Exercice2.2.1 (FF)Rotation d’un pendule : Un pendule est constitué d’une masse ponctuellem sus-pendue à l’extrémité d’une tige rigide de longueurlet de masse supposée négligeable. L’autre extrémité de la tige est fixée au point C. La tige peut tourner dans le plan xOz autour du point C. Le repère cartésien xOz, où l’axe Oz est vertical dirigé vers le haut, est muni de la base orthonormée (~i, ~k). L’origine O du système de coordonnée coïncide avec la position la plus basse de la massem. Au cours de son mouvement, la position de la masse mest repérée par l’angleθ que fait la tige avec la verticale (voir figure2.2). Le but
C
de cet exercice est de déterminer la vitesse minimale qu’il faut donner à la massem, initialement à l’équi-libre, pour que son mouvement soit un mouvement de rotation et non pas un mouvement d’oscillation. On négligera tous les frottements.
1. Faire le bilan des forces qui s’exercent sur la masse m. On précisera quelles sont les forces qui travaillent au cours du mouvement du pendule.
2. Donner l’expression de l’énergie potentielleEp de la masse men fonction de sa hauteurz, puis en fonction de l’angleθ. On prendra l’origine de l’énergie potentielle enO.
3. Tracer le graphe représentant l’énergie potentielle Ep(θ) en fonction de θ, pour θ ∈ [−π, π]. On précisera la position des maxima et des minima de la courbe représentative deEp(θ). En déduire les positions d’équilibre stable et instable.
4. Le pendule est initialement immobile à sa position d’équilibre stable. En utilisant le graphe de Ep(θ) précédent, déterminer l’énergie minimale E0 qu’il faut fournir à la massem pour que son mouvement soit un mouvement de rotation et non pas un mouvement d’oscillation.
5. En déduire la vitesse initiale minimalev0 qu’il faut donner à la massempour que son mouvement soit un mouvement de rotation et non pas un mouvement d’oscillation. On donnel = 40cm et on prendra pour l’accélération de la pesanteurg = 10m s−2.
Exercice2.2.2 (FF)Pendule et ressort: On considère une masse ponctuellemaccrochée à l’extrémité d’un pendule de longueur L dont le point de suspension est fixé enC. La masse mest de plus accrochée
à un ressort de raideurk, dont l’autre extrémité est fixée au pointA. Á l’équilibre le ressort est horizontal et la masse m est située en O, à la verticale du point de suspensionC du pendule (voir figure 2.2.2). On supposera que le mouvement du pendule a lieu dans un plan.
O L
A
C
M
FIGURE2.3 –Pendule et ressort.
1. Calculer l’énergie potentielle du pendule supposé seul en fonction de l’angleθ, repérant sa position par rapport à la verticale. On prendra l’origine de l’énergie potentielle à l’équilibre.
2. Calculer l’énergie potentielle du ressort supposé seul lorsqu’on écarte le pendule de l’angleθ.
3. Sachant que l’énergie potentielle totale est la somme des deux termes calculés précédemment, en déduire son expression dans l’approximation des petits angles (on effectuera un développement limité de l’énergie potentielle au deuxième ordre enθ).
4. Calculer l’énergie cinétique du pendule en fonction de θ. En déduire une expression de l’énergie˙ totale du système dans l’approximation des petits angles.
5. En déduire l’équation différentielle du mouvement vérifiée par θ. Déterminer la pulsation ω du mouvement de la massem, dans l’approximation des petits angles.
6. Application numérique :on donnek = 100N.m−1,m = 1kg,L = 10cm,g = 10m.s−2. Calculer la fréquence des oscillations. On suppose que le pendule a été lâché sans vitesse initiale pour une valeurθ0 = 1o, estimer l’énergie totale du système sachant que(1,8)2 = 3,24etπ2 ≈ 10. Calculer l’incertitude absolue sur l’énergie totale sachant quek etL sont connus avec une précision de 1%
(les autres quantités sont connues avec précision).
Exercice2.2.3 (FF): Un petit morceau de glace de massem, repéré par le pointM, glisse sans frotte-ments sur la surface externe d’un igloo qui est une demi-sphère de rayon R dont la base est horizontale.
Au temps t = 0, il est lâché sans vitesse initiale d’un point M0 de cote z0 = Rsinθ0 où θ0 est l’angle (Ox,\−−−→
OM0)(voir figure2.4).
1. Déterminer les composantes de la vitesse et de l’accélération dans la base locale associées aux coordonnées polaires (O,~uρ,~uθ) lié àM (voir figure2.4).
2. On désigne par N~ la réaction de la demi-sphère sur M. En utilisant la relation fondamentale de la dynamique, déterminer l’expression dek−→
Nken fonction de la norme de la vitessev =k−→v kdeM.
θ R
x z uθ
uρ M
FIGURE2.4 –Glissade sur un igloo.
3. En utilisant le théorème de l’énergie cinétique, donner l’expression de v puisk−→
Nken fonction de l’angleθ.
4. Représenter la variation dek−→
Nken fonction deθ. Pour quelle valeur deθ, le pointM “décolle-t-il”
de l’igloo ? Quelle est alors sa vitesse de décollage ? Quelle est la nature de la trajectoire quand la massemquitte la surface de l’igloo ?
5. Montrer que le cas particulierθ0 = π2 correspond à une position d’équilibre. Étudier sa stabilité.
6. Application numérique :On donnem= 80kg,θ0 = 60◦,g = 10m.s−2,R= 2m. Calculer l’énergie totale du système (on prendra l’origine de l’énergie potentielle enθ = 0) avant et après le décollage en négligeant les frottements de l’air. Calculer la vitesse au décollage. Quelles sont les incertitudes relatives pour ces trois quantités si on suppose une incertitude relative de 1%surm,Retθ0 .
TD 3
Moment cinétique
Exercice3.1 (F)Moment d’une force: Soient 3 forces :
F~1 =~i F~2 =−2~j+~k F~3 =−~i+ 0,5~j−4~k
Déterminer la force résultanteR. On suppose que les forces s’appliquent au point~ A(4,−3,1): 1. Calculer le momentM~i =−→
OA∧F~ide chacune des forces par rapport àO(0,0).
2. Calculer la sommeM~ des moments.
3. Calculer le momentM~ 0 =−→
OA∧R~ de la résultanteR~ par rapport àO.
4. ComparerM~ etM~ 0.
5. Calculer l’angle deM~ 0 avecR. Pouvait-on prévoir le résultat ?~
Exercice3.2 (FF) : Du sommetO d’une tour, on lance à l’instant t = 0, dans le champ de gravitation terrestre~g = −k−→g k−→uz, un objet assimilable à un point matériel A de massem avec une vitesse initiale horizontale−→v0 =k−→v0k−→uy. On néglige tout frottement, on suppose le référentiel terrestre galiléen etk−→gk= 9,81m.s−2.
1. Rappeler l’expression des coordonnéesyetz deAà l’instantt(origine des coordonnées enO).
2. En déduire l’expression :
(a) du moment par rapport àOdes forces agissant surAà l’instantt:−→ MO(t).
(b) du moment cinétique deApar rapport àO, à l’instantt:L~O(t).
3. Vérifier le théorème du moment cinétique.
Exercice3.3 (FF): Un point matérielM de massemglisse sans frottements sur un plan horizontalP. Il est retenu par un fil de masse négligeable qui coulisse à travers un petit trou situé enO du plan horizontal et on fait varier manuellement la distance ρ = k−−→
OMk selon la loiρ = −V t+ρ0 oùV est une constante positive (voir figure 3.1). A t = 0, M se trouve en M0(ρ0)et possède une vitessev~0 située dans le planP et faisant un angleαavec−−→
OM0.
1. En appliquant le théorème du moment cinétique, trouver une première quantité conservée.
M
P O
FIGURE3.1 –Le fil coulisse à travers un petit trou . . .
2. Dans le bon choix des coordonnées, exprimer la vitesse~vdeM en fonction des données.
3. Calculer la tension exercée par le fil sur le point mobile. Montrer que sa norme, au voisinage de ρ= 0tend vers une limite non physique.
4. Déterminer la trajectoire du pointM
Exercice3.4 (FF) : Un point matérielM de massem glisse sans frottements sur un plan horizontal P. Il est retenu par un fil de masse négligeable qui s’enroule autour d’un cylindre fixe de rayon a et d’axe Oz, Oétant dans le planP. On noterla distanceHM,H étant le point où le fil rejoint le cylindre (H est également dans le plan P). On repère H par ses coordonnées polaires et on repère M dans la base locale liée àH (~uρ, ~uθ)(voir figure3.2). On désigne parlla longueur totale du fil. At = 0, le pointM est lancé de telle façon que le fil s’enroule autour du cylindre en restant tendu.
M
M H
H z
O
P
O θ uθ uρ
r
x a
FIGURE 3.2 –Le fil s’enroule autour d’un cylindre . . . 1. Faire le bilan des forces s’exerçant surM à l’instantt.
2. En remarquant que : −−→
OM = a~uρ+r~uθ , calculer la vitesse ~v du point M et montrer qu’elle est toujours perpendiculaire à HM. En déduire que k−→v k et donc l’énergie cinétique Ec de M sont constantes.
3. Calculer en fonction dem,retEcle moment cinétique deM enO puis la force s’exerçant sur M.
Exercice3.5 (FF) Atome de Bohr : On considère un électron de charge −e et de masse m en orbite autour d’un proton fixe de charge +e situé à l’origine O du système de coordonnées. Soit M le point représentant la position de l’électron, soientr=k−−→
OMket~ur =
−−→OM r .
1. Montrer que la trajectoire de l’électron est plane. Dans la suite, on utilisera des coordonnées polaires (r, θ)pour décrire la position de l’électron. On négligera les effets de gravitation.
2. La forceF~ subie par l’électron a pour expression dans la base polaire(~ur, ~uθ):F~ =−K~ur/r2 (on a poséK =e2/(4πε0)). Montrer queF~ dérive d’une énergie potentielleEp(r)qu’on exprimera en fonction deK etr(on prendra une énergie potentielle nulle à l’infini).
3. On note ~uI = ~ur ∧~uθ. Soit ~L le moment cinétique de l’électron par rapport à O. Exprimer les coordonnées deL~ dans la base(~ur, ~uθ, ~uI)en fonction dem,r, etθ˙= dθdt.
4. On considère désormais que l’électron reste sur une orbite circulaire de rayon R. En utilisant le principe fondamental de la dynamique en déduire :
(a) que le mouvement est circulaire uniforme
(b) l’expression de la normev de la vitesse de l’électron en fonction deK,metR.
(c) que l’énergie mécanique totale estE =−2RK.
5. Calculer la norme L du moment cinétique de l’électron en fonction de K, m et R. Retrouver ce résultat – à une constante près – par une équation aux dimensions (c’est-à-dire chercherα,β,γ tels queL=KαmβRγ).
6. En 1913 Niels Bohr a fait l’hypothèse que L ne pouvait prendre que des valeurs du type suivant : Ln =n~oùn ∈Net~= 1.055×10−34J.s (~est appelé constante de Planck). Montrer alors que les valeurs possibles pour le rayonRet l’énergie mécanique totaleEse mettent sous la forme :
Rn=RBn2 et En =−EB n2 .
On exprimera RB et EB en fonction de ~, m et K. Donner les valeurs numériques de RB et EB respectivement en angstroms (1 = 10−10 m) et en électron-volts (1 eV = 1.602 ×10−19 J). On donneK = 2.31×10−28S.I etm= 9.11×10−31kg.
TD 4
Mouvement à force centrale
4.1 Généralités
Exercice4.1.1 (F) : Un point matériel M de masse m est soumis à une force dont le support passe constamment par un point fixe O. L’intensité de cette force est inversement proportionnelle au cube de la distancer=k−−→
OMk. On poseraF = Kmr3 , en convenant queK etF sont positifs si la force est répulsive, négatifs si elle est attractive.
1. Montrer que le mouvement deM est plan et qu’il satisfait à la loi des aires.
2. Dans le plan de la trajectoire, on repère le pointM à l’aide des coordonnées polaires(r, θ)d’origine O. On poserar2θ˙=C. En appliquant le principe fondamental de la dynamique et en tenant compte de la loi des aires, montrer quer(t)est solution d’une équation différentielle du second ordre qu’on appellera équation(I).
3. En appliquant le théorème de l’énergie cinétique, montrer que r(t)est solution d’une équation dif-férentielle du premier ordre qu’on appellera équation(II).
4. Les équations(I)et(II)sont-elles équivalentes ?
5. On suppose que les conditions initiales sont telles qu’à l’instant t = 0, le pointM se trouve en A de coordonnéesr0 =a,θ0 = 0. La vitesse initiale est perpendiculaire à−→
OA. On orientera le plan de telle sorte queCsoit positive. Quelle valeur particulièreC0 faut-il donner àCpour que la trajectoire soit un cercle de centreO? Quelle doit être la nature de la force ? Quelle est en fonction deK eta la période du mouvement ?