Travaux dirigés - Introduction à la Physique des Matériaux

(1)

Département de Physique Semestre 6

Travaux dirigés - Introduction à la Physique des Matériaux Correction de la série 5 : Phonons et vibrations des réseaux

Exercice 1 : Vibration dans la direction [100] du polonium Po

1. Si une vibration se propage dans ce cristal suivant une direction donnée [100] tous les plans perpendiculaires à cette direction se déplacent en phase et on peut décrire le déplacement par une seule coordonnée up le déplacement d’un plan p par rapport à la position l’équilibre.

2. Soit C_s la constante de rappel entre le plan p et le plan p+s, p est soumis à l’action de tous les plans s, sp :

 

p s p s p

s p

F C u _ u









up+s déplacement du plan p+s par rapport à la position d’équilibre et up déplacement du plan p par rapport à la position d’équilibre.

3. Soit U(R) l’énergie potentielle d’interaction, U(R) est continue et indéfiniment dérivable. Pour un petit déplacement r autour de la position d’équilibre R = R0 on peut remplacer U(R) par l’expression de son développement limité au voisinage de R₀ :

 

0 0

2 2

0 2

1

. 2 . ...

r r r r

dU d U

U R U R R R

dR dR

 

 

 

       

U(R) est une fonction paire donc les termes d’ordres impairs sont nuls, il vient :

 

0

2 2

0 2

1

2 . ...

R R

U R U R R d U

 dR



 

    

 

La force F de rappel dérive de l’énergie potentielle on a alors :

  F dU

d R

 

0

2 2

R

dR R

U R d F

 



 



 

  . En utilisant la définition de la force de rappel :

s. F C R L’identification des deux expressions donne :

0

2 s 2

R R

C d U

dR _

 

  

 

4. Soit M la masse d’un atome de polonium dans le plan p, la deuxième loi de Newton donne :

 

2 2

p

s p s p

s p

M d u C u u

dt 



_ ^  ⁽¹⁾

5. On cherche des solutions de l’équation précédente sous forme d’onde plane monochromatique :

 

0exp

up u ipkr i t 

 

0exp

up s_ u i ps kr i t  

k

Plan p a

u₁

u₂ u-1

u_-2

(2)

On calcule :

 



0exp



. exp

   

exp

 

p s p

u _ u  u i t  i ps ka  ipka 

 

   

2

2^p 0exp . exp

M d u M u i t ikpa

dt      La relation (1) devient :

 

    

 

      

2

0exp . exp 0exp . exp _s exp 1

s p

M u i t ikpa u i t ipka C iska

  



      



 ^¨

On simplifie le terme :



u0expi t 



. exp

^

ikpa

^

 et on obtient :

 

2 _s 1 exp

s p

M C iksa











 

   ^ ^ 

1 2

1

1 exp 1 exp

s s

M C iksa C iksa



 



 





  





Or C-s = Cs. D’où :

 

   ^ ^ 

2

1

1 exp 1 exp

s s s

M C iska iska







 





     

   

 

2

1

2 exp exp

s s s

M C iska iska







 





    

 

 

2

1

2 2cos

s s s

M C ska











 

 

2

1

2 1 cos

s s s

C ska

 M









6. Si on se limite au premiers proches voisins (s = 1) on obtient :

   

2 2 1

1 cos

C ka

  M  Or pour tout nombre réel 

1 2 2

cos .sin ^{ }2

   

 

2 4 1 2

sin 2

C ka

  M ^ ^ 4 1

sin 2

C ka

 M ^ ^ 7. Si on calcule

 

1 exp

p p

u ika

u

 

Le domaine des valeur des vecteurs d’onde ayant une signification physique est tel que :

 ka 

   a k a

 

  

C’est-à-dire que les valeurs de k appartiennent à la première zone de Brillouin. La valeur maximale est de l’ordre de 10⁸ cm^-1. On considère les fonctions :

2

 

 f k

 = sin²ka

 

(3)

 

4 1 g k C

M

  =

sinka2 

 

 

Les deux fonctions sont périodiques et de période égale à la longueur de la première zone de Brillouin.

k (cm^-1) 0.0

0.5 1.0

f(k)

a 

a ^a

k (cm^-1) 0.0

0.5 1.0

g(k)

a 

a a

On remarque que pour ka << 1 c’est-à-dire  >> a qui correspond à l’approximation continue, la pulsation  est proportionnelle à k.

8. La vitesse d’un paquet d’onde est la vitesse de groupe, définie par :

 

vg grad k

Relation valable à deux ou trois dimensions. Cette vitesse est la vitesse de transmission de l’énergie dans le milieu. A partir de l’expression de  on peut calculer vg :

2 1

cos 2

g

C a ka

v M

 

   La figure suivante représente les variations de la fonction :

2

 

1

vg

h k C a

M

 =

coska2 

 

 

(4)

k (cm^-1) 0.0

0.5 1.0

h(k)

0 _ a

La vitesse de groupe est nulle à la limite de la première zone de Brillouin, ce qui dénote la naissance d’une onde stationnaire dans le cristal.

Exercice 2 : Bande interdite des phonons dans le chlorure de potassium KCl

1. Les résultats obtenus pour le chlorure de potassium sont : a. Réseau de Bravais C.F.C.

b. Le paramètre de la maille a = 6,30 10^-10 m.

c. Le plan d’indices de Miller (111) contient un seul type d’atome.

d. La distance séparant deux plans consécutifs contenant le même type d’atome est : 3

r a = 3,64 10^-10 m

2. Si une vibration se propage dans ce cristal suivant la direction [111] tous les plans perpendiculaires à cette direction se déplacent en phase et on peut décrire le déplacement par une seule coordonnée u_p d’un type de plan p par rapport à la position l’équilibre et vp le déplacement de l’autre type de plan p par rapport à la position l’équilibre.

[111]

On suppose que chaque plan n’interagit qu’avec ses deux plans adjacents, en appliquant la deuxième loi de newton à chacun des plans p on obtient :

 

2 2 1 2

2 1

2 2

p

K p p p

p

Cl p p p

m d u C v v u dt

m d v C u u v dt



   



   



3. On considère des solutions sous forme d’ondes planes monochromatique :

 

exp

u u i tpkr

k

plans p r up

vp

(5)

 

   

2

0 0 0

2

0 0 0

1 2

exp exp

K Cl

m u Cv ikr Cu

m v Cu ikr Cv



    



   



Soit :

   ^ ^ 

     

2

0 0

2

0 0

2 1 0

1 2 0

exp exp

K

Cl

m C u C ikr v

C ikr u m C v



     



   



C’est un système de deux équations à deux inconnues u0 et v0, pour qu’il admette des solutions non nulles il faut que le déterminant du système soit nul :

   ^ ^ 

     

2

2 1

1 2 0

exp exp

K

Cl

m C C ikr

C ikr m C



  

  

Soit :

   

4 2 2

2 2 1 cos 0

K Cl K Cl

m m   C m m   C  kr 

4. On effectue les changements de variable en fonction de  et M définies au début de la question 2. et on remplace le cosinus par le sinus. L’équation précédente devient :

1 4 2 2 2

2 4 0

sin kr2

M CM C

^     ^ ^ C’est une équation bicarré dont les solutions sont :

1

2 2 1 2 2

1 4

.sin kr2

C C M

   ^  ^ ^ ^^

1

2 2 1 2 2

2 4

.sin kr2

C C M

   ^  ^ ^ ^^ 5. Les représentations graphiques pour  sont données sur la figure suivante :

k



Branche des phonons optiques Branche des phonons acoustiques

0 (2C ) ^1/2

(2C/m

Cl)^1/2

(2C/m

K)^1/2

2r

6. D’après la figure précédente on voit qu’il existe un intervalle de fréquences à la limite de la première zone de Brillouin pour lequel la vibration ne peut pas se propager. La largeur de cette bande de fréquences est :

2 2

u d

Cl K

C C

m m

  

    

7. Dans le montage une impulsion ultrasonore est engendrée par le transducteur piézoélectrique, elle se

(6)

Connaissant l’épaisseur e du cristal et le décalage entre deux échos successifs on obtient :

-2 -6

2 2 1 00 10 2 40 10

,

s , v e



   = 8,33 10³ m.s^-1

Remarque : Pour la distance parcourue par l’impulsion ultrasonore il faut compter l’aller et le retour !

Pour déterminer , il faut déterminer la constante de rappel C. La vitesse du son le long de la rangée [111]

est égale au coefficient directeur de la tangente à l’origine (courbe en vert). On obtient : 2

s

v r C

 M

2

2 2

v Ms

C r On effectue une analyse dimensionnelle de C, on a alors :

[C] = M.T^-2 Donc C s’exprime en kg.s^-2 homogène au N.m^-1.

 

3 2 -3

23 -10 2

8 33 10 74 6 10 2 6,02 10 3,64 10

, ,

C 

   = 32,5 N.m^-1

On peut ainsi calculer :

23 -3

2 2 32 5 6 02 10

35 5 10

, ,

u ,

Cl

C

  m  ^ ^ = 3,32 10¹³ rad.s^-1

23 -3

2 2 32 5 6 02 10

39 1 10

, ,

d ,

K

C

  m  ^ ^ = 3,16 10¹³ rad.s^-1

 = 1,6 10¹² rad.s^-1 Soit E la largeur de cette bande interdite :

E = 2

h 



  E = 1,69 10^-22 J E = 1,06 10^-3 eV

E = 1,06 meV

