Travaux dirigés de Mécanique n°1

TD M1 Mécanique 2012/13

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Travaux dirigés de Mécanique n°1

Prise de connaissance avec la cinématique.

Exercice 1 : Conversion

Une voiture avance à la vitesse v=70km.h^-1. Donner sa vitesse v en m.s^-1.

Un moteur tourne à la vitesse θ=3500tr.min⁻¹. Donner sa vitesse angulaire en rad.s^-1.

Exercice 2 : Intégration

Pour chacun des exemples suivants, calculer la vitesse v(t) et la position x(t) de la particule se déplaçant en ligne droite sur l’axe (Ox) en tenant compte des conditions initiales.

1. A t=0, x

( )

0 ⁼⁰ v

( )

0 ⁼⁰

⎧

⎨⎪

⎩⎪

. Pour t>0, a(t)=a0.

2. A t=0, x

( )

0 ^{= x0} v

( )

0 ^=v0

⎧

⎨⎪

⎩⎪

. Pour t>0, a(t)=a0.

3. A t=τd, x

( )

τ_d ^=h v

( )

τ_d ^=c

⎧

⎨⎪

⎩⎪

. Pour t>τd, a(t)=γ.

Exercice 3 : Eléments cinématiques

1. On considère un point M en mouvement dont les coordonnées cartésiennes sont, à chaque instant : x t

( )

^=a0t² +x₀, y t

( )

^{=−vt et z t}

( )

^=z0 avec x₀ =1m, z₀ =−1m, a₀ =2m.s⁻² et v=3m.s⁻¹.

a. Déterminer les composantes des vecteurs vitesse et accélération dans la base cartésienne.

b. Calculer la norme de la vitesse de M à la date t=2s.

c. Calculer la norme de l’accélération de M à la date t=1s.

2. On considère un point M en mouvement dont les coordonnées cylindriques sont, à chaque instant : r t

( )

^=a0t²+r₀, θ

( )

t ^=ωt−θ0 et z t

( )

^{=−vt avec r}0 =1m, θ0 =2rad, a₀ =1m.s⁻², ω =3rad.s⁻¹ et v=2m.s⁻¹.

a. Déterminer les composantes des vecteurs vitesse et accélération dans la base cylindrique.

b. Calculer la norme de la vitesse de M à la date t=1s.

c. Calculer la norme de l’accélération de M à l’instant initial (t=0).

Mouvements rectilignes.

Exercice 4 : Course poursuite

Une voiture C roule à la vitesse constante _v0 =90km.h⁻¹ sur une route horizontale et droite ; un motard M, qui démarre à t=0 au moment où la voiture passe à sa hauteur (au point O), accélère uniformément ; il atteint _v0 =90km.h⁻¹ au bout de t=10s.

1. Quel temps T faudra-t-il au motard pour rattraper la voiture ? 2. Quelle sera alors la distance d parcourue ?

3. Quelle sera la vitesse v₁ acquise par le motard ?

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Exercice 5 : Attention au choc

Deux voitures se suivent sur une ligne droite à la vitesse v=30m.s⁻¹ à une distance d=80m l’une de l’autre. A la date t=0, la première freine avec une décélération constante de aA=-2,0m.s^-2. Celle qui la suit commence à freiner seulement 2,0 secondes plus tard, avec une décélération constante de aB=-1,0m.s^-2.

1. En prenant pour origine du repère spatial la position de la seconde voiture à la date t=0, établir les équations horaires du mouvement des deux véhicules.

2. Déterminer la position et la date du contact.

Exercice 6 : Oscillations rectilignes

Un point M est astreint à se déplacer sur un axe (Ox). A la date t=0, il se trouve à la position x0=10cm avec une vitesse v⁰

=v₀e_x

( _v0 =0,15m.s⁻¹). Par la suite, il sera à chaque instant soumis à une accélération définie par a

( )

M ^{=−C.OM } avec C=2,0 USI.

1. Quelles sont les dimensions de la constante C ? En déduire son unité SI.

2. Etablir l’équation horaire x(t) du mouvement de M sur cet axe.

3. Exprimer, puis calculer la période des oscillations de M.

Exercice 7 : Alerte à Malibu

Soit P, la plage de Malibu, séparation entre deux milieux différents : le sable (milieu (1)) et la mer (milieu (2)).

Mitch Buckhannon situé en A1 sur le sable (à la distance A¹H₁=a₁ de P) repère une jolie nageuse en difficulté en A2 en mer (à la distance _A2H₂ =a₂ de P). Il peut courir sur le sable à la vitesse v1 et nager à la vitesse v2<v1. On notera T la durée du parcours A10A2.

Quel trajet Mitch doit-il emprunter pour rejoindre la nageuse le plus rapidement possible ?

On déterminera d’accord l’équation que doit vérifier _x= H₁O, puis on simplifiera l’expression obtenue en introduisant les sinus des angles α1 et α2.

A quelle loi physique l’expression obtenue vous fait-elle penser ?

Exercice 8 : Effet Doppler

On travaille dans le référentiel lié au sol.

Un véhicule de pompier roule à la vitesse constante v0, en émettant une sirène que l’on modélisera par une série de bips émis à la fréquence f0.

1. Quel est l’intervalle de temps qui sépare deux bips pour un pompier situé à l’intérieur du véhicule ?

2. Même question pour un observateur immobile (durée T) si le véhicule s’éloigne de lui. En déduire la fréquence des impulsions sonores perçues par l’observateur (fréquence f).

3. Mêmes questions si le véhicule s’approche de l’observateur : T’ et f’.

Données : Célérité du son dans l’air _cs =340m.s⁻¹,v₀ =100km.h⁻¹,f₀ =400Hz Mouvements en coordonnées cylindriques ou polaires.

Exercice 9 : Spirale

Un mobile M parcourt avec une vitesse de norme constante v la spirale d’équation polaire _r=aθ avec a constant. Exprimer v M

(

/ℜ

)

la vitesse de M en fonction de θ et v dans la base polaire.

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Exercice 10 : Laboratoire spatial

Un laboratoire spatial, constitué de deux anneaux concentriques de même axe, est en rotation uniforme autour de cet axe de manière à créer une gravité artificielle. Sa période de rotation T est choisie de manière à ce que l’accélération soit égale à l’accélération de la pesanteur sur Terre (9,81 m/s²) au niveau de l’un des anneaux (de rayon r1=2,15 km) et à l’accélération de la pesanteur sur Mars (3,72 m/s²) au niveau de l’autre.

Exprimer l’accélération d’un point situé sur l’anneau 1 en fonction de T et r1. En déduire la valeur de T puis le rayon r2 du second anneau.

Exercice 11 : Mouvement hélicoïdal

Les équations paramétriques d’une particule P dans un référentiel orthonormé R direct sont : x=acosωt, y=asinωt et _z=hωt avec a, h et ω des constantes positives.

1. Soit H la position de P dans le plan xOy

a. Montrer que H est animé d’un mouvement circulaire uniforme.

b. Sur quelle surface la trajectoire de P est-elle inscrite ? La représenter.

2. Calculez les composantes de v P

(

/ℜ

)

en coordonnées cylindriques ainsi que la vitesse numérique de P. Quelle remarque peut-on faire ? Déterminer s(t) la distance parcourue par la particule à l’instant t. Déterminez l’angle α que fait v P

(

/ℜ

)

avec sa direction Oz. Que peut-on dire de α ?

3. Calculez les composantes du vecteur accélération a P

(

/ℜ

)

en coordonnées cylindriques.

Indiquez le support et le sens de a P

(

/ℜ

)

^.

Exercice 12 : Ultime combat

Messieurs G et P s’affrontent lors d’une course de Karting.

Leurs positions respectives sont repérées par les points (A) et (B). Ils arrivent en ligne droite, coupent l’axe CC’ au même instant et prennent le virage de deux manières différentes :

Monsieur G (point A) suit une trajectoire circulaire de centre O et de rayon rA=90m.

Monsieur P (point B) prend l’intérieur et suit une trajectoire circulaire de centre O’ et de rayon rB=75m.

On appelle R le référentiel

(

O,e_x,e_y,e_z

)

. Le but de l’exercice est de déterminer laquelle des deux héros sortira en premier du virage en coupant à nouveau l’axe CC’ gagnant ainsi la course.

1. Déterminer puis calculer les longueurs LA et LB des trajectoires des deux kartings. Peut-on conclure ?

2. On suppose que les deux kartings roulent à des vitesses vA et vB constantes pendant tout le virage.

Déterminer ces vitesses pour que dans le virage, les accélérations des 2 kartings restent inférieures à 0,8g avec g=9,81m.s^-2 l’accélération de la pesanteur (au delà de cette limite, les kartings et leurs conducteurs dérapent et finissent leur course dans le bac à gravier ou dans les pneus).

3. Conclure. Qui est le plus fort ?