 3 0} 4 t

  

 

  ou ^{cos 0}

4t



  

 

  donc

3 3 4 2

0 2 2

4 4 3 3

t k ou t k donc t k

    

      



Ou 2 2 2

4 2 4 2 2

t k ou t k donc t k

     

        

 où kZ.

^{0 4} t 3

  ; 4

04t  3 4 3 et 3 3 4

0 4 t 4  3  donc ^{sin 3 0}

4 t

  

 

  et ^{cos 0}

4t

  

 

  sur [0; 4 / 3]. ^{4 2}

3 t ; ²

3 4t 4 2

 _{   } 

et ^{3 4 3 3 2 3}

4 3 4t 4 2

      

donc ^{sin 3 0} 4t

  

 

  et ^{cos 0}

4t

  

 

  sur ^{[ ;2]2}

3 . D’où le tableau de variation sur l’intervalle ^[0;2]

^{3 3}₂ ^1,0539 M 4

   ; ^{3 6}₂ ^0,142

A 4

  

et ^{3 2}₂ ^0,9526 B 4

   .

c.

2 2

 

3 4 2

( ) cos cos

4 2

t t t

 

 

 

   

  ;

 

^{0 3 4}₂^{cos 0}

 

²₂ ^{cos 0}

 

^{3 4}₂ ²₂ ^{3 6}₂ ^0,14

4 4 4

 ^{ } ^ ^{ } ^ ^{ } ^

 

2 2 2 2 2

1 3 4 2 3 4 3 1 3 1

cos cos 2 3 1 0,50

3 4 6 3 4 2 4

 

     

             

     

     

2 2 2 2 2

2 3 4 2 2 3 2 1 3 1

cos cos 0,65

3 4 3 3 4 4

 

     

           

     

     

 

^{1 3 4}₂^{cos 2}₂^cos

 

^{3 2}₂ ^0,9526

4 2 4

  

  

       

  ;

2 2 2 2 2

4 3 4 2 2 4 3 2 1 3 3

cos cos 1,0539

3 4 3 3 4 4

 

     

           

     

      .

 

2 2 2 2 2

5 3 4 5 2 5 3 2 1 3 1

cos cos 3 2 3 1 1, 20

3 4 6 3 4 4

 

     

            

     

     

 

^{2 3 4}₂ ^cos

 

²₂ ^{cos 2}

 

^{3 4}₂ ²₂ ^{3 2}₂

4 4 4

  

    

       

4- valeur efficace .

3 1

2 1 2

2 2 2

0 0 1

0

1 1 1 1 1 1 1 2

2 ( ) 2 2 2 3 2 6 2 3

e

f f t dt t dt dt  t

         

  

  ^{. ; fe } ₃^{6 0,816.}

En appliquant la formule de Parseval avec les trois premiers harmoniques on trouve :

2

4 4 4

9 1 16 4 9 20

0,66515

16 2 16

   

 

      

  , ^0,816.on obtient la même valeur approchée

à 10^3près.

t 0 ⁴

3 2 '( )t

 0 + 0  

( )t

 M

A B

► La pièce présente les 2 défauts :

Les 2 défauts sont indépendants l’un de l’autre. Donc : p A



B



 p A

 

p B

 

0,03 0,07 0,0021 

► La pièce ne présente aucun des 2 défauts.

On a, pour la même raison :p A



B

    

 p A p B  

^

¹ p A

^{  }

 

^

¹ p B

^{  }

0,97 0,93 0,9021 

► La pièce présente au moins un des deux défauts.¹p A



B



 1 0,9408 0,0592

► La pièce présente un et un seul des deux défauts.p A



B

 

p AB



0,97 0,07 0,03 0,93 0,0979    En résumé on a la répartition suivante :

A A Total

B 0,0021 0,0679 0,07

B 0,0279 0,9021 0,93

Total 0,03 0,97 1

2.a. Quelle est la loi suivie par X ?

Les 250 tirages sont assimilés à des tirages avec remise. Il sont donc indépendants.

À chaque tirage, il y a 2 issues possibles :

La pièce présente le défaut a avec une probabilité de 0,03 ("succès") La pièce ne présente pas le défaut a avec la probabilité 0,97 ("échec") Ce sont donc 250 épreuves de Bernoulli qui sont répétées.

Donc X suit la loi binomiale de paramètres n=250 et p=0,03 :^B



^250;0,03



.

b. On approche la loi suivie par X par une loi de Poisson de paramètre    n p 250 0,03 7,5  . Le choix du paramètre ^{ 7,5} se justifie par le fait que :.

D’après la table de la loi de Poisson de paramètre ^{ 7,5}:

^{p X}



^3



^{ p X}



^0



^{ p X}



^{ 1}



^{p X}



^2



^{ p X}



^3



avec

 

! e k

p X k

k

 

 

 

On obtient :



⁰



^{7,5 (7,5)0 7,5 5,5 10 4}

0!

p X e e

   

     ;



¹



^{7,5 (7,5)1 7,5} 7,5 0,00415

1!

p X e e

  

    



²



^{7,5 (7,5)2 7,5}

 

^{7,5 2 0,01555}

2!

p X  e^  e^   et



³



^{7,5 (7,5)3 7,5} 7,5 0,03888 3!

p X  e^  e^   Donc p X



³



0,00055 0,00415 0,01555 0,03888 0,059 0,06    

3.a. Quelle est la loi suivie par Z ?

Pour les mêmes raisons qu’en 2a), Z suit la loi binomiale de paramètres n=250 et p=0,07 : ^B



^250;0,07



. On approche la loi suivie par Z par le loi N(17,5;4,03).

Nous savons qu’une loi binomiale B peut être approchée, sous certaines conditions, par la loi normale de paramètres m=n×p et   n p  (1 p).

Or :m n p  250 0,07 17,5  , et  n p  (1 p)  250 0, 07 0,93 4, 03   . ce qui justifie ces paramètres. La loi suivie par la variable T est N(17,5;4,03).

Posons 17,5 4,03

T  Z . On se ramène ainsi à la loi normale centrée réduite.

On a :

 

17,5 20 17,5 2,5

 

20 0,62 0,7642

4,03 4,03 4,03

p Z  pZ    p T   p T 

   

 

^{15 17,5} 17,5 20 17,5 2,5 2,5

 

15 20 0,62 0,62 2 (0,62) 1

4,03 4,03 4,03 4,03 4,03

p  Z  p  Z    p  T  p   T   

    .

Soit p



¹⁵ Z ²⁰



 2 0, 7642 1 0,5284  .