1 m 0.r 2 1) Trouver l expression de l accélération du centre d inertie G du corps (C) en fonction de g, α, m 0, m et r

Mouvement de rotation autour d’un axe fixe Exercice_1

l’équation horaire d’un point matériel M appartenant à un corps solide en rotation autour d’un axe fixe est :

θ = (t) 10t

²

+ 6t

^; avec t(s) et

θ (rad)

1) calculer la vitesse angulaire du point M à l’instant t = 5 s.

2) Calculer la vitesse angulaire du point M.

Solution

1) faisons d’abord la dérivée de l’équation horaire par rapport au temps, puis remplaçons t par 5s

.

d

20t 6 (rad / s) dt

(t 5s) 20 5 6 106 rad / s ω = θ = θ = +

ω = = × + =

2) de même pour l’accélération, faisons la dérivée de la vitesse angulaire par rapport au temps, puis remplaçons t s’il existe par 5s.

.. 2

2 2

d d

20rad / s dt dt

ω θ

θ = = =

on remarque que l’accélération angulaire ne dépend pas du temps. Donc le mouvement de M est circulaire uniformément varié

Exercice_2

Soit le système mécanique (S) formé de :

-- une poulie homogène (D) de rayon r et de masse

m

₀, pouvant tourner autour de son axe de symétrie

( ) ∆

et horizontal.

-- un corps (C) de masse m.

-- un fil (f) inextensible, de masse négligeable et ne glisse pas sur la gorge de la poulie, son autre extrémité est fixée au corps (C).

On place le corps (C) sur un plan incliné d’un angle

α

par rapport à l’horizontal.

On libère le système (S), on observe que le corps (C) glisse sans frottement sur le plan incliné vers le bas, la poulie tourne autour de son axe fixe

( ) ∆

Donnée : le moment d’inertie de la poulie est :

1

₀ ²

2 m .r

1) Trouver l’expression de l’accélération du centre d’inertie G du corps (C) en fonction de

g , α , m , m et r

0

2) déduire la nature du mouvement du corps (C).

Solution

1) Repère

(O,i, j)

système {poulie (D)}

Inventaire des forces extérieures

P

0 le poids de la poulie

R

0 l’action de l’axe

( ) _∆

sur la poulie

F

0 la force exercée par le fil (f) sur la poulie La relation fondamentale de la dynamique

..

0 0 0

M (P )

_∆

₊ M (R )

_∆

₊ M (F )

_∆

₌ J

_∆

_θ

, en choisissant un sens positif

0 0

M (P )

_∆

₌ M (R )

_∆

₌ 0

, car

P et R

_{0 0} se coupent avec l’axe

( ) _∆

0 0 0

M (F )

_∆

₌ F .r (F

est tangentielle à la poulie)

..

Mouvement de rotation autour d’un axe fixe

(a) l’accélération du centre d’inertie G du corps (C).

Donc

..

a

θ = r

; car le fil est inextensible ; ₀

a

F .r J . (a)

∆

r

=

Système étudié : {corps (C)}

inventaire des fores extérieures :

P

: le poids du corps (C).

R

: la réaction du plan incliné sur le corps (C).

F

: la force exercée par le fil sur le corps (C) La relation fondamentale de la dynamique

P + + = R F ma

projetons sur l’axe (Ox) ;

Fx + Rx + Px = ma

_x

Px mg sin ; Rx 0 ; Fx F ; a

x

a

mg sin F m.a F m( a g.sin ) (b)

= α = = − =

α − = ⇒ = − + α

puisque la masse du fil est négligeable, alors

F = F

₀

D’après (a) et (b)

2

m.a m.g.sin J . a

∆

r

⇒ − + α =

^{, avec}

^{J 1 m .r}

₀ ²

∆

= 2

0 0

0

m .a m

m.a m.g.sin a. m.a m.g.sin

2 2

a(m m ) m.g.sin 2

− + α = ⇒ + = α

+ = α

0 0

m.g.sin g.sin

a m m

m 1

2 2m

α α

= =

+ +

2) On remarque que l’accélération (a) du centre d’inertie G du corps (C) est constante, donc le mouvement du corps (C) est rectiligne uniformément varié (accéléré).

Exercice_3 choisir l’hypothése exacte, parmi ces hypothéses

1) La relation entre la vitesse linéaire et la vitesse angulaire :

. .

V

2 .

V

a) V ; b) ; c)

r r r

= θ θ = θ =

2) L’expression de l’accélération angulaire est

. .

..

d

..

ds

..

d

a) ; b) ; c)

dt dt dt

θ θ

θ = θ = θ =

3) l’unité de l’accélération angulaire en (S.I) est :

a)rad .s

^{2 −1}

; b)rad.s

⁻²

; c)rad.s

⁻¹

4) la relation fondamentale de la dynamique, dans le cas de la rotation autour d’un axe fixe est :

.. .. ..

i i i i

a) M (F ) ∑

_∆

= m. ; b) F θ ∑ = J . ; c) M (F )

_∆

θ ∑

_∆

= J .a ; d) M (F )

_∆

∑

_∆

= J .

_∆

θ

5) l’unité du moment d’inertie d’un corps solide en (S.I) est :

a)kg.m ; b)kg.m ; c)kg .m

^{2 2}

Solution

1) la réponse exacte

.

V

θ = r

2) la réponse exacte

..

d

.

dt

θ = θ

3) la réponse exacte

rad.s

⁻²

4) la réponse exacte

..

M (F )

_∆ i

= J .

_∆

θ

∑

5) la réponse exacte

kg.m

⁻²

Mouvement de rotation autour d’un axe fixe Exercice_4

1) La vitesse angulaire d’un point M d’un corps solide en rotation autour d’un axe fixe est

. 1

10rad.s

⁻

θ =

1.1) calculer l’accélération angulaire de ce point 1.2) Quelle est la nature du mouvement du point M ?

1.3) Ecrire l’expression de l’abscisse angulaire

θ

en fonction du temps, sachant que l’abscisse angulaire à l’instant t = 0 est

θ =

₀

2rad

2) l’expression de l’abscisse angulaire d’un point N d’un corps solide en rotation autour d’un axe fixe est :

θ = (t) 10t

²

+ 40t + 6

avec t(s) et

θ (rad)

2.1) Trouver l’expression de la vitesse angulaire en fonction du temps.

2.2) trouver l’expression de l’accélération angulaire en fonction du temps.

2.3) Quelle est la nature du mouvement du point N ? Réponse :

..

1) 1.1) θ = 0 ; 1.2) mouvemen t circulaire;1.3) (t) θ = 10t + 2

. ..

2)2.1) (t) θ = 20t + 40;2.2) θ = 20rad.s ;mouvement circulaire uniformément var ié

⁻2

Solution

1) 1.1) Comme la vitesse angulaire

.

10rad.s

⁻1

θ =

est constante, alors

..

d

.

dt 0 θ = θ =

1.2) Le mouvement est circulaire uniforme ;

. .

te

0

d C .t

dt

θ = θ = ⇒ θ = θ + θ

^;

θ (rad) = 10t + 2

avec t(s)

2.1) La vitesse angulaire

.

d

.

20t 40 (rad / s) dt

θ = θ ⇒ θ = +

2.2) l’accélération angulaire

. 2

.. 2

2

d d

20 (rad / s ) dt dt

θ θ

θ = = =

2.3) Puisque

..

C

te

θ =

, mouvement circulaire uniformément varié.

Exercice_5

Un disque homogène de masse m= 200 g et de rayon r = 5 cm ; pouvant tourner autour d’un axe

( ) ∆

Au départ, le disque est au repos, on lui applique un couple de deux forces, son moment M est constant.

Ce qui permet au disque de tourner autour de l’axe

( ) ∆

. Après, une minute la vitesse angulaire

θ

.

du disque prend la valeur de 5 rad/s ; à ce moment on supprime le couple motrice.

On considère tous les frottements négligeables. Le moment du disque

1

²

J mr

∆

= 2

1) Calculer le moment d’inertie du disque

J

_∆ , par rapport à l’axe

( ) ∆

2) Montrer que l’accélération angulaire du disque reste constante pendant la durée de l’application du couple motrice. Calculer sa valeur.

3) Calculer la valeur de (M), le moment du couple motrice.

4) Quelle est la nature du mouvement du disque, après avoir supprimé le couple motrice ? Justifier votre réponse.

Solution

1) le moment d’inertie

1

^{2 2 4 2}

J

_∆

= mr = 0.5 0.2 (0.05) × × = 2.5 .10 kg.m

⁻

Mouvement de rotation autour d’un axe fixe 2) Repère terrestre

Système {disque}

Inventaire des forces extérieures

P

poids du disque

R

la réaction de l’axe de rotation

M le moment du couple motrice des deux forces La relation fondamentale de la dynamique

..

M (F

_∆ ext

) = M (P)

_∆

+ M (R)

_∆

+ M = J .

_∆

θ

∑

M (P)

_∆

= M (R)

_∆

= 0

^{, car}

P et R

se coupent avec l’axe de rotation

..

M

te

J

_∆

C

θ = =

; alors le mouvement de rotation est uniformément varié.

l’équation horaire de la vitesse angulaire

. .. . .

0 0

t ; 0

θ = θ + θ θ =

, car le disque à t = 0 était au repos .

.. .

2 2

5 8.33 .10 rad.s t 60

− −

θ = = θ

3) Le moment du couple motrice

..

M = J .

_∆

θ

4 2 5

M = 2.5 .10

⁻

× 8.33 .10

⁻

= 2.08 .10 N.m

⁻

4) dans ce cas le corps est pseudo-isolé, donc son mouvement est de rotation uniforme avec la vitesse angulaire

.

5 rad.s

⁻1

θ =

Exercice_6

Un anneau (cerceau) de moment d’inertie

J

_∆ tourne autour de son axe

( ) ∆

avec une vitesse de 90 tours par minute. Pour arrêter l’anneau on lui applique un moment de freinage de moment

M

_Cconstant, jusqu’à ce qu’il s’arrête.

M

_C

= − 0.2 N.m

, on néglige les frottements.

1) Quelle est la nature du moment de l’anneau avant et après l’application du couple de freinage ? 2) Calculer l’accélération angulaire

θ

.. de l’anneau lors de l’application du couple de freinage, sachant que

J

_∆

= 8 .10 kg.m

^{−3 2}

3) calculer la durée

∆ t

qu’a durée le freinage.

Réponse :

.. ..

M

2

2) ; 25.0rad.s ; 3) t 377ms J

∆ −

∆

θ = θ = − ∆ =

Réponse

1) – avant l’application du couple de freinage, le mouvement de l’anneau est de rotation uniforme

-- après l’application du couple de freinage, l’accélération de l’anneau est

..

Mc

J

_∆

0

θ = <

, donc le mouvement est de rotation uniformément varié

2)

.. 2

3

Mc 0.2

25 rad.s J 8 .10

− −

∆

θ = = − = −

3) L’équation horaire de la vitesse

Mouvement de rotation autour d’un axe fixe

. .. .

. t

i

θ = θ ∆ + θ

, à la fin

.

θ = 0

Donc

.

i . 1

.. i

t , avec 90 2 9.42rad.s 60

−θ × π

−

∆ = θ = =

θ

t 9.42 377ms

∆ = 25 =

Remarque : la deuxième méthode, utilisation du théorème d’énergie cinétique

Exercice_7

On néglige les frottements et on prend

g = 9.8 m.s

⁻²

On attire un jouet par un fil inextensible et de masse négligeable, enroulé sur un cylindre de masse

m

_C

= 250g

et de rayon r = 6 cm.

le cylindre tourne autour de son axe à l’aide d’un moteur appliquant un couple de moment constant M.

le jouet se trouvant sur un plan incliné d’un angle

α = ° 30

^par

rapport à l’horizontal, de longueur OA = 2 m. La masse du jouet

m

S

= 400g

1) calculer l’intensité de la force avec laquelle il faut attirer le jouet pour lui communiquer une accélération

a = 0.5m.s

⁻²

2) Ecrire l’équation horaire du mouvement du centre d’inertie G du jouet, sachant que sa vitesse initiale est nulle à l’instant t = 0 à l’origine du repère

(O,i, j)

3) A quelle distance de O il faut couper le fil pour que le jouet puisse s’arrêter avec une vitesse nulle au point A ?

4) Calculer le moment d’inertie

J

_∆ du cylindre, déduire la valeur de M.

Solution

1) Repère terrestre

(O,i, j,k)

Système {jouet}

Inventaire des forces extérieures

P

le poids du jouet

R

la réaction du plan incliné

T

la tension du fil

La deuxième principe de Newton

P + + = R T m .a

S

Projection sur l’axe (O,x)

S S S

T − m .g.sin α = m .a ⇒ T = m (a + g.sin ) α

Application numérique

T = 0.4 (0.5 × + 9.8 sin 30 ) × ° = 21.17 N

2) Puisque

a = C

^te ; le mouvement du jouet est rectiligne uniformément accéléré.

2

0x 0 0x 0

x a t V .t x , à t 0 , V 0 et x 0

= 2 + + = = =

Donc

x = 0.25t

²

3) Supposons B le point où il faut couper le fil

Donc cherchons

V

_B avec deux méthodes différentes :

Mouvement de rotation autour d’un axe fixe Le jouet est soumis à trois forces

P , R et T

Théorème de l’énergie cinétique

Ec W(P) W(R) W(T)

∆ = + +

S 2

S B S

Ec(B) Ec(O) ( m .g.sin T).OB ; Ec(O) 0 1 m V ( m .g.sin T).OB (1)

2

− = − α + =

= − α +

Entre B et A

Appliquons théorème de l’énergie cinétique aux jouets qui est soumis

P , R

S 2

S B S

Ec W(P) W(R)

Ec(A) Ec(B) m .g.sin .AB ; avec Ec(A) 0 1 m V m .g.sin .AB (2)

2

∆ = +

− = − α =

= α

En plus, on a la relation OA = OB + AB D’où

m .g.sin .OA

^S

AB AB 1.81 m

T

= α ^⇒ =

4) Le moment d’inertie du cylindre ;

1

_C ^{2 4 2}

J m .r 4.5 .10 kg.m 2

∆

= =

−

Repère terrestre

(O,i, j,k)

Système {cylindre}

Inventaire des actions mécaniques :

P'

le poids du cylindre

R '

la réaction de l’axe

( ) ∆ T'

tension du fil ; T = T’

M le moment du couple moteur

La relation fondamentale de la dynamique

..

M (P')

_∆

+ M (R ')

_∆

+ M (T')

_∆

+ M = J .

_∆

θ

Avec

.. ..

2 T

a a r. a 8.33 rad.s r

= = θ ^⇒ θ = =

−

.. ..

T'.r M J . M J . T.r M 0.133 N.m

∆ ∆

− + = θ ^⇒ = θ+

=

Exercice_8

Considérons un cylindre homogène, horizontal, de masse

m

_C

= 800g

, de rayon, r = 10 cm, pouvant tourner autour d’un axe

( ) ∆

, on suspend à l’aide d’un fil enroulé sur le cylindre un corps (S) de masse

m

S

= 1.0 k g

1) On libère le corps (S) sans vitesse initiale, il glisse d’une distance h = 3.5 m, provoquant la rotation du cylindre. Si on néglige la masse du fil inextensible, et les frottements ; calculer :

1.1) L’accélération du corps (S).

1.2) La vitesse de (S) à la fin de sa chute, ainsi que la durée de la chute.

2) à la fin de la chute, le fil s’échappe du cylindre, ce qui fait que ce dernier est soumis à un couple résistant constant et s’arrête après avoir effectuer 10 tours.

2.1) Calculer le moment du couple résistant.

2.2) Calculer l’accélération angulaire du cylindre, et la durée que dure le freinage.

Mouvement de rotation autour d’un axe fixe Donnée :

g = 9.8 m.s

⁻²

Solution

1.1) repère terrestre Système {cylindre}

Inventaire des forces extérieures

P

le poids du cylindre

R

la réaction de l’axe

( ) ∆ T

la tension du fil

la relation fondamentale de la dynamique

..

M (P)

_∆

+ M (R)

_∆

+ M (T)

_∆

= J .

_∆

θ

M (P)

_∆

= M (R)

_∆

= 0 , car P et R

se coupent avec l’axe

( ) ∆

..

(a) r.T = J .

_∆

θ

, avec

1

_C ²

J m .r

∆

= 2

Système {corps (S)}

Inventaire des forces extérieures

P'

poids du corps (S)

T'

la tension du fil

Deuxième principe de Newton

P' + T' = m .a

_S

Projection sur l’axe (x’x)

S S S

m .g − T' = m .a ^⇒ T' = m (g − a) (b)

, avec T = T’ , la masse du fil est négligeable

..

a = a

T

= θ r.

, l’accélération tangentielle

2 C

C

C

S S

C S

S S

C S

m

1 a

(a) r.T m .r . T .a (1)

2 r 2

T T' m .g m .a m .a 2

m 2m .g

a(m ) m .g a

2 m 2m

⇒ = ⇒ =

= ⇒ − =

+ = ⇒ =

+

Application numérique

2 9.8

2

a 7 m.s

2 0.8

×

−

= =

+

1.2) Puisque a =constante, alors le mouvement de (S) est rectiligne uniformément varié

2

0 0 0 0

x 1 at V t x ; V 0 et x 0

= 2 + + = =

Donc

1

²

x at et v a.t

= 2 =

La durée de la chute lorsque

1

²

x h at

= = 2

2h 7

t 1 s

a 7

= = =

la vitesse à la fin de la chute ;

V = a.t = 7m / s

2) Système {cylindre}

Mouvement de rotation autour d’un axe fixe Inventaire des forces extérieures

P

: le poids du cylindre

R

: la réaction de l’axe

( ) ∆ Mr

: le moment résistant

Théorème de l’énergie cinétique entre l’instant où on coupe le fil et l’instant où le cylindre s’arrête

f

Ec W(P) W(R) W(Mr) Ec 0 ; W(P) W(R) 0

∆ = + +

= = =

Ec

i

Mr. Mr.2 n

− = ∆θ = π

, n : le nombre de tours ; _i

1

_i²

Ec J .

2

^∆

= ω

i

V 7

70 rad / s r 0.1

ω = = =

; Condition de roulement sans glissement

2 2 2

2 2

C i C

i

m .r . m .V

J . 0.8 7

Mr 0.156 N.m

4 n 8 n 8 n 8 3.14 10

∆

− ω −

− ω − ×

= = = = = −

π π π × ×

Mr < 0

, car résistant, couple de frottement 2.2) L’accélération angulaire

Appliquons la relation fondamentale de la dynamique ..

M (P)

_∆

+ M (R)

_∆

+ Mr = J . ; M (P)

_∆

θ

_∆

= M (R)

_∆

= 0

Donc ; ..

2 C

Mr 2Mr J

_∆

m .r

θ = =

A.N

.. 2

2

2 0.156

39rad / s 0.8 0.1

θ = − × = −

×

La durée du freinage

. .. . .

. t

i

; 0

θ = θ ∆ + θ θ =

; à la fin du mouvement La vitesse initiale

.

i i

V 70rad / s θ = ω = r =

. i ..

t 70 1.79 s

39

−θ −

∆ = = =

θ −

Mouvement de rotation autour d’un axe fixe

Exercice_9

Soit un cylindre (C) homogène de rayon r = 5 cm pouvant tourner autour de l’axe

( ) ∆

horizontal et fixe, passant par son centre I. Soit

J

_∆ le moment d’inertie du cylindre par rapport à l’axe

( ) ∆

On enroule sur le cylindre (C) un fil inextensible et de masse négligeable, on fixe à son extrémité qui est en bas un corps solide de masse

m

_S

= 50g

le fil ne glisse pas sur le cylindre.

A l’instant t = 0, on libère le système sans vitesse initiale. L’étude expérimentale du mouvement du corps (S) a permis de tracer la courbe de la variation

de la cote de (S) en fonction de

t

² (voir courbe).

1) 1.1) Préciser la nature du mouvement du centre d’inertie G du corps (S).

Donner graphiquement son accélération a.

1.2) Le corps (S) parcourt une distance h = 1 m à l’instant

t

₁ . Calculer

t

₁

2) 2.1) Quelle est la nature du mouvement du cylindre ?

2.2) Quel est le nombre de tours effectué par le cylindre pendant la durée

1 0

t t t

∆ = −

2.3) Calculer la valeur de T, l’intensité de la force qu’exerce le fil sur le cylindre.

2.4) Calculer la valeur de

J

_∆ , le moment d’inertie du cylindre par rapport à l’axe

( ) ∆

Donnée : l’intensité du champ de pesanteur

g = 9.8m.s

⁻²

Exercice_10_leçon

Une tige (OA) de longueur L et de masse m peut tourner dans un plan vertical autour d’un axe

( ) ∆

fixe et passant par le point O.

à l’instant t = 0, la tige fait un angle

θ

₀ avec l’axe (Oz), et un angle

θ

à un instant t.

1) Trouver l’expression de l’accélération angulaire de la tige à un instant t, en appliquant la relation fondamentale de la dynamique.

2) Trouver l’expression de l’accélération angulaire par autre méthode.

Donnée : le moment d’inertie de la tige est

1

²

J m.L

∆

= 3

Exercice_11_leçon_application

Soit un cylindre homogène de rayon r 5 cm et de masse m = 1 kg. le cylindre pouvant tourner autour d’un axe fixe

( ) ∆

soulève par une corde enroulé sur elle, un corps (S) de masse m’ = 0.5 kg.

Donnée : la masse du barreau est négligeable ;

ℓ = 50cm

.

1 2

m = m = 100g

; deux masses liés à la tige

1) trouver l’accélération du corps (S) ainsi que la tension de la corde.

On libère le système à un instant t = 0 sans vitesse initiale et on admet que tous les frottements sont négligeable.

2) Préciser l’accélération angulaire du cylindre, après avoir parcouru une distance h = 5 m par le corps (S) en bas