A541. Deux nombres miroirs ****
On recherche les entiers k, m et n avec k > 1 et m ≠ n tels que les représentations décimales des deux nombres km + 1 et kn + 1 se déduisent l’une de l’autre par inversion de l’ordre de lecture des chiffres.
Démontrer que k prend une valeur unique et déterminer un triplet (k,m,n) qui satisfait cette condition.
k=3 (valeur unique) et une solution est (3,3,4)
Soient n un nombre et n sont « retourné » (le nombre lu dans l'autre sens) Posons : a=km+1 et b=kn+1 avec m>n
Remarque 1 : ∣n−n∣ est un multiple de 9
Remarque 2 : k<10 sinon a et b n'ont pas le même nombre de chiffres.
Remarque 3 :
Si k=2 , m=n+1 ou m=n+2 ou m=n+3 sinon a et b n'ont pas le même nombre de chiffres
Si k=3 , m=n+1 ou m=n+2 sinon a et b n'ont pas le même nombre de chiffres
Si 3<k<10 , m=n+1 sinon a et b n'ont pas le même nombre de chiffres
Remarque 4 : le seul k qui peut donner une solution est k=3 En effet :
a−b=km−kn doit se diviser par 9
Cas 1 : k=2
a−b=2x(2−1) ou a−b=2x(22−1) ou a−b=2x(23−1) aucun des nombres a−b se divise par 9. Donc k≠2 Cas 2 : k=4
a−b=4x(4−1) a−b ne se divise pas par 9. Donc k≠4
Idem pour k=5,6,7,8
Cas 7 : k=9
a=9x+1+1 et b=9x+1
a se termine soit par 0 soit par 2
si a se termine par 0, b se termine par 2 si a se termine par 2, b se termine par 0 a ne peut être le retourné de b
Reste : k=3 Unique solution pour k
Pour k=3 il existe une solution : 82=34+1 et 28=33+1 => triplet (3,3,4)
