PCSI 2 Cinématique
2021 – 2022 1/2
CINEMATIQUE
I Attention au choc !
Deux voitures se suivent sur une ligne droite à la vitesse v = 30 m.s-1 à une distance d = 80 m l’une de l’autre. A la date t = 0, la première freine avec une décélération constante de 𝑥̈!= −2,0𝑚. 𝑠"#. Celle qui la suit commence seulement à freiner Dt = 2,0 s plus tard, avec une décélération constante de 𝑥̈$= −1,0𝑚. 𝑠"#.
1) En prenant pour origine du repère spatial la position de la seconde voiture à la date t = 0, établir les équations horaires du mouvement des deux véhicules.
2) Déterminer la position et la date du contact.
Réponse : 3,0.102 m ; 11 s.
II Système « bielle-manivelle »
On considère un système bielle - manivelle (cf. figure).
L'extrémité A de la tige OA décrit le cercle de centre O, de rayon OA = 2 a, à la vitesse angulaire constante w.
L'extrémité B de la tige AB glisse sans frottement sur l'axe Ox.
On suppose que OA = AB.
On note G le milieu de AB et q = w t = (
𝑂𝑥 #####⃗
,𝑂𝐴 #####⃗
).1) Calculer les coordonnées xG et yG du point G dans Oxy.
En déduire que la trajectoire est une ellipse d’équation : ,%&!-#+ ,'(!-#= 1.
Identifier les coefficients l et µ.
Représenter la trajectoire.
2) Déterminer les composantes de la vitesse
𝑣⃗
et de l'accélération𝛾⃗
du point G dans Oxy.Vérifier que le mouvement est à accélération centrale, c’est-à-dire que l’accélération est constamment dirigée vers un même point que l’on précisera.
Réponse : xG = 3 a cos wt ; yG = a sin wt ; l = 3a et µ = 2a;
𝛾⃗
= - w2𝑂𝐺 #####⃗
.III Soit une plage rectiligne.
Un point A1 sur le sable est à la distance A1H1 = a1 du bord.
Un point A2 en mer est à la distance A2H2 = a2 du bord.
On pose H1H2 = d.
Une personne peut courir sur le sable à la vitesse constante v1 et nager à la vitesse constante v2.
Elle désire rejoindre depuis le point A1, le plus rapidement possible, une bouée immobile en A2. On cherche à déterminer le trajet A1A2 qu’elle doit emprunter pour cela.
1) Déterminer le temps t de parcours en fonction de a1, a2, v1, v2, d et x = H1O.
2) En déduire l’équation en x permettant de minimiser t.
3) La transformer pour faire apparaître une relation entre v1, v2, sin a1 et sin a2 en introduisant les angles a1 = (A1H1, A1O) et a2 = (A2H2,
A2O). A quelle loi dans un autre domaine de la physique l'expression obtenue vous fait-elle songer ? Interpréter.
Réponse : 𝑡 =)*"
#+%# ," +)*#
#+(."%)# ,# ; ,0
"𝑠𝑖𝑛𝛼0=,0
#𝑠𝑖𝑛𝛼#.
PCSI 2 Cinématique
2021 – 2022 2/2
IV Course poursuite
Une voiture C roule à la vitesse constante vo = 90 km.h-1 sur une route horizontale et droite. Un motard M, qui démarre à t = 0 au moment où la voiture passe à sa hauteur (au point A), accélère uniformément.
Il atteint la vitesse vo = 90 km.h-1 au bout de t = 10 s.
1) Quel temps T faudra-t-il au motard pour rattraper la voiture ?
2) Quelle sera alors la distance d parcourue ? 3) Quelle sera la vitesse v1 acquise par le motard ?
Réponse : T = 20 s ; d = 500 m ; v1 = 180 km.h-1.
V Virage large ou serré ?
Lors d’un grand prix, deux voitures (A et B), arrivent en ligne droite, coupent l’axe CC′ au même instant et prennent le virage de deux manières différentes :
• la voiture A suit une trajectoire circulaire de centre O et de rayon rA = 90,0 m
• la voiture B négocie le même virage sur une trajectoire circulaire de centre O′
et de rayon rB = 75,0 m.
On appelle R le référentiel 3𝑂, 𝑒⃗%, 𝑒⃗', 𝑒⃗17.
Le but de l’exercice est de déterminer laquelle des deux voitures sortira en premier du virage en coupant à nouveau l’axe CC′.
1) Déterminer littéralement puis numériquement les longueurs LA et LB des
trajectoires des deux voitures entre les entrées et sorties du virage, c'est à dire au passage par l'axe (CC') sur la vue en plan.
Comparer LA et LB. Peut-on conclure ?
2) On suppose que les deux voitures roulent à des vitesses vA et vB constantes pendant tout le virage. Déterminer ces vitesses pour que dans les virages, les accélérations des deux voitures restent inférieures à 0,8g avec g = 9,81 m.s-2 la constante de pesanteur (au- delà de cette limite, elles dérapent et finissent leur route dans les graviers). Faire les applications numériques.
3) Conclure par rapport à la question posée initialement.
Réponse : LA = 283 m et LB = 266 m ; vA < 26,6 m.s-1 et vB < 24,3 m.s-1 ; tA = 10,6 s et tB = 10,9 s.
VI Deux navires
A l’instant t = 0, deux navires sont situés sur un même méridien. Le navire N’ est à une distance notée a au nord de N.
Compte tenu des faibles distances parcourues par rapport au rayon terrestre on supposera l’océan localement plan.
On pourra utiliser un repère cartésien en orientant l’axe Ox vers l’Est et l’axe Oy vers le nord.
1) N se dirige vers le nord à la vitesse v constante, N’ vers l’est avec la vitesse constante v’. Quelle sera la distance minimale Dmin entre les deux navires, et à quel instant tmin ?
2) N’ se dirige vers l’est avec la vitesse constante v’. N se déplaçant à vitesse constante v, quelle direction doit-il prendre pour atteindre N’ en ligne droite ? (on repérera la direction de la trajectoire de N par l’angle q qu’elle fait avec les parallèles). Calculer la date T de la rencontre, sa position, et donner la condition pour qu’elle se produise.
Réponse : 𝑡234 =,#*,+,5# ; 𝐷234= *,5
6,#+,5# ; q / 𝑐𝑜𝑠𝜃 =,5, et 𝑇 = *
6,#",5# si v’ < v.
C
C’
