Travaux Dirigés de Physique Mécanique 2

Travaux Dirigés de Physique Mécanique 2

L1 S2 Phys–103a

Université Paris–Sud 11

2013–2014

Table des matières

1 Cinématique et Dynamique 5

1.1 Coordonnées polaires . . . 5

1.2 Abscisse curviligne, rayon de courbure . . . 6

1.3 Coordonnées sphériques . . . 6

1.4 Dynamique . . . 7

2 Énergie 11 2.1 Travail-Circulation . . . 11

2.2 Théorème de l’énergie cinétique, Énergie potentielle, stabilité. . . 12

3 Moment cinétique 15 4 Mouvement à force centrale 19 4.1 Généralités . . . 19

4.2 Gravitation - Lois de Kepler . . . 19

4.3 Dynamique spatiale . . . 20

5 Changement de référentiel 25 5.1 Cinématique. . . 25

5.2 Dynamique dans un référentiel non galiléen . . . 26

TD 1

Cinématique et Dynamique

1.1 Coordonnées polaires

Exercice1.1.1 (F) : Un point mobile M, se déplace sur un cercle de centre O et de rayon R avec une vitesse dont la norme croît linéairement avec le tempsk−→v k=ktoùkest une constante positive.

1. Donner l’expression du vecteur position−−→

OM, dans la base locale associée aux coordonnées polaires.

2. Exprimer, dans la base locale associée aux coordonnées polaires, les composantes de la vitesse et de l’accélération du pointM. On noteM₀ la position du point àt = 0. On choisira le système d’axes Ox,Oy tel queM₀soit situé sur l’axeOx.

3. Déterminer les composantes de ces mêmes vecteurs en coordonnées cartésiennes.

4. Déterminer la distance parcourue le long du cercle, du pointM₀ au pointM(t)à l’instantt.

Exercice1.1.2 (FF): On considère la courbe définie par l’équation en coordonnées polaires : ρ(θ) = r₀(1 + cosθ)

où r0 est est une constante positive. Un point matérielM décrit cette courbe de telle manière que θ = ωt (ω = constante). On prendraθ ∈[0,2π[.

1. Tracer la courbe ainsi définie, après avoir étudié les symétries et calculéρpour quelques valeurs de θcomprises entre0etπ.

2. Calculer les composantes du vecteur vitesse de M dans la base (−→u_ρ,−→u_θ), où ~u_ρ, ~u_θ est la base locale associée aux coordonnées polaires. Reporter qualitativement sur la courbe le vecteur vitesse aux pointsθ = 0, ^π₂,π, ^3π₂ .

3. Montrer quek−→vk=ω(2ρr0)¹².

4. Calculer l’accélération−→a et représenter ce vecteur aux pointsθ = 0, ^π₂,π,^3π₂ .

1.2 Abscisse curviligne, rayon de courbure

Exercice1.2.1 (FF): Dans un repère orthonorméOxy, les coordonnées d’une particule sont données en fonction du tempstpar :

x(t) = ct

y(t) = bt(t−τ) oùc= 2S.I,b= 4S.I. etτ = 1S.I.

1. Donner la dimension des constantescetb.

2. Déterminer l’équation de la trajectoire en coordonnées cartésiennes ; la tracer.

3. Écrire l’élément infinitésimal d’abscisse curvilignedsen fonction detetdt. Donner ensuite sous la forme d’une intégrale, la distance parcourue entre l’instantt = 0et l’instantt = 2s.

4. Calculer les composantes du vecteur vitesse−→v à la datet. Tracer−→v àt = 0s ett= 0,5s

5. Montrer que la particule possède une accélération constante dont on calculera les composantes tan- gentiellea_T et normalea_N. En déduire le rayon de courbure de la trajectoire àt = 0,5s.

Exercice1.2.2 (FF) : Une particule se déplace dans un plan. Son accélération est donnée au cours du temps par l’expression−→a =α−→u_t+βt⁴−→u_noù−→u_t et−u→_n sont des vecteurs unitaires du repère intrinsèque lié à la trajectoire orientée etαetβsont des constantes positives. On suppose qu’à l’instantt = 0la particule est au repos à l’origine des coordonnées.

1. Donner les dimensions deαetβ.

2. Calculer l’abscisse curvilignes(t)en fonction du temps.

3. Déterminer le rayon de courbureR(s)de la trajectoire en fonction des. Vérifier l’homogénéité de la relation.

4. En déduire l’allure de la trajectoire.

5. Calculer la norme de l’accélération−→a en fonction des. Vérifier l’homogénéité des résultats.

1.3 Coordonnées sphériques

Exercice1.3.1 (F): Un point sur la terre est repéré par deux angles : la latitudeλet la longitudel.

1. Donner la définition des deux angles. On fera un schéma.

2. Soient θ et φ les coordonnées sphériques d’un point à la surface de la terre. Exprimer θ et φ en fonction deλetl. On choisira pour l’axeOz, l’axe de la terre orienté du Sud vers le Nord,O étant le centre de la terre. L’axeOxsera choisi de la façon la plus simple possible.

3. La latitude et la longitude de Paris sont :λ_p = 48^◦52N etl_p = 2^◦20⁰E. Déterminer les coordonnées cartésiennes de Paris dans le repèreOxyz, sachant que le rayon de la Terre est :R_T = 6400km 4. En partant de Paris, on voyage à vitessevconstante, en maintenant une latitude constante. Détermi-

ner l’expression deφ(t)en fonction du tempst.

5. En partant de Paris, on se déplace à vitesse v constante, en maintenant une longitude constante.

Déterminer l’expression deθ(t)en fonction du tempst.

Exercice1.3.2 (FF): SoientM₁etM₂deux point distincts, à la surface de la terre. On noteθ₁, φ₁etθ₂, φ₂ les coordonnées sphérique respectives des deux pointsM₁ etM₂. Le but de cet exercice est de déterminer la longueurl, du chemin le plus court reliant les deux pointsM₁ etM₂ sur la surface de la terre. On notera Oz l’axe de la terre orienté du Sud vers le Nord,O étant le centre de la terre. On supposera que la terre est parfaitement sphérique.

1. Donner l’expression des coordonnées cartésiennes des pointsM₁ etM₂ en fonctions de leurs coor- données sphériques.

2. Soitψ l’angle entre les vecteurs−−−→

OM₁ et−−−→

OM₂. Exprimercosψen fonctions des coordonnées sphé- rique des pointsM₁etM₂.

3. En déduire l’expression de l en fonction des coordonnées sphériques des points M₁ et M₂ et du rayon de la terreR_T.

4. Les latitude et longitude de Paris sont : 48^◦52 N et 2^◦20⁰ E. Celles de New York sont : 40^◦40 N et 74^◦00⁰ W. En déduire la distance l, la plus courte sur la terre entre ces deux villes. On donne R_T = 6400km.

1.4 Dynamique

Exercice1.4.1 (F)Pendule simple: Un pendule simple est constitué d’un fil inextensible de longueurl constante (fil toujours tendu), de masse négligeable, dont l’une des extrémités est fixée en O à un support fixe et dont l’autre extrémité est liée à une bille de massem, considérée comme ponctuelle. SoitOz l’axe vertical descendant passant parO, de vecteur unitaire~k. Le référentiel lié aux axesOx,Oy,Ozest considéré comme galiléen.

1. Déterminer la position d’équilibre M₀ de la bille dans le champ gravitationnel terrestre supposé constant, de normeg, et donner l’expression correspondante de la norme N0 =k−→

N0kde la tension du fil (force que le fil tendu exerce sur la bille à l’équilibre).

2. On écarte la bille de sa position d’équilibre d’un angle θ0, fil toujours tendu, dans un plan vertical contenant l’axeOz. A un instantt₀, pris comme instant initial, on lâche la bille sans vitesse initiale.

On admet que le mouvement de la bille s’effectue dans le plan ainsi défini et on néglige tout frotte- ment. A l’instantt, on repère la position de la bille par ses coordonnées polairesl etθdans le plan du mouvement oùθ(t) =(Oz, OM\ ). On notera~u_let~u_θ les vecteurs unitaires de la base locale des coordonnées polaires.

(a) Faire le bilan des forces appliquées à la bille à l’instantt.

(b) Appliquer le principe fondamental de la dynamique à la bille et obtenir les expressions des composantes radiale et orthoradiale de l’accélération de la bille.

(c) Obtenir l’équation différentielle qui régit le mouvement du pendule. On se placera dans le cas oùθ0est petit. En déduire la pulsationωet la périodeT des oscillations de la bille.

(d) Lorsque θ = 0(le pendule passe par sa position d’équilibre), exprimer la tension du fil N~ en fonction deθ. Montrer que˙ k−→

Nkest maximale en ce point.

Exercice1.4.2 (FF) (Partiel Phys103-2010) : Dans la salle de travaux pratiques que l’on considère comme un référentiel galiléen, une bille de massemdécrit une trajectoire circulaire et uniforme, de centre O et de rayonR, dans le plan horizontalOxy. La vitesse angulaire de la bille estω. On supposera que la bille est ponctuelle. La bille est attachée à un fil dont l’autre extrémité est fixée en un pointCà la verticale et au-dessus deO(voir figure1.4.2). On repère la positionM de la bille par ses coordonnées polaires(ρ, θ) dans le planOxy.

FIGURE 1.1 –

1. Sur un schéma, représenter l’axeOx, le pointM à un instant quelconque,ρ, θ et les vecteurs~u_ρ, ~u_θ constituant la base locale associée aux coordonnées polaires.

2. Donner l’expression des composantes du vecteur position−−→

OM dans la base(~uρ, ~uθ), en fonction des données.

3. Donner l’expression des composantes de la vitesse~v de la bille dans la base (~uρ, ~uθ), en fonction des données.

4. Donner l’expression des composantes de l’accélération ~a dans la base (~uρ, ~uθ), en fonction des données.

5. Faire le bilan des forces qui s’appliquent sur la bille. On représentera les vecteurs forces sur un schéma.

6. On noteT la norme de la tension du fil etαl’angle que fait le fil avec la verticale. Donner l’expres- sion des composantes de ces forces sur la base(~u_ρ, ~u_θ, ~k).~kest un vecteur unitaire colinéaire à−→

OC et de même sens. On exprimera ces composantes en fonction deT,α, m et de l’accélération de la pesanteurg.

7. En appliquant le principe fondamental de la dynamique, en déduiretanαen fonction deR,ωetg.

8. Le fil peut-il être horizontal ?

9. Application numérique :ω= 2rad.s⁻¹,g '10m.s⁻²,R = 50cm. Calculertanαpuis en déduireα.

On supposeraα1.

TD 2 Énergie

2.1 Travail-Circulation

Exercice2.1.1 (FF)Circulation: On considère un point matériel de massemsoumis à une forceF~(M).

On note (~i,~j,~k) la base orthonormée d’un repère cartésien OXY Z et (~u_ρ,~u_θ) la base orthonormée locale associée aux coordonnées polaire dans le planOXY. Pour chacune des forces suivantes, calculer la circu- lation (ou travail) deF~(M)le long des trajectoires proposées :

(c) (a) (b)

x

y A

O R

3 2

1

B C

O A

O

B A R

FIGURE2.1 –Chemins pour le calcul des circulations.

1. F~(M)=-K~u_ρoù K est une constante.

On reliera les pointsA(0, R,0)et B(0,−R,0)situés sur la sphère d’équationx² +y² +z² = R² via un grand cercle ou la ligne droite joignant les deux points (voir figure2.1(a)).

2. F~(M) =K[ρcosθ~u_ρ+ρsinθ~u_θ], où K est une constante.

On considérera les chemins suivants reliant les points A(R,0) etC(R,π

4)en coordonnées polaires placés sur un cercle de centre O et de rayon R : AC (le long de l’arc de cercle), AOC (sur les segments de droite reliant ces points) et AOBC (sur AOB selon les segments de droite reliant ces points et sur BC le long du cercle,B(R, π

2)) (voir figure2.1(b)).

3. Les vecteursF~₁(M) = 3x²y~i+ (x³+xy²)~j ,F~(M) = 3x²y~i+ (x³ −y³)~jetF~₂(M) =F~₁−F~. On calculera la circulation le long des trajectoires suivantes reliant l’origine O au point A (1,1,0) : la ligne droite d’équation y = x et un déplacement selon la parabole d’équation y = x² (voir figure2.1(c)).

2.2 Théorème de l’énergie cinétique, Énergie potentielle, stabilité

Exercice2.2.1 (FF)Rotation d’un pendule : Un pendule est constitué d’une masse ponctuellem sus- pendue à l’extrémité d’une tige rigide de longueurlet de masse supposée négligeable. L’autre extrémité de la tige est fixée au point C. La tige peut tourner dans le plan xOz autour du point C. Le repère cartésien xOz, où l’axe Oz est vertical dirigé vers le haut, est muni de la base orthonormée (~i, ~k). L’origine O du système de coordonnée coïncide avec la position la plus basse de la massem. Au cours de son mouvement, la position de la masse mest repérée par l’angleθ que fait la tige avec la verticale (voir figure2.2). Le but

C

O

M z

x u_ρ

u_θ θ

l

FIGURE2.2 –Le pendule

de cet exercice est de déterminer la vitesse minimale qu’il faut donner à la massem, initialement à l’équi- libre, pour que son mouvement soit un mouvement de rotation et non pas un mouvement d’oscillation. On négligera tous les frottements.

1. Faire le bilan des forces qui s’exercent sur la masse m. On précisera quelles sont les forces qui travaillent au cours du mouvement du pendule.

2. Donner l’expression de l’énergie potentielleE_p de la masse men fonction de sa hauteurz, puis en fonction de l’angleθ. On prendra l’origine de l’énergie potentielle enO.

3. Tracer le graphe représentant l’énergie potentielle E_p(θ) en fonction de θ, pour θ ∈ [−π, π]. On précisera la position des maxima et des minima de la courbe représentative deE_p(θ). En déduire les positions d’équilibre stable et instable.

4. Le pendule est initialement immobile à sa position d’équilibre stable. En utilisant le graphe de E_p(θ) précédent, déterminer l’énergie minimale E₀ qu’il faut fournir à la massem pour que son mouvement soit un mouvement de rotation et non pas un mouvement d’oscillation.

5. En déduire la vitesse initiale minimalev₀ qu’il faut donner à la massempour que son mouvement soit un mouvement de rotation et non pas un mouvement d’oscillation. On donnel = 40cm et on prendra pour l’accélération de la pesanteurg = 10m s⁻².

Exercice2.2.2 (FF)Pendule et ressort: On considère une masse ponctuellemaccrochée à l’extrémité d’un pendule de longueur L dont le point de suspension est fixé enC. La masse mest de plus accrochée

à un ressort de raideurk, dont l’autre extrémité est fixée au pointA. Á l’équilibre le ressort est horizontal et la masse m est située en O, à la verticale du point de suspensionC du pendule (voir figure 2.2.2). On supposera que le mouvement du pendule a lieu dans un plan.

O L

A

C

M

FIGURE2.3 –Pendule et ressort.

1. Calculer l’énergie potentielle du pendule supposé seul en fonction de l’angleθ, repérant sa position par rapport à la verticale. On prendra l’origine de l’énergie potentielle à l’équilibre.

2. Calculer l’énergie potentielle du ressort supposé seul lorsqu’on écarte le pendule de l’angleθ.

3. Sachant que l’énergie potentielle totale est la somme des deux termes calculés précédemment, en déduire son expression dans l’approximation des petits angles (on effectuera un développement limité de l’énergie potentielle au deuxième ordre enθ).

4. Calculer l’énergie cinétique du pendule en fonction de θ. En déduire une expression de l’énergie˙ totale du système dans l’approximation des petits angles.

5. En déduire l’équation différentielle du mouvement vérifiée par θ. Déterminer la pulsation ω du mouvement de la massem, dans l’approximation des petits angles.

6. Application numérique :on donnek = 100N.m⁻¹,m = 1kg,L = 10cm,g = 10m.s⁻². Calculer la fréquence des oscillations. On suppose que le pendule a été lâché sans vitesse initiale pour une valeurθ₀ = 1^o, estimer l’énergie totale du système sachant que(1,8)² = 3,24etπ² ≈ 10. Calculer l’incertitude absolue sur l’énergie totale sachant quek etL sont connus avec une précision de 1%

(les autres quantités sont connues avec précision).

Exercice2.2.3 (FF): Un petit morceau de glace de massem, repéré par le pointM, glisse sans frotte- ments sur la surface externe d’un igloo qui est une demi-sphère de rayon R dont la base est horizontale.

Au temps t = 0, il est lâché sans vitesse initiale d’un point M0 de cote z0 = Rsinθ0 où θ0 est l’angle (Ox,\−−−→

OM₀)(voir figure2.4).

1. Déterminer les composantes de la vitesse et de l’accélération dans la base locale associées aux coordonnées polaires (O,~uρ,~uθ) lié àM (voir figure2.4).

2. On désigne par N~ la réaction de la demi-sphère sur M. En utilisant la relation fondamentale de la dynamique, déterminer l’expression dek−→

Nken fonction de la norme de la vitessev =k−→v kdeM.

θ R

x z u_θ

u_ρ M

FIGURE2.4 –Glissade sur un igloo.

3. En utilisant le théorème de l’énergie cinétique, donner l’expression de v puisk−→

Nken fonction de l’angleθ.

4. Représenter la variation dek−→

Nken fonction deθ. Pour quelle valeur deθ, le pointM “décolle-t-il”

de l’igloo ? Quelle est alors sa vitesse de décollage ? Quelle est la nature de la trajectoire quand la massemquitte la surface de l’igloo ?

5. Montrer que le cas particulierθ0 = ^π₂ correspond à une position d’équilibre. Étudier sa stabilité.

6. Application numérique :On donnem= 80kg,θ0 = 60^◦,g = 10m.s⁻²,R= 2m. Calculer l’énergie totale du système (on prendra l’origine de l’énergie potentielle enθ = 0) avant et après le décollage en négligeant les frottements de l’air. Calculer la vitesse au décollage. Quelles sont les incertitudes relatives pour ces trois quantités si on suppose une incertitude relative de 1%surm,Retθ0 .

TD 3

Moment cinétique

Exercice3.1 (F)Moment d’une force: Soient 3 forces :

F~₁ =~i F~₂ =−2~j+~k F~₃ =−~i+ 0,5~j−4~k

Déterminer la force résultanteR. On suppose que les forces s’appliquent au point~ A(4,−3,1): 1. Calculer le momentM~i =−→

OA∧F~ide chacune des forces par rapport àO(0,0).

2. Calculer la sommeM~ des moments.

3. Calculer le momentM~ ⁰ =−→

OA∧R~ de la résultanteR~ par rapport àO.

4. ComparerM~ etM~ ⁰.

5. Calculer l’angle deM~ ⁰ avecR. Pouvait-on prévoir le résultat ?~

Exercice3.2 (FF) : Du sommetO d’une tour, on lance à l’instant t = 0, dans le champ de gravitation terrestre~g = −k−→g k−→u_z, un objet assimilable à un point matériel A de massem avec une vitesse initiale horizontale−→v0 =k−→v0k−→uy. On néglige tout frottement, on suppose le référentiel terrestre galiléen etk−→gk= 9,81m.s⁻².

1. Rappeler l’expression des coordonnéesyetz deAà l’instantt(origine des coordonnées enO).

2. En déduire l’expression :

(a) du moment par rapport àOdes forces agissant surAà l’instantt:−→ M_O(t).

(b) du moment cinétique deApar rapport àO, à l’instantt:L~_O(t).

3. Vérifier le théorème du moment cinétique.

Exercice3.3 (FF): Un point matérielM de massemglisse sans frottements sur un plan horizontalP. Il est retenu par un fil de masse négligeable qui coulisse à travers un petit trou situé enO du plan horizontal et on fait varier manuellement la distance ρ = k−−→

OMk selon la loiρ = −V t+ρ₀ oùV est une constante positive (voir figure 3.1). A t = 0, M se trouve en M₀(ρ₀)et possède une vitessev~₀ située dans le planP et faisant un angleαavec−−→

OM₀.

1. En appliquant le théorème du moment cinétique, trouver une première quantité conservée.

M

P O

FIGURE3.1 –Le fil coulisse à travers un petit trou . . .

2. Dans le bon choix des coordonnées, exprimer la vitesse~vdeM en fonction des données.

3. Calculer la tension exercée par le fil sur le point mobile. Montrer que sa norme, au voisinage de ρ= 0tend vers une limite non physique.

4. Déterminer la trajectoire du pointM

Exercice3.4 (FF) : Un point matérielM de massem glisse sans frottements sur un plan horizontal P. Il est retenu par un fil de masse négligeable qui s’enroule autour d’un cylindre fixe de rayon a et d’axe Oz, Oétant dans le planP. On noterla distanceHM,H étant le point où le fil rejoint le cylindre (H est également dans le plan P). On repère H par ses coordonnées polaires et on repère M dans la base locale liée àH (~u_ρ, ~u_θ)(voir figure3.2). On désigne parlla longueur totale du fil. At = 0, le pointM est lancé de telle façon que le fil s’enroule autour du cylindre en restant tendu.

M

M H

H z

O

P

O θ uθ u^ρ

r

x a

FIGURE 3.2 –Le fil s’enroule autour d’un cylindre . . . 1. Faire le bilan des forces s’exerçant surM à l’instantt.

2. En remarquant que : −−→

OM = a~u_ρ+r~u_θ , calculer la vitesse ~v du point M et montrer qu’elle est toujours perpendiculaire à HM. En déduire que k−→v k et donc l’énergie cinétique E_c de M sont constantes.

3. Calculer en fonction dem,retE_cle moment cinétique deM enO puis la force s’exerçant sur M.

Exercice3.5 (FF) Atome de Bohr : On considère un électron de charge −e et de masse m en orbite autour d’un proton fixe de charge +e situé à l’origine O du système de coordonnées. Soit M le point représentant la position de l’électron, soientr=k−−→

OMket~u_r =

−−→OM r .

1. Montrer que la trajectoire de l’électron est plane. Dans la suite, on utilisera des coordonnées polaires (r, θ)pour décrire la position de l’électron. On négligera les effets de gravitation.

2. La forceF~ subie par l’électron a pour expression dans la base polaire(~ur, ~uθ):F~ =−K~ur/r² (on a poséK =e²/(4πε₀)). Montrer queF~ dérive d’une énergie potentielleE_p(r)qu’on exprimera en fonction deK etr(on prendra une énergie potentielle nulle à l’infini).

3. On note ~uI = ~ur ∧~uθ. Soit ~L le moment cinétique de l’électron par rapport à O. Exprimer les coordonnées deL~ dans la base(~u_r, ~u_θ, ~u_I)en fonction dem,r, etθ˙= ^dθ_dt.

4. On considère désormais que l’électron reste sur une orbite circulaire de rayon R. En utilisant le principe fondamental de la dynamique en déduire :

(a) que le mouvement est circulaire uniforme

(b) l’expression de la normev de la vitesse de l’électron en fonction deK,metR.

(c) que l’énergie mécanique totale estE =−_2R^K.

5. Calculer la norme L du moment cinétique de l’électron en fonction de K, m et R. Retrouver ce résultat – à une constante près – par une équation aux dimensions (c’est-à-dire chercherα,β,γ tels queL=K^αm^βR^γ).

6. En 1913 Niels Bohr a fait l’hypothèse que L ne pouvait prendre que des valeurs du type suivant : L_n =n~oùn ∈Net~= 1.055×10⁻³⁴J.s (~est appelé constante de Planck). Montrer alors que les valeurs possibles pour le rayonRet l’énergie mécanique totaleEse mettent sous la forme :

R_n=R_Bn² et E_n =−E_B n² .

On exprimera R_B et E_B en fonction de ~, m et K. Donner les valeurs numériques de R_B et E_B respectivement en angstroms (1 = 10⁻¹⁰ m) et en électron-volts (1 eV = 1.602 ×10⁻¹⁹ J). On donneK = 2.31×10⁻²⁸S.I etm= 9.11×10⁻³¹kg.

TD 4

Mouvement à force centrale

4.1 Généralités

Exercice4.1.1 (F) : Un point matériel M de masse m est soumis à une force dont le support passe constamment par un point fixe O. L’intensité de cette force est inversement proportionnelle au cube de la distancer=k−−→

OMk. On poseraF = ^Km_r3 , en convenant queK etF sont positifs si la force est répulsive, négatifs si elle est attractive.

1. Montrer que le mouvement deM est plan et qu’il satisfait à la loi des aires.

2. Dans le plan de la trajectoire, on repère le pointM à l’aide des coordonnées polaires(r, θ)d’origine O. On poserar²θ˙=C. En appliquant le principe fondamental de la dynamique et en tenant compte de la loi des aires, montrer quer(t)est solution d’une équation différentielle du second ordre qu’on appellera équation(I).

3. En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, montrer que r(t)est solution d’une équation dif- férentielle du premier ordre qu’on appellera équation(II).

4. Les équations(I)et(II)sont-elles équivalentes ?

5. On suppose que les conditions initiales sont telles qu’à l’instant t = 0, le pointM se trouve en A de coordonnéesr₀ =a,θ₀ = 0. La vitesse initiale est perpendiculaire à−→

OA. On orientera le plan de telle sorte queCsoit positive. Quelle valeur particulièreC₀ faut-il donner àCpour que la trajectoire soit un cercle de centreO? Quelle doit être la nature de la force ? Quelle est en fonction deK eta la période du mouvement ?

4.2 Gravitation - Lois de Kepler

Exercice4.2.1 (F): Une comète décrit une orbite elliptique autour du Soleil. On considère deux pointsA etB de cette orbite,Aétant plus éloigné du Soleil que B . Comparer enA etB les valeurs des grandeurs physiques relatives à la comète :

1. énergie potentielle ; 2. vitesse (en module) ; 3. accélération (en module) ;

4. moment cinétique (par rapport au Soleil).

Exercice4.2.2 (FF) Kepler et Newton : Kepler énonce entre 1609 et 1618 les trois lois qui régissent dans une très bonne approximation le mouvement des planètes autour du Soleil.

L1: Les planètes décrivent des orbites planes elliptiques dont le Soleil est l’un des foyers.

L2: En des temps égaux, le rayon vecteur−→

SP (Soleil-Planète) balaie des aires égales.

L3: Le rapport du cube du demi-grand axe de la trajectoire d’une planète au carré de la période orbitale est une constante indépendante de la planète.

Newton (1680) énonce la forme bien connue de la loi de l’attraction gravitationnelle entre deux corps. On se propose ici de la déduire des trois lois de Kepler.

1. Montrer que les loisL1etL2permettent de prouver que^r2₂^θ˙ est une constante du mouvement qu’on noteC.

2. Montrer alors que l’accélération de chaque planète est centripète. En déduire que la force de Newton est attractive et s’écrit :

−

→F =−m4C² p

1 r²

−

→u_r oùpest le paramètre de l’ellipse d’équation :r= _(1+e^p_cosθ). 3. En déduire que :

−

→F =−m4π²a³ T²

1 r²

−

→u_r

oùT est la période du mouvement de la planète. Montrer à partir deL3et du principe de l’action et de la réaction queG= _M^4π2a3

ST²,M_Sdésignant la masse du soleil.

4.3 Dynamique spatiale

Exercice4.3.1 (F)Lancement d’un satellite: Un satellite de massemest lancé d’un pointP de la surface de Terre (rayonR) à la latitudeλpuis il est mis sur une orbite circulaire(C)de rayonr =R+h, dans un plan incliné deλpar rapport au plan équatorial.

1. Calculer, dans les deux cas suivants, l’énergie Ef qu’il a fallu fournir à ce satellite pour le mettre sur une telle orbite :

(a) En négligeant la rotation de la Terre sur elle-même.

(b) La Terre tourne sur elle-même d’un mouvement uniforme de vitesse angulaire ω. Distinguer les 2 sens de rotation du satellite par rapport à la Terre. En déduire la latitude λ_o et le sens de lancement les plus avantageux pour un tel lancement.

2. On suppose queλ =λ_o etm = 80kg. Quel est l’écart relatif ^∆E_E^f

f dû à la rotation de la Terre pour hROn donne :R= 6370km,g_o = 9,8m.s⁻².

3. On suppose le satellite géostationnaire. Que vaut alorsh? Reprendre la question2avec la nouvelle valeur du rayon.

Exercice4.3.2 (FF)Changement d’orbite: Un satellite de massem tourne autour de la Terre sur une orbite circulaire (orbite "basse" de rayon r₁ et de vitesse v₁). On veut le transférer sur une autre orbite circulaire (orbite "haute" de rayon r₂ > r₁ et de vitesse v₂⁰). Pour cela on lui fait décrire une demi-ellipse dite orbite de transfert, dont un foyer est le centre de la Terre et qui se raccorde tangentiellement aux deux orbites circulaires précédentes. On allume donc les propulseurs du satellite pendant une durée brève au début et à la fin de cette demi-ellipse. Ceci correspond à communiquer à chaque fois au satellite, de façon instantanée, un supplément de vitesse sans changement de sa direction. Le but de cet exercice est de calculer ces suppléments de vitesse∆v₁ =v₁⁰ −v₁et∆v₂ =v⁰₂−v₂ en fonction des rayons,r₁,r₂, du rayonR, de la Terre et deg₀ l’accéleration de pesanteur à la surface de la Terre.

1. Faire un schéma représentant la Terre, les deux orbites cirulaires et l’orbite de transfert.

2. Déterminer la norme de la vitessev₁du satellite sur l’orbite circulaire de rayonr₁en fonction deR, g₀ etr₁.

3. Déterminer la norme de la vitessev⁰₂du satellite sur l’orbite finale circulaire de rayonr₂en fonction deR,g₀etr₂.

4. En se servant des lois de conservation, établir deux relations reliant la vitesse initialev₁⁰ et la vitesse finalev₂ sur l’orbite de transfert. En déduirev₁⁰ etv₂ en fonction deR,g₀ etr₁etr₂.

5. Calculer les supléments de vitesse∆v₁ =v₁⁰ −v₁et∆v₂ =v⁰₂−v₂ en fonction deR,g₀etr₁ etr₂. On prendrar1 = 7000km,r2 = 42000 km, le rayon de la TerreR = 6400km etg0 = 9,81ms⁻²

Exercice4.3.3 (FF)Retour d’un satellite: Pour ramener sur la Terre un satellite géostationnaireS, on le ralentit au moment où il atteint un certain pointAde sa trajectoire, sa vitesse passant donc d’une valeuru sur l’orbite géostationnaire àv_A< u, mais gardant la même direction. On appelleraT le centre de la Terre.

1. calculeruet le rayonr_sde la trajectoire géostationnaire.

2. A.N. :R_T = 6400km,g₀ = 10m/s².

3. Comparer l’énergie deSsur l’orbite géostationnaire et après ralentissement. En déduire la nature de sa nouvelle trajectoire (E).

4. On veut que le satellite atterrisse en un pointCtel queT A⊥T C. Que reprèsentent les pointsT et A, et la distanceT C pour (E) ?

5. Calculer la vitessev_Apour que l’atterrissage se déroule ainsi. Monter quev_As’exprime simplement en fonction deu, R_T etr_s. Aide : calculer d’abordale demi-grand axe deE en fonction deR_T et der_s.

6. Faire l’application numérique.

Exercice4.3.4 (FFF) Survol de Saturne par Voyager 2 (26-8-81): On assimile Saturne et la Sonde Voyager 2 à deux points matériels, notés respectivement O et P et de masse M et m, avec m M. On se place dans le référentiel galiléen lié au pointO qui est supposé immobile pendant la rencontre (car m M). Soit~v₀ la vitesse d’approche, quand la sonde est très éloignée de Saturne. On notebla distance deOà la droite passant parP et parallèle àv~0.best appelé le paramètre d’impact (voir figure4.1).

x O

P

A v_A

b θρ a

v₀

FIGURE4.1 –Survol de saturne par Voyager 2

1. Conditions de survol: L’interaction gravitationnelle infléchit la trajectoire au voisinage de Saturne.

Soitala distance minimale de survolk−→

OAk,−v→_Ala vitesse deP enAetGla constante de gravitation universelle. Expliquer simplement l’orthogonalité de−→

OA et −v→A. À partir des lois de conservation s’appliquant au mouvement deP, exprimerv_Aen fonction dev₀,aetbet calculer le rapport _a^b. On prendrav₀ = 15km.s⁻¹,a = 161500km,M = 5.7×10²⁶kg etG= 6.673×10⁻¹¹SI.

2. Trajectoire: On repère ici le pointP par ses coordonnées polairesρ(t)etθ(t). Soit−→v(t)la vitesse du pointP.

(a) Justifier et exprimer en coordonnées polaires deux lois de conservation s’appliquant au mouve- ment deP.

(b) On poseC =v₀betu= ¹_ρ . Reformuler le carré de la vitessev²en fonction deC,uet ^du_dθ. (c) La loi de conservation de l’énergie conduit à une équation différentielle dont la solution est de

la forme :

u(θ) = 1

ρ(θ) = GM

C² (1 +ecos(θ−θ₀)) Calculereen fonction dev₀, b, GetM. Vérifier quee >1.

(d) En utilisant la condition limite enθ= 0, chercher la relation donnantθ0. Quelle est la significa- tion physique deθ₀?

(e) On noteθ_e l’angle d’éloignement de la sonde. C’est à dire l’angleθ qui repère la sonde quand elle est à une grande distance de Saturne après son survol. Déterminer l’expression de θe en fonction des données du problème.

(f) L’angle de déviationχ de la sonde est l’angle entre les vecteurs vitesses de la sonde, avant et après son survol de Saturne. Donner la valeur numérique deχ.

Exercice4.3.5 (FF)La comète Hale-Bopp:

1. On admet que la Terre décrit un cercle de rayonρautour du SoleilS à la vitesseu= 30km.s⁻¹. (a) Écrire la relation entreu,ρet la masse du SoleilMS.

(b) Exprimer la périodeτ de rotation de la Terre autour du soleil en fonction deρet deM_S.

Dans la suite du problème, les quantitésu,ρetτ serviront d’unités de base pour exprimer respecti- vement les vitesses, les distances et les temps.

FIGURE4.2 –Comète Hale-Bopp. Observer : Wally Pacholka Location : Joshua Tree National Park, Cali- fornia Date : April 5, 1997 05 :30-05 :50 UT. (http ://www.jpl.nasa.gov/comet)

2. Dans un premier temps, on suppose que la comète C de Hale-Bopp (1997) suit une trajectoire parabolique de foyer S dont le périhélie¹ q est égal à 0.9145ρ. Caractériser cette trajectoire. En déduire la vitesse de C au périhelieP en fonction de u, ρ et q. On fera l’application numérique.

(pour comparaison, la comète de Hale-Bopp est passée à1.3ρde la terre environ).

3. En réalité, la trajectoire deCest elliptique, d’excentricitée= 1−xavecx= 4.75×10⁻³

(a) Déterminer la distance SA où A est l’aphélie², et la vitesse de C en A. on fera l’application numérique.

(b) Dans combien d’annéeT “reverra-t-on” Hale-Bopp ? Dans ce but, établir la formule suivante : T =τ

q

ρx ³₂

En admettant quee et _ρ^q ont été déterminés chacun avec une précision de 0.03% en déduire la précision surT. ExprimerT lui même avec son incertitude.

1. le périhélie est le point de l’orbite le plus rapproché du Soleil 2. l’aphélie est le point de l’orbite le plus éloigné du soleil

TD 5

Changement de référentiel

5.1 Cinématique

Exercice5.1.1 (F): Des flocons de neige tombent verticalement par rapport au sol, en parcourant 8 m par seconde. A quelle vitesse les passagers d’une voiture, roulant à 50 km.h⁻¹sur une route droite, les voient-ils frapper le pare-brise du véhicule ?

Exercice5.1.2 (FF): Un enfant lâche une bille dans la cage de l’escalier de son immeuble depuis le 4ème étage, à l’instant où l’ascenseur y passe. Son père, qui monte par l’ascenseur jusqu’au 10ème étage avec une vitesse constante, observe aussi la chute de la bille. Les grandeurs physiques suivantes sont-elles identiques pour l’enfant et pour son père :

1. la vitesse de la bille à un instant donné ? 2. le temps de chute total ?

3. l’accélération de la bille à un instant quelconque ? 4. la distance totale parcourue par la bille ?

Exercice5.1.3 (FF): Un avion s’envole de Brest vers Bâle. Sa vitesse, constante par rapport à l’air, est égale à 360 km.h⁻¹ et le vent souffle du Nord-Ouest à 60 km.h⁻¹. On admettra que Brest est à l’Ouest de Bâle à environ 1000 km.

1. Quel doit être le cap suivi par le pilote ? 2. Quelle est la durée du voyage ?

3. Reprendre les question 1 et 2 pour le voyage de retour.

Exercice5.1.4 (FF) Le manège : Un manège d’enfant tourne avec une vitesse angulaire ω constante.

Le propriétaire doit, pour ramasser les tickets, parcourir la plate-forme en rotation. On considère R⁰, le référentiel lié au manège, muni du repère O⁰x⁰y⁰, et de la base orthonormée correspondante(~i⁰,~j⁰), dont l’origine O⁰ coïncide avec le centre du manège. On notera R le référentiel lié à la terre, muni du repère Oxy, oùO =O⁰, avec la base orthonormée associée(~i,~j).

1. Partant du centre, le propriétaire suit un rayon de la plate-forme avec une vitesse constante~v⁰ par rapport au manège.

(a) Établir les équations du mouvement du propriétairex⁰(t), y⁰(t), dans le référentielR⁰ (mouve- ment vu par les enfants). On choisira l’axeO⁰x⁰ de telle sorte que la vitesse du propriétaire soit parallèle à cet axe :~v⁰ =v⁰~i⁰

(b) Déterminer les composantes des vecteurs(~i⁰,~j⁰)sur la base (~i,~j). On supposera, qu’à l’instant initial, les deux repèresO⁰x⁰y⁰etOxysont confondus.

(c) En déduire les équations du mouvement du propriétaire en coordonnées cartésiennesx(t)ety(t), puis en coordonnées polaires ρ(t), θ(t), dans le référentielR (vu par les parents). On donnera l’équation de la trajectoireρ(θ)dans le référentielR.

(d) Déterminer la vitesse~v du propriétaire dans le référentielR, à partir des équations de son mou- vement.

(e) Retrouver l’expression de la vitesse~v, en utilisant les lois de composition des mouvements.

(f) Déterminer l’accélération~adu propriétaire, mesurée dans le référentielR, à partir de l’expres- sion de~v.

(g) Retrouver l’expression de l’accélération~aen utilisant la composition des accélérations.

2. Le propriétaire parcourt maintenant la plate-forme en suivant un arc de cercle de rayonr₀, concen- trique à la plate-forme, donc sa vitesse linéaire, par rapport au manège,r₀ω⁰est constante. Reprendre l’ensemble des questions précédentes. Que se passe-t-il en particulier siω⁰ =−ω?

5.2 Dynamique dans un référentiel non galiléen

Exercice5.2.1 (F): Une personne se tient sur un pèse-personne situé dans un ascenseur. L’ascenseur étant à l’arrêt, le pèse-personne indique 70 kg. L’ascenseur monte en décrivant trois phases :

phase 1 : Une phase d’accélération constante de2,0ms⁻². phase 2 : Une phase d’accélération nulle.

phase 3 : Une phase de décélération constante de2,0ms⁻².

1. Quelle indication fournit le pèse-personne durant chacune des phases du mouvement de l’ascenseur ? On prendrag = 9,8ms⁻².

2. Après l’arrêt, le câble casse et l’ascenseur tombe en chute libre. Qu’indique alors le pèse-personne ?

Exercice5.2.2 (FF)Pendule dans un référentiel non galiléen : Le pendule décrit dans l’exercice1.4.1 est suspendu en O au plafond d’un véhicule se déplaçant avec un mouvement de translation horizontale uniformément accéléré, d’accélération~at, par rapport au référentiel terrestre supposé galiléen.

1. Soit M₀⁰ la position de la masse m à l’équilibre définissant l’axe Oz⁰. Déterminer cette position d’équilibre par l’angle non orienté entre les axesOzetOz⁰.

2. A l’instantt= 0, on écarte la massemde sa position d’équilibre dans le plan vertical contenantOz etOz⁰, du même angle θ0 qu’au1.4.1.2et on la lâche sans vitesse initiale. En prenant, dans le plan du mouvement, l’axeOz⁰comme axe polaire et pourθ⁰l’angle(Oz⁰\, OM⁰(t)), obtenir les équations différentielles enθ⁰du mouvement de la massem. Dans le cas des petits angles, quelle est la période T⁰ des oscillations ?

Exercice5.2.3 (F) Coriolis et le lavabo : vous avez peut être entendu cette affirmation : “Le sens de rotation de l’eau qui s’écoule d’un lavabo n’est pas le même dans l’hémisphère Sud et dans l’hémisphère Nord, c’est l’effet Coriolis !”.

1. La vitesse d’écoulement de l’eau étant de l’ordre de 0,1m/s, donner un ordre de grandeur de l’in- tensité de l’accélération de Coriolis.

2. En déduire un ordre de grandeur de la vitesse engendrée par l’accélération de Coriolis après une seconde d’écoulement.

3. Pensez vous que l’accélération de Coriolis peut déterminer le sens de rotation de l’écoulement ?

Exercice5.2.4 (FF)Le manège: Un manège d’enfant tourne avec une vitesse angulaireωconstante. Le propriétaire (de massem) doit, pour ramasser les tickets, parcourir la plate-forme en rotation. On considère R⁰, le référentiel lié au manège, muni du repère O⁰x⁰y⁰, et de la base orthonormée correspondante(~i⁰,~j⁰), dont l’origineO⁰ coïncide avec le centre du manège. On noteraRle référentiel lié à la terre, muni du repère Oxy, oùO =O⁰, avec la base orthonormée associée(~i,~j). On suppose que le référentielRest galiléen.

1. Partant du centre, le propriétaire suit un rayon de la plate-forme avec une vitesse constante~v⁰ par rapport au manège.

(a) Déterminer le vecteur vitesse angulaire~ωqui décrit le mouvement du référentielR⁰ par rapport au référentielR.

(b) En raisonnant dans le référentielR⁰, donner les expressions des forces d’inertie qui s’appliquent sur le propriétaire du manège.

(c) Quelle est la force F~ que doit exercer le propriétaire pour maintenir sa trajectoire. On déter- minera les valeurs numériques des composantes de F~ aux instants où le propriétaire est à une distancer = 5m du centre du manège.

(d) A.N :ω= 10tours/min,m= 70kg,k−→

v⁰k= 2km/h.

2. Le propriétaire parcourt maintenant la plate-forme en suivant un arc de cercle de rayonr₀, concen- trique à la plate-forme, donc sa vitesse linéaire, par rapport au manège,r₀ω⁰est constante. Reprendre l’ensemble des questions précédentes. On décrira la trajectoire du propriétaire dans le référentielR⁰ par ses coordonnées polaires.

3. A.N :ω⁰ = 2tours/min,r0 = 3m.

Exercice5.2.5 (FF)Pendule et rotation de la Terre: Le comportement d’un fil à plomb ou d’un pendule doit aussi être affecté par le mouvement de rotation diurne de la Terre. Considérons un fil à plomb, immobile dans le référentiel terrestre et observé au voisinage de la surface terrestre.

1. Faites un bilan des forces et forces d’inertie s’appliquant à la masselotte au bout du fil à plomb.

2. A quel(s) endroit(s) de la Terre la direction du fil à plomb passe bien par le centre de la Terre ? 3. A quelle latitude l’écart à cette direction est-il maximum ?

4. Evaluez cet écart.

Application numérique : rayon de la Terre R_T = 6400km, accélération de la pesanteur g₀ = 9,8m/s². Comment peut-on le mesurer ?

5. Estimez la variation de pesanteur apparente due à la rotation terrestre, entre le Pôle Nord et l’Equa- teur. Comment la période d’un pendule en sera-t-elle affectée ?

J. Richer fit une telle mesure en Guyanne dès 1671, et observa bien une variation de la période.

Cependant, cet effet peut également à raison être attribué à une autre raison physique. Laquelle ? 6. La mise en évidence de la rotation de la Terre par un pendule évoque plutôt une démonstration cé-

lèbre sous le dome du Panthéon à Paris, en 1851. Quel physicien la proposa ? Quel en est brièvement le principe ? (sans équations)

Exercice5.2.6 (FFF)Balistique et rotation de la Terre : Un projectile, assimilé à un point matériel, est lancé à la latitudeλ = 45^◦ dans un plan méridien avec une vitesse initialev₀ = 800 m.s⁻¹ dirigée du Nord vers le Sud et faisant un angleα= 6^◦avec le plan horizontal. On néglige les forces de frottement.

1. On suppose que la Terre est un référentiel galiléen. Calculer : (a) La durée du trajet.

(b) La portée du tir. En déduire la variation de latitude du projectile entre le point de tir et le point d’impact.

(c) La hauteur maximale atteinte par le projectile.

2. On tient compte de la rotation de la Terre.

(a) Quelle est l’influence de la force centrifuge sur la position du point de chute ? Déterminer la durée de la trajectoire et la portée du tir.

(b) Quelle est l’influence de la force de Coriolis sur la position du point de chute ? On procédera par approximations successives en supposant que, pour calculer la force de Coriolis, on peut remplacer la vitesse du projectile par son expression approchée.