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Dm mathématiques BTSG2O 2008-2009 On se propose de retrouver un certain nombre de résultats concernant les modèles de représentation les plus courants, utilisés en régulation industrielle.

Première partie : Modèle du premier ordre.

On définit la fonction de transfert (ou transmittance) d'un système du premier ordre par :^{F p( )}_{1 }^K _p Où K et τ sont deux constantes réelles positives, K est appelé le gain statique et τ la constante de temps du modèle, τ est homogène à un temps.

Le signal d'entrée est noté e(t), le signal de sortie est noté ^{s t( )}. Leurs transformées de Laplace sont notées^{E p( )}et ^{S p( )}. On rappelle que dans ces conditions on a : ^{S p( )F p E p( ) ( )}.

1) Sachant que ^{s(0) 0} , écrire l'équation différentielle liant ^{s t( )} et ^{e t( )}.

2) On prend comme signal d'entrée un échelon d'amplitude E, E réel positif, tel que ^{e t( )EU( )t} où U^{( )t} désigne la fonction échelon unité

a. Déterminer ^{E p( )}, ^{S p( )} .

b. Décomposer S(p) en éléments simples.

c. En déduire que : s t( )KE(1e^{ t/} ) ( )U t 3) a. Calculer lim ( )

l t s t

 

b. Calculer s(τ)

c. Etudier les variations de

s

.

d. Ecrire une équation de la tangente (T) à la courbe représentative (C 1) de

s

au point d'abscisse t = 0.

e. Déterminer l'abscisse du point d'intersection de (T) avec la droite d'équation y = l.

f. Expliquer comment les résultats précédents permettent d'identifier les paramètres K et τ du modèle 4) Le signal d'entrée est maintenant une rampe telle que : ^{e t( )a t}U^{( )t} , a étant une constante réelle positive. On prend toujours ^{s(0) 0} .

a. Déterminer E p( ), S p( ) puis s t( ). b. Etudier les variations de

s

.

c. Ecrire une équation de l'asymptote () à la courbe (C 2) représentant

s

au voisinage de ^.

d. Expliquer comment les résultats précédents permettent d'identifier les paramètres K et τ du modèle.

Deuxième partie : Modèle du deuxième ordre.

On définit la fonction de transfert (ou transmit tance) d'un système du deuxième ordre par :

²

0 20

( ) 2 1

1 F p K

p p

   

 

où K, , et 0sont des constantes ; est le coefficient d'amortissement et 0 la pulsation propre du circuit.

1) On suppose avoir : ^{s(0) 0} et^{ds(0) 0}

dt  . Ecrire l'équation différentielle liant ^{s t( )} à ^{e t( )}.

2) On prend comme signal d'entrée un échelon d'amplitude E, E réel positif, tel que ^{e t( )EU( )t} où ^{U( )t} désigne la fonction échelon unité. On étudie le régime critique, correspondant à λ = 1.

a. Déterminer ^{E p( )}, ^{S p( )} .

b. Décomposer^{S p( )}en éléments simples.

c. En déduire que : s t( )KE(1B t e( ) ^0t) ( )U t où ^{B t( )}est une fonction de t qu'on déterminera.

3) Etudier les variations de s(t) et donner l'allure de la représentation (C 3) de

s

. 4) La courbe permet-elle une d'identifier facilement les paramètres K et 0 ?.

Solution Première partie

1. Avec^{s(0) 0} , on sait L ( '( ))s t  pS p( )s(0 )^  pS p( ).La fonction de transfert donne successivement ^{S p( )(1}^p)^{E p( )}^{S p( )}^{S p( )}^{E p( )} , soit ^{s t( )}^{s t'( )}^{e t( )}.

2. Soit ^{e t( )E}U ^{( )t} . ( ) E

E p  p,on a :^{S p( )F p E p( ) ( )} donc ( )

(1 )

S p KE

p p

  . par la méthode de

multiplication on trouve : ( )

(1 ) 1

KE KE KE KE

S p p p p

p







   

  

  

 

.

( ( ))S p s t( )

 

L ; ( ( ))

1 1

KE KE KE KE

S p p p

p p

 

   

   

     

   

         

L L L L

KE ( )

KE t p

 

 

 

L U et

1 KE t

KEe p





 

 

 

  

 

  

 

 

L , donc ( ) 1 ( )

t

s t KE e^ t

  

 

 

 

 

U

3. étude des : lim ( ) lim 1 1

t

t s t t KE e^ KE



 

 

 

   

 

 

; ( )s KE 1 e KE(1 1/ )e



 

  

 

   

 

 

.

'( ) 0

KE t

s t e^





  , donc la fonction s est croissante de 0 à KE d. on a '(0) KE 0

s    , donc l’équation de la tangente (T) s’écrit KE

y t

  . e. T coupe l’asymptote lorsque KE

KE t t 

   

f. Connaissant E l’ordonnée de l’asymptote donne K . En traçant la tangente en O et en repérant l’intersection de cette tangente et de l’asymptote on obtient 

4. Réponse à une rampe a. ( ) a₂

E p  p en reprenant la fonction de transfert on trouve : ( ) ₂

(1 )

S p Ka

p p

  on décompose ^{S p( )}

et on obtient :

2

2 2

1 1 1

( ) (1 ) ( 1)

Ka Ka KE

S p Ka

p p p p p p

 

 



 

 

        

   

.avec cette dernière forme on a

immédiatement



^{( )}



^{1 1}₂ ¹ ₁

( )

S p Ka

p p p

 



 

  

  

 

    

   

  

 

L L



^{( )}



^{1 1}₂ ¹₁ ^{1 1}₂ ¹₁

( ) ( )

S p Ka Ka Ka Ka

p p p p p p

   

 

 

    

   

       

              

L L L L L

D’où ( ) 1 ( )

t t

s t Ka e^ t



  

 

  

 

 

U

Variation de s

'( ) 1 1 1 0

t t

s t Ka e^ Ka e^

 

 

   

   

    

   

   

, donc la fonction s est croissante sur ^[0;[ et la courbe admet en O une tangente horizontale car : ^s'(0)Ka

 

^{1e0 0.}

De plus lim ( ) lim 1

t

t t

s t Ka t e^





 

 

 

     

 

  puisque lim 0

t

t e^



  .

c. On peut en déduire que la droite d’équation ^{y Ka t}



^



est asymptote à la courbe .

d. L’intersection de l’asymptote avec l’axe des abscisses donne la valeur de  . Connaissant a le coefficient directeur de cette asymptote donne K .

Deuxième partie

1.On sait que L ( "( ))s t  p S p² ( )ps'(0 )^ s(0) p S p² ( )et L ( '( ))s t  pS p( )s(0 )^  pS p( ) car les conditions initiales sont nulles donc Soit ^{e t( )EU ( )t} . ( ) E

E p  p ,on a.

²

0 20

( ) ( ) ( ) ( )

2 1

1 S p F p E p KE p

p p

    

 

2

0 02

2 1

( ) 1 ( )

S p   p p  KE p

   

   

 

₂ ² ₂

0 0 0 0

2 1 2 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) "( ) ( )

S p  pS p p S p KE p s t s t s t Ke t

      

   

Etude du régime critique a. soit 1 ; ( ) E

E p  p , donc

 

02

2 2

2 0

0 02 0

( )

2 1 1

1 1

KE KE KE

S p

p p p p p p p

   

      

      

      

 

b . la décomposition de ^{S p( )}s’écrit

   

20 0

2 0 2

0 0

1 1

( ) KE

S p KE

p p

p p p

 

   

           

c.

 



⁰



²



⁰



²

0 0 0 0

1 1 1 1

( )

S p KE KE KE KE

p p p p p p

 

   

                 

L L L L L

d. la décomposition précédente donne :



^{0 0 0}

 

^{0 0}



( ) 1 ^{t t} ( ) 1 (1 ) ^t ( )

s t KE e^  t e^ U t KE   t e^ U t ce qui est la forme cherchée . d. variation de s



^{0 0 0 0 02 0}

 

^{02 0}



'( ) ^{t t t t} 0

s t KE  e^  e^  t e^ KE  t e^  . s t'( ) 0  t 0

De plus _t^{lim ( )s t }_t^{lim KE}



^{1e0t0t e0t}



^KE. Donc la fonction s _{de 0 à KE} et admet en O une tangente horizontale .K se détermine à l’aide de l’asymptote horizontale . Pour avoir 0

Il faut faire intervenir la dérivée seconde qui donne l’abscisse du point d’inflexion ( point en lequel la courbe change de concavité : voir cours .



^{02 0 03 0}



^{02 0}

^

⁰

^

''( ) ^{t t t} 1

s t KE  t e^  t e^ KE e^  t : 0

0

"( ) 0 1 0 1

s t  t t

      .

On considère les deux suites ^{( )}un et ^{( )}vn définies, pour tout entier naturel n, par :

0

1

3 2

n n

n

u

u v u _

 

 

  et

0 1 1

4 2

n n

n

v

u v

v _ ^

 

 

  .

1. Calculer u v u v1, ,1 2, 2.

2. Soit la suite ^{( )}wn définie pour tout entier naturel n par wn vnun. a. Montrer que la suite ^{( )}wn est une suite géométrique de raison ¹₄. b. Exprimer wn en fonction de n et préciser la limite de la suite ^{( )}wn .

3. Après avoir étudié le sens de variation des suites ^{( )}un et ^{( )}vn , démontrer que ces deux suites sont adjacentes. Que peut-on en déduire ?

4. On considère à présent la suite ^{( )}tn définie, pour tout entier naturel n, par n ⁿ ₃²ⁿ

u v

t 

 .

a. Démontrer que la suite ^{( )}tn est constante.

b. En déduire la limite des suites ^{( )}un et ^{( )}vn . Correction

1. 1 ^{0 0} 1 ^{1 0} 2 ^{1 1} 2 ^{2 1}

7 15 29 59

, , ,

2 2 2 4 2 8 2 16

u v

u v u v u v

u  v  u  v 

        .

2. a. 1 1

1 1 1

2 1

2

2 2 2 2 4 4 4

n n

n n n n n n n n n n n n

n n n n

u v

u v u v u u u u v u v u

w _ v _ u _ ^{ } w

 

     

         .

b. w0v0u0  4 3 1 donc ^{1. 1 1}

4 4

n n n

w   ; sa limite est évidemment 0.

3. On a vu que ¹ 1 0

2

n n

n

u u

 w



   donc un est croissante ; par ailleurs wnvnun⁰ donc unvn ; enfin

1 1 1 1 1( 1 ) 1( ) 1( ) 0

2 2 2 2 2 4

n n

n n n n n n n n n n

u v

v_ v u_ v v u_ v  v u v

           donc vn est décroissante.

Il reste à montrer que _n^lim(_^{unvn) 0} or c’est justement la limite de wn. Les suites ^{( )}un et ^{( )}vn convergent donc vers la même limite (inconnue pour l’instant…).

4. a. 1 ^{1 1 1}  

2 1 1 1

2 2

3 3 2 2 3 2 2 3

n n n n n n n n n n

n n n n n

u v u v u v u v u v

t_  ^  ^     ^       v  u  v t

    . On a donc

0 0

1 7

( )

3 3

tn u v  .

b. Les suites ^{( )}un et ^{( )}vn ont même limite l donc à l’infini, en remplaçant dans tn : ^{7 1}_{3 3}^{ ( 2 )l l  l 7}₃.