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Université Mohammed V Agdal Année universitaire 2014-2015 Faculté des Sciences Rabat Science de la Matière Physique
Département de Physique Semestre 5
Physique des Matériaux I
Devoir 5 Phonons et vibrations du réseau- Correction Exercice 3 : Vibrations dans un cristal cubique diatomique
1. Les résultats obtenus pour le chlorure de potassium sont : a. Réseau de Bravais C.F.C.
b. Le paramètre de la maille a = 6,30 10-10 m.
c. Chaque plan contient un seul type d’atome.
d. La distance séparant deux plans consécutifs contenant le même type d’atome est : 3
r a = 3,64 10-10 m
2. Si une vibration se propage dans ce cristal suivant la direction [111] tous les plans perpendiculaires à cette direction se déplacent en phase et on peut décrire le déplacement par une seule coordonnée up d’un type de plan p par rapport à la position l’équilibre et vp le déplacement de l’autre type de plan p par rapport à la position l’équilibre.
[111]
On suppose que chaque plan n’interagit qu’avec ses deux plans adjacents, en appliquant la deuxième loi de newton à chacun des plans p on obtient :
2 2 1 2
2 1
2
2
p
K p p p
p
Cl p p p
m d u C v v u dt
m d v C u u v dt
3. On considère des solutions sous forme d’ondes planes monochromatique :
0exp
up u i tpkr
0exp
vpv i tpkr
On calcule les dérivées secondes et on peut simplifier par le terme exp i t .exp
ipkr
, on obtient alors :
2
0 0 0
2
0 0 0
1 2
1 2
exp exp
K
Cl
m u Cv ikr Cu
m v Cu ikr Cv
d’où
2
0 0
2
0 0
2 1 0
1 2 0
exp exp
K
Cl
m C u C ikr v
C ikr u m C v
C’est un système de deux équations à deux inconnues u0 et v0, pour qu’il admette des solutions non nulles il faut que le déterminant du système soit nul :
2
2
2 1
1 2 0
exp exp
K
Cl
m C C ikr
C ikr m C
4 2 2
2 2 1 cos 0
K Cl K Cl
m m C m m C kr
4. On effectue les changements de variable en fonction de et M définies au début de la question 2. et on remplace le cosinus par le sinus. L’équation précédente devient :
1 4 2 2 2
2 4 0
sin kr2
M CM C
C’est une équation bicarrée dont les solutions sont :
plans p r up
vp
2
1
2 2 1 2 2
1 4
.sin kr2
C C M
et
1
2 2 1 2 2
2 4
.sin kr2
C C M
5. Les représentations graphiques pour sont données sur la figure suivante :
6. D’après la figure précédente on voit qu’il existe un intervalle de fréquences à la limite de la première zone de Brillouin pour lequel la vibration ne peut pas se propager. La largeur de cette bande de fréquences est :
2 2
u d
Cl K
C C
m m
7. Dans le montage une impulsion ultrasonore est engendrée par le transducteur piézoélectrique, elle se réfléchit successivement sur les faces elle est ensuite détectée.
Connaissant l’épaisseur e du cristal et le décalage entre deux échos successifs on obtient :
-2 -6
2 2 1 00 10 2 40 10
,
s , v e
= 8,33 103 m.s-1
Remarque : Pour la distance parcourue par l’impulsion ultrasonore il faut compter l’aller et le retour !
Pour déterminer , il faut déterminer la constante de rappel C. La vitesse du son le long de la rangée [111]
est égale au coefficient directeur de la tangente à l’origine (courbe en vert). On obtient : 2
s
v r C
M ,
2
2 2
v Ms
C r On effectue une analyse dimensionnelle de C, on a alors :
[C] = M.T-2 Donc C s’exprime en kg.s-2 homogène au N.m-1.
3 2 -3
23 -10 2
8 33 10 74 6 10 2 6,02 10 3,64 10
, ,
C
= 32,5 N.m-1
On peut ainsi calculer :
23 -3
2 2 32 5 6 02 10 35 5 10
, ,
u ,
Cl
C
m = 3,32 1013 rad.s-1
23 -3
2 2 32 5 6 02 10 39 1 10
, ,
d ,
K
C
m = 3,16 1013 rad.s-1
= 1,6 1012 rad.s-1 Soit E la largeur de cette bande interdite :
E = 2 h
= 1,69 10-22 J = 1,06 10-3 eV = 1,06 meV
k
Branche des phonons optiques Branche des phonons acoustiques
0 (2C )1/2
(2C/mCl)1/2
(2C/mK)1/2
2r
