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Exercice 2-bts-2007 : 12 points

Dans ce problème, on s’intéresse à un filtre modélisé mathématiquement par l’équation différentielle suivante : '( ) ( ) ( )

(0) 0

s t s t e t s

 

 

 ;

La fonction e représente l’entrée aux bornes du filtre et la fonction s la sortie.

On admet que les fonctions e et s admettent des transformées de Laplace respectivement notées E et S.

La fonction de transfert H du filtre est définie par : S(p)= H(p)×E(p).

On rappelle que la fonction échelon unitéU est définie par : ( ) 0 0

( ) 1 0

t si t

t si t

 

  

 U U Partie A

1. Montrer que : 1

( ) 1

H p  p

 ..

2. La fonction e est définie par : ^{e t( )t}U ^{( ) (t  t 1)}U ^(t1). a. Représenter graphiquement la fonction e.

b. Montrer que : 2

 

( ) 1 1 ^p

E p e

p

   .

c. En déduire^{S p( )}.

d. Déterminer les nombres réels a, b et c tels que : ₂ 1 ₂ ( 1) 1

a b c

p p

p p  p  

  e. En déduire l’original s de S.

f. Vérifier que :

( ) 0 0

( ) 1 0 1

( ) 1 (1 ) 1

t t

s t si t

s t t e si t

s t e e si t





 



    

    



3. a. Comparer ^s

 

^{1 et s}

 

^1

b. Calculer ^{s t'( )}et étudier son signe sur les intervalles ^]0;1[ et^]1;[. c. En déduire le sens de variation de la fonction s sur l’intervalle ^]0;[. d. Déterminer la limite de la fonction s en .

Partie B

On note j le complexe de module 1 et d’argument .

On prend ^{p j} où ^ désigne un nombre réel positif. On a alors : 1 ( ) H j 1

  j

 . On munit le plan d’un repère orthonormal ( ; , )O i j^{ } d’unité graphique 10 cm.

1. Montrer que l’ensemble () des points m d’affixe ^{z  1 j} lorsque^décrit l’intervalle ^]0;[ est une demi-droite que l’on caractérisera.

2. Quel est l’ensemble (C ) des points M d’affixe 1 Z 1

 j

  lorsque^décrit l’intervalle ^]0;[? 3. Représenter, dans le repère ( ; , )O i j^{ } les ensembles () et (C ).

CORRECTION

1°. En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l'équation différentielle (E), on obtient: ^^{ds t}_dt^{( )s t( )}^

 

^{e t( )}

 

L L . La transformation de Laplace étant linéaire, l'égalité devient :

   

( ) ( ) ( )

ds t s t e t

dt

 

 

 

 

L L L où ^{S p( )}est défini au1°, donc^{pS p( )S p( )E p( )} d'après la question 2° a), donc



^{p1 ( )}



^{S p E p( )} et ^{S p( )}



^{E pp( )1}



^.donc H p^{( ) 1}1

 p

 2°.a. e t^{( )}tU ( ) ( 1) ( 1)t  t U t :

t ^ 0 1 ^

( )

tU t 0 ^t t

(t 1) (t 1)

  U  0 0  (t 1)

( )

e t 0 ^t 1

f(t) = 0 pour tout t de ^{] ;0]}, f(t) = t pour tout t de ^{[0 ;1[},

f(t) = 1 pour tout t de ^[1;[. Comme ^{f(1) 1} , ^{f t( )t}pour tout t de l'interva1le fermé ^{[0 ;1]}. Représentation graphique

2° b)

 

   

( ( )) ( ) ( 1) ( 1)

( ( )) ( ) ( 1) ( 1)

e t t t t t

e t t t t t

   

   

L L

L L L

U U

U U



^{t ( )t}



¹₂

 p

L U et



^{( 1) ( 1)t t}



¹₂^{e p}

p

   

L U ,

donc 2 2 2

 

1 1 1

( ( ))e t e ^p 1 e ^p

p p p

 

   

L

2.c. ^{S p( )} désignant la transformée de Laplace de la fonction ^s, la transformée de Laplace de la fonction s': ( )

( ) (0 )

ds t pS p s

dt

   

 

 

L . Dans le formulaire on lit que la transformée de Laplace de f’ est ^L



^{s t'( )}



^{ pS p( )s(0 ) , où S}est la transformée de Laplace de ^s.

Comme _{s(0 ) 0}^ _ ; ( ) ds t ( )

dt pS p

 

 

 

L . On adopte ici des notations usuelles sans perdre de vue que, dans la transformation de Laplace, L opère sur la fonction s'et non sur le nombres t'( ).

En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l'équation différentielle (E), on obtient: ^{ds t( ) s t( )}

 

^{e t( )}

dt

  

 

 

L L . La transformation de Laplace étant linéaire, l'égalité devient ^^{ds t}_dt^{( )}^

 

^{s t( ) }

 

^{e t( )}

 

L L L où ^{S p( )}est défini au 1°, donc ^{S p( )}



^{E pp( )1}



^.

2 3

-1 0 1

1

x y

Vu l'expression de^{S p( )}demandée dans l'énoncé, on obtient : ^{( )}



^{( )1}



⁽¹²



¹⁾



E p e p

S p p p p

 

 

  .

Ou encore ^{( ) 2}



^{1 1}



²



¹



e p

S p p p p p

  

 

 

   

 .

2.d. pour tout ^préel non nul et différent de -1 ,

2 2

2 2 2

1 ( 1) ( 1) ( ) ( )

( 1) 1 ( 1)

a p bp p cp b c p a b p a

p p

p p p p p

     

   

  

cette dernière fraction est égale à ₂ ¹ ( 1)

p p pour tout ^pde ^{R }



^{0; 1}



si et seulement si les deux numérateurs sont égaux pour tout p de ^{R }



^{0 ; 1}



, puisque les dénominateurs sont les mêmes.

Or ces deux numérateurs sont des polynômes qui sont égaux si et seulement si les coefficients de leurs monômes de même degré sont égaux .d’où :

0 0 1 b c a b a

  

  

 



qui est équivalent à 1

1 1 c b a

   

 

 .

e. Reprenant l’expression de ^{( ) 2}



^{1 1}



²



¹



^{12 1 11 12 1 11}

p p

S p e e

p p p p

p p p p p p

 

   

 

            

^{s t( )}étant l’original de ^{S p( )}, on en déduit en utilisant la linéarité de L ^1 :

¹ 1₂ ¹ 1 ¹ 1 ¹ 1₂ 1 1

( ) 1 1

s t e p

p p p p

p p

            

 

              

L L L L .

Or ^{1 1}₂ ^{t ( )t} p

  

 

 

 

L U ; L ^{1 }   ¹_p ^U ^{( )t} et L ^1 _p¹₁^^etU ^{( )t} ( voir formulaire )

Pour déterminer ¹ 1₂ 1 1 1

e p

p p

p

   

    

   

 

L , on pose 1₂ 1 1

( ) 1

G p  p  p p

 et on remarque que l’on connaît l’original g de G : g t( ) (  t 1 e^t) ( )U t . Or L( ( )G p e^p)g t( 1) (U t1)

Dans le formulaire on lit que l’original de F p e( ) ^{a p} est ^{f t a(  )U (t a )} ici ^a1 . Donc ^1_^_{ p}^{12  1}_{p p}¹_1^_^ep_^



^{( 1) 1t  e( 1)t}



^{( 1)t}

 

 

L U .

En définitive , ^{s t( ) (  t 1 et) ( )U t }



^{(t  1) 1 e ( 1)t}



^{U (t1).}

2.f. Si ^t0 , alors ^{U ( ) 0t } et ^{U (t 1) 0}, donc ^{s t( ) 0} .

Si ^{0 t 1}, alors ^{U ( ) 1t } et ^{U (t 1) 0}, donc s t( )  t 1 e^t. Si ^t1, alors ^{U ( ) 1t } et ^{U (t 1) 1}, donc s t( ) 1 (1  e e) ^t. 3.a .

 

¹ lim ( ) lim_{1 1}



1 ^t



1 1 ^{1 1}

t t t e

s ^ _s t _ e^ e

 

 

        .

 

¹ lim ( ) lim_{1 1}



1 (1 )



1 (1 ) ¹ 1 ^{1 1} 1 ¹ 1 ¹

t

t

s ^ _s t t _ e e^ e e^ e^ ee^ e^ e^

 

             

Donc ^s

   

^{1 s 1 e1}et par conséquent ^s est continue en 1.

3.b&c pour tout t de ^{]0 ;1[}, s t'( ) 1 e^t. Et sur ^]1;[ s t'( )  (1 e e) ^t

or ^t0donc ^{ t 0}donc e^t e⁰ car la fonction exponentielle est strictement croissante sur R . donc ^{s t'( ) 0} pour tout t de ^{]0 ;1[}, car e⁰1.^sest donc strictement croissante sur ^{]0 ;1[}.

Pour ^t1 ; s t'( ) ( e 1)e^t, on en déduit que ^{s t'( ) 0} pour tout ^t1, donc^sest croissante sur ^[1;[. t  0 1 ^

'( )

s t 0 0 + _1e^1 + ( )

s t 1 0 0 e^1

3.d _t^{lim 1 (1 e e) t 1} car _t^{lim et 0}

La représentation graphique de la fonction ^sadmet la droite d’équation ^y1 comme asymptote horizontale

3.e. représentation graphique de la fonction ^s en repère orthonormal.

^{0 1 2 3 4}

1

x y

Partie B

1. ^{H j( )}_1¹_j , puisque ^{p j}. lorsque  décrit l’intervalle ^{]0 ;[} ; ^{z 1 j}a une partie réelle fixe et égale à 1, sa partie imaginaireparcourt R . Donc l’ensemble des points ^mdu planP , d’affixe ^{z 1 j} lorsquedécrit l’intervalle ^[0;[est la droite d’équation :x1.

2.^{H j( ) 1}_{2 1}¹_j^{  1}₂ ^{1 2 1}_{2 1}^{ }_{ j}^{j  1 1}_{2 1}^_ ^j_j^_ , ( ) ^{1 1} 2 2 H j z

  z

 . donc ( ) ^{1 1 1}

2 2 2 2

z z

H j   z  z  , on sait que l’ensemble du point M d’affixe Ztel que ^{Z a r}est le cercle C de centre A d’affixe a et de rayon ^r.donc l’ensemble du point M d’affixe^Z ^{H j(} ⁾ est le cercle C de centre A d’affixe ¹

2et de

rayon ¹

r2 privé de l’origine du repère O .

^{H j( )}_1¹ _j^1₂^{j 1 1}_{2 2} ^j ; ^{H(2 )j }_{1 2}¹ _j^{1 2}₅ ^{j  1 2}_{5 5} ^j.

^{( 3) 1 1 3 1 3}

4 4 4

1 3

H j j j

j

    



^{( 2) 1 1 2 1 2}

3 3 3

1 2

H j j j

j

    

 .

^{( ) 1 1}

2 2

H j   ; ^{( 3) 1 1}

2 2

H j   ;

1 1

( 2)

2 2

H j   et ^{(2 ) 1 1}

2 2

H j   , et tous les points correspondants appartiennent au cercle C de centre A d’affixe ¹

2et de rayon ¹

r2. 3.

x = 1

(C)



0 1

1

x y

A

M₁

m₁ m₂

M₂