a − b = 4 ( 4 − 1 ) a − b = 2 ( 2 − 1 )

A541. Deux nombres miroirs ****

On recherche les entiers k, m et n avec k > 1 et m ≠ n tels que les représentations décimales des deux nombres k^m + 1 et kⁿ + 1 se déduisent l’une de l’autre par inversion de l’ordre de lecture des chiffres.

Démontrer que k prend une valeur unique et déterminer un triplet (k,m,n) qui satisfait cette condition.

k=3 (valeur unique) et une solution est (3,3,4)

Soient n un nombre et n sont « retourné » (le nombre lu dans l'autre sens) Posons : a=k^m+1 et b=kⁿ+1 avec m>n

Remarque 1 : ∣n−n∣ est un multiple de 9

Remarque 2 : k<10 sinon a et b n'ont pas le même nombre de chiffres.

Remarque 3 :

Si k=2 , m=n+1 ou m=n+2 ou m=n+3 sinon a et b n'ont pas le même nombre de chiffres

Si k=3 , m=n+1 ou m=n+2 sinon a et b n'ont pas le même nombre de chiffres

Si 3<k<10 , m=n+1 sinon a et b n'ont pas le même nombre de chiffres

Remarque 4 : le seul k qui peut donner une solution est k=3 En effet :

a−b=k^m−kⁿ doit se diviser par 9

Cas 1 : k=2

a−b=2^x(2−1) ou a−b=2^x(2²−1) ou a−b=2^x(2³−1) aucun des nombres a−b se divise par 9. Donc k≠2 Cas 2 : k=4

a−b=4^x(4−1) a−b ne se divise pas par 9. Donc k≠4

Idem pour k=5,6,7,8

Cas 7 : k=9

a=9^x+1+1 et b=9^x+1

a se termine soit par 0 soit par 2

si a se termine par 0, b se termine par 2 si a se termine par 2, b se termine par 0 a ne peut être le retourné de b

Reste : k=3 Unique solution pour k

Pour k=3 il existe une solution : 82=3⁴+1 et 28=3³+1 => triplet (3,3,4)