1, démontrer que l’expression a b a b a

A2849–Comme des gigognes [** à la main]

G₁ - a et b étant deux entiers distincts > 1, démontrer que l’expression a b a b a... dans laquelle il y a une infinité de radicaux a b imbriqués les uns dans les autres converge vers une limite L.

Déterminer les couples (a,b) tels que :

1) L prend la valeur entière la plus petite possible 2) L = 202

G₂ - On considère l’expression A_k = 2 – 2 2 2... 2 2 dans laquelle les radicaux 2 sont imbriqués les uns dans les autres k fois. Déterminer k de sorte que l’écriture décimale de Ak contient 2021 zéros après la virgule suivis du chiffre 4..

Solution proposée par Jean Nicot

La fonction Fk(a,b) avec k radicaux croît si k augmente puisque a et b sot supérieurs à 1.

F_k(a,b) < F_k(c,c) si c > max (a et b). F_k(c,c) a une limite M telle que M= soit M=c F_k(a,b) croissante et iinférieure à c a donc une limite L

L= ou L⁴ =a²bL ou L³ = a²b

Q1-1 L aura la plu petite valeur possible si a<b et a et b les plus petits possible, donc a=2 L³ =4b sera un cube si b est le double d’un cube donc b=16 et alors L = 4

Q1-2 L=2021 si a²b = 2021³ = 43³ *47³ La plus faible valeur pour a est donc 43 et b= 43*47³ =2021*47²

Q2 La limiite N de l’expression avec une infinité de radicaux est N = = 2 A(k+1)=

=

=

A(k+1) =

=

≈ 0,5857864376269049512 =A(1)

0,1522409349774264878 =A(2) 0,0384294391935391018 =A(3) 0,0096305466556062275 =A(4) 0,0024090875896552146 =A(5) 0,0006023626075915598 =A(6) 0,0001505963217109182 =A(7) 0,0000376494347977147 =A(8) 0,0000023530965961802 =A(9)

0,0000005882742355617 =A(10)

0,0000001470685642977 =A(11) A(11)/4=0,0000000367671410744 0,0000000367671414124 =A(12) A(12)/4= 0,0000000091917853531 0,0000000091917853742 = A(13)

0,0000000022979463449 = A(14)

0,0000000005744865863 = A(15) A(15)/4=0,0000000001436216466 0,0000000001436216466 =A(16) A(16)/4= 0,0000000000359054117 0,0000000000359054117 =A(17) A(17)/4==0,000000000008976353

L’approximation du quart devient correcte à 10^-18 près à partir de A(15) et de plus en plus correcte au- delà.

Pour avoir A(K)=4*10^-2022= A(17)* 0,25^-(K-17) en tenant compte des 17 radicaux de A(17) On obtient K en prenant les logarithmes décimaux

log(4)-2022 =log(A(18))-( K-17)log(4) ou ( K-16) log(4) = log(A(18))+2022

d’où K=16+((2022--10,4448400891843223338) /(0,6020599913279623904 )=3357,12 avec K=3358 comme valeur entière par excès.

Les approximations du début font que la décimale 4 n’est pas garantie.