Lyc´ee Benjamin Franklin PT−2013-2014
M. Hillairet, D. Blotti`ere Math´ematiques
Devoir de vacances
Pour le mardi 3 septembre, 10h
Probl`eme 1 : Une ´equation fonctionnelle
Notations
Dans tout ce probl`eme,ad´esigne un r´eel strictement positif.
On noteE l’ensemble des fonctions `a valeurs dansR, d´efinies sur [0, a], i.e.
E=F([0, a],R).
On rappelle queE, muni de l’addition et de la multiplication par un scalaire usuelles, est unR-espace vectoriel.
On dit qu’une fonctionf deE v´erifie la relation (⋆) si et seulement si :
(⋆) il existe un r´eelAtel que pour toutx∈[0, a],|f(x)| ≤Ax.
On noteLl’ensemble des fonctions deE qui v´erifie la relation (⋆).
Partie A : ´Etude de L 1. Soitf une fonction v´erifiant (⋆).
(a) Montrer quef(0) = 0.
(b) Montrer quef est continue en 0, en revenant `a la d´efinition de la notion de limite.
2. Soitg une fonction `a valeurs r´eelles, d´efinie sur [0, a], de classeC1sur [0, a] et telle queg(0) = 0.
(a) Justifier queg′ est born´ee sur [0, a].
(b) D´emontrer queg∈L.
3. Montrer queL est un sous-espace vectoriel deE.
Partie B : Autour de la s´erie g´eom´etrique
1. V´erifier que pour tout r´eelx∈R\ {1}, on on a pour tout n∈N: 1−xn+1
1−x =
n
X
k=0
xk.
2. En d´eduire les deux r´esultats suivants.
(a) Pour toutx∈[0,1[, pour toutn∈N:
n
X
k=0
xk ≤ 1 1−x. (b) Pour toutx∈[0,1[ :
n
X
k=0
xk →
n→+∞
1 1−x.
Partie C : R´esolution d’une ´equation fonctionnelle
Soitϕune fonction deE, v´erifiant (⋆) et ne prenant que des valeurs positives ou nulles.
On note pour toutx∈[0, a], pour toutn∈N:
un(x) =
n
X
k=0
ϕx 2k
.
1. (a) Soitx∈[0, a].
i. Montrer que la suite (un(x))n∈N est croissante et major´ee.
ii. En d´eduire que la suite (un(x))n∈Nconverge.
(b) Soit la fonction
u: [0, a]→R; x7→u(x) := lim
n→+∞un(x).
Montrer queu∈L.
2. Soitf une fonction, `a valeurs r´eelles, d´efinie sur [0, a]. On dit quef v´erifie la condition (⋆⋆) si et seulement si
(⋆⋆) pour toutx∈[0, a],f(x)−fx 2
=ϕ(x).
(a) Montrer queuv´erifie (⋆⋆).
(b) Soientf etgdeux fonctions v´erifiant (⋆⋆). On poseh=f−g. Soit x∈[0, a]. Montrer que pour tout n∈N:
h(x) =hx 2n
.
Indication : On pourra raisonner par r´ecurrence.
(c) D´eduire de ce qui pr´ec`ede qu’il existe au plus une fonction continue en 0, v´erifiant (⋆⋆) et prenant la valeur 0 en 0.
(d) Montrer qu’il existe une et une seule fonction deLv´erifiant la condition (⋆⋆).
3. Soitα∈[1,+∞[. Soit la fonction
ϕα: [0, a]→R; x7→
xα si 0< x≤a 0 six= 0.
(a) Montrer queϕα∈Let queϕαest `a valeurs dansR+.
(b) D´eterminer l’unique fonctionf ∈Lv´erifiant la condition (⋆⋆) pourϕ=ϕα.
Probl`eme 2 : Une description des sous-espaces vectoriels de R
n( n ∈ N
∗)
Notations et d´efinitions
Soitn∈N≥2. SoitB= (e1, . . . , en) la base canonique deRn.
On appellehyperplan de Rn tout sous-espace vectoriel deRn ayant pour dimensionn−1.
On rappelle qu’une forme lin´eaire surRn est une application lin´eaire deRn dans R. L’ensemble de toutes les formes lin´eaires surRn est doncL(Rn,R).
Partie A : Description des formes lin´eaires de Rn
1. (a) Soit f une forme lin´eaire sur Rn. On pose ai =f(ei)∈R, pour tout i ∈J1, nK. Montrer que pour tout u= (x1, . . . , xn)∈Rn :
f(u) =a1x1+. . .+anxn.
(b) Soientf1 etf2deux formes lin´eaires sur Rn telles quef1(ei) =f2(ei), pour touti∈J1, nK. Montrer que :
f1=f2.
2. Soit (a1, . . . , an)∈Rn. Soit
f:Rn →R; (x1, . . . , xn)7→a1x1+. . .+anxn. (a) D´emontrer quef est une forme lin´eaire surRn.
(b) Calculerf(ei), pour touti∈J1, nK.
3. Justifier le r´esultat suivant.
L(Rn,R) =
Rn → R
(x1, . . . , xn) 7→ a1x1+. . .+anxn
(a1, . . . , an)∈Rn
.
4. Soit
ϕ:L(Rn,R)→Rn; f 7→(f(e1), . . . , f(en)).
D´emontrer queϕest un isomorphisme.
5. En d´eduire la dimension deL(Rn,R).
6. Donner :
(a) un exemple de forme lin´eaire non nulle surR3; (b) un exemple de forme lin´eaire non nulle surR7.
Partie B : Hyperplan de Rn et noyau d’une forme lin´eaire sur Rn
1. Soitf une forme lin´eaire surRn. Montrer que :
f 6= 0L(Rn,R) ⇔ f est surjective
⇔ Ker(f) est un hyperplan deRn. 2. SoitH un hyperplan deRn. SoitH′ un suppl´ementaire deH dansRn.
(a) Justifier qu’il existe un isomorphismeψ:H′→R. (b) Montrer qu’il existef ∈ L(Rn,R) tel que :
H = Ker(f).
Indication : On pourra introduire une projection de Rn ≪bien choisie≫ et la composer parψ.
3. D´eduire des questions 1 et 2 le r´esultat suivant.
Le noyau d’une forme lin´eaire surRn non nulle (i.e. diff´erente de 0L(Rn,R)) est un hyperplan deRn. R´eciproquement, tout hyperplan deRnest le noyau d’une forme lin´eaire non nulle.
4. Soit
H={(x1, x2, x3, x4)∈R4|x1−x2=x3−x4}.
(a) Donner une forme lin´eairef surR4dontH est le noyau.
(b) Montrer quef est non nulle.
(c) En d´eduire un r´esultat sur la structure deH.
Partie C : ´Equations d’un hyperplan de Rn
1. Soit (a1, . . . , an)∈Rn\ {(0, . . . ,0)}. Prouver que
H={(x1, . . . , xn)∈Rn|a1x1+. . .+anxn = 0}
est un hyperplan deRn.
2. SoitH un hyperplan deRn. Montrer qu’il existe (a1, . . . , an)∈Rn\ {(0, . . . ,0)}tel queH est l’ensemble solution de l’´equation
(E) : a1x1+. . .+anxn= 0 d’inconnue (x1, . . . , xn)∈Rn, i.e. tel que
H={(x1, . . . , xn)∈Rn|a1x1+. . .+anxn = 0.}
Une telle ´equation (E) est appel´ee´equation de l’hyperplan H.
3. ´Ecrire un ´enonc´e qui rassemble les r´esultats des questions 1 et 2, de mani`ere analogue `a ce qui a ´et´e fait dans les parties A et B.
4. Soientf etgdeux formes lin´eaires surRn, toutes deux non nulles, et ayant mˆeme noyau. Soit l’hyperplan deRn
H = Ker(f) = Ker(g) (cf. partie B).
Soit (u1, . . . , un−1) une base de H.
(a) Justifier qu’il existei∈J1, nKtel queC= (u1, . . . , un−1, ei) est une base de Rn. (b) Soitu∈Rn, de coordonn´ees (y1, . . . , yn−1, z) dans la baseC deRn. Montrer que :
f(u) =zf(ei) et g(u) =zg(ei).
(c) Justifier quef(ei)∈R∗ et g(ei)∈R∗.
(d) D´eduire des r´esultats pr´ec´edents qu’il existeλ∈R∗ tel que : g=λf.
5. SoitH un hyperplan deRn. Soit (a1, . . . , an)∈Rn\ {(0, . . . ,0)} tel que (E) : a1x1+. . .+anxn= 0
est une ´equation de H. Soit (a′1, . . . , a′n)∈Rn\ {(0, . . . ,0)}. On note (E′) l’´equation d´efinie par : (E′) : a′1x1+. . .+a′nxn= 0.
Montrer l’´equivalence :
(E′) est une ´equation deH ⇔ ∃λ∈R∗, (a′1, . . . , a′n) =λ(a1, . . . , an).
Indication : Pour ´etablir l’implication ⇒, on pourra s’appuyer sur les parties A, B et sur la question 4 de la partie C.
6. Soient u1= (1,0,1,0),u2= (1,1,1,1),u3= (−1,0,1,0). SoitH le sous-espace vectoriel deR4 engendr´e par les vecteursu1, u2, u3.
(a) D´emontrer queH est un hyperplan deR4. (b) D´eterminer une ´equation deH.
(c) D´eterminer toutes les ´equations deH.
Partie D : Intersection d’hyperplans de Rn 1. Soient H1 etH2deux hyperplans deRn.
(a) D´emontrer l’´equivalence :
H1=H2 ⇔ dim(H1∩H2) =n−1.
(b) Montrer que :
n−2≤dim(H1∩H2)≤n−1.
(c) Que dire de dim(H1∩H2) siH16=H2?
2. D´emontrer que pour toutp∈N≥2, pour tout (H1, . . . , Hp)p-uplet d’hyperplans de Rn : n−p≤dim(H1∩. . .∩Hp)≤n−1.
Indication : On pourra raisonner par r´ecurrence surp∈N≥2, au moins pour prouver la minoration de la dimension.
3. Le r´esultat de la question 3 a ´et´e ´etabli pour tout entier p∈N≥2. Expliquer pourquoi ce r´esultat n’est pas pertinent lorsque l’entierpest≪assez grand≫.
Dans la r´eponse, on pr´ecisera (bien sˆur) quel sens il convient de donner `a ≪assez grand≫ dans ce contexte.
4. Si H1, H2, H3sont trois hyperplans de R3, alors le r´esultat de la question 3 nous livre : dim(H1∩H2∩H3)∈ {0,1,2}.
(a) Donner trois hyperplansH1, H2, H3 deR3tels que dim(H1∩H2∩H3) = 2. Commenter.
(b) Donner trois hyperplansH1, H2, H3 deR3, deux `a deux distincts, tels que dim(H1∩H2∩H3) = 1.
Proposer une explication g´eom´etrique du fait que la dimension deH1∩H2∩H3 est 1.
(c) Donner trois hyperplansH1, H2, H3deR3tels que dim(H1∩H2∩H3) = 0. Proposer une explication g´eom´etrique du fait que l’intersectionH1∩H2∩H3 est r´eduite au singleton{(0,0,0)}.
Partie E : Ensemble solution d’un syst`eme lin´eaire homog`ene (SLH) d’inconnue dans Rn 1. Soit p ∈ N∗. Soit A = (aij) ∈ Mp,n(R). On note S le syst`eme lin´eaire homog`ene d’inconnue dans Rn
associ´e `aA, i.e.S d´esigne le syst`eme
a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn = 0 a31x1 + a32x2 + a33x3 + . . . + a3nxn = 0
... ... ... ... ...
ap1x1 + ap2x2 + ap3x3 + . . . + apnxn = 0 d’inconnue (x1, . . . , xn)∈Rn. SoitF l’ensemble solution deS.
(a) D´efinirpformes lin´eairesf1, . . . , fp surRn telles que :
F = Ker(f1)∩. . .∩Ker(fp).
Indication : On pourra s’appuyer sur la description des formes lin´eaires de Rn obtenue `a la question 3 de la partie A.
(b) En d´eduire queF est un sous-espace vectoriel deRn.
On demande ici de red´emontrer ce r´esultat du cours, en s’appuyant sur la question pr´ec´edente.
(c) i. Soitf la forme lin´eaire nulle surRn, i.e.f = 0L(Rn,R). Que vaut Ker(f) ? ii. `A l’aide de la question pr´ec´edente et de la partie D, prouver que :
n−p≤dim(F)≤n.
2. SoitS le syst`eme lin´eaire homog`ene d’inconnue (x1, x2, x3, x4)∈R4 associ´ee `a la matrice
A=
2 −1 1 5
2 9 3 −1
3 1 2 6
∈ M3,4(R).
SoitF l’ensemble solution deS.
(a) Expliciter le syst`emeS.
(b) Donner un encadrement de la dimension deF, sans r´esoudreS.
(c) D´eterminer une base deF.
(d) Pr´eciser la dimension deF.
Partie F : Un sous-espace vectoriel de Rn est l’ensemble solution d’un SLH d’inconnue dansRn 1. On consid`ere un sous-espace vectorielF deRnnon trivial (i.e. distinct du singleton{(0, . . . ,0)}et deRn).
(a) Soitpla dimension deF. Justifier que 1≤p≤n−1.
(b) i. Soit (u1, . . . , up) une base deF. Justifier qu’il existe (i1, . . . , in−p)∈J1, nKn−ptel que C= (u1, . . . , up, ei1, . . . , ein−p)
est une base deRn.
ii. Soitk∈J1, n−pK. La famille C´etant une base deRn, il existe une unique forme lin´eairegk sur Rn telle que :
gk(ul) = 0 pour toutl∈J1, pK;
gk(eik′) = 0 pour toutk′∈J1, n−pK\ {k}; gk(eik) = 1.
Soitu∈Rn, de coordonn´ees (y1, . . . , yp, z1, . . . , zn−p) dans la baseC. Montrer que : gk(u) =zk.
(c) i. Soitu∈Rn, de coordonn´ees (y1, . . . , yp, z1, . . . , zn−p) dans la baseC. Montrer que : u∈F ⇔ z1=. . .=zn−p= 0
⇔ u∈Ker(g1)∩. . .∩Ker(gn−p).
ii. Qu’en d´eduire quant aux ensemblesF et Ker(g1)∩. . .∩Ker(gn−p) ?
(d) Prouver queFest l’ensemble solution d’un syst`eme lin´eaire homog`ene d’inconnue dansRn, poss´edant n−plignes.
Indication : On pourra utiliser la question pr´ec´edente, ainsi que la description des formes lin´eaires de Rn obtenue `a la question 3 de la partie A.
2. Soient u1= (1,2,2,2,1) et u2= (3,1,1,1,3). SoitF = Vect(u1, u2).
(a) Montrer que (u1, u2) est une base deF.
(b) Donner un syst`eme lin´eaire homog`eneS d’inconnue dansR5 dontF est l’ensemble solution.
On pourra appliquer la construction expos´ee dans la question 1.(b).
Partie G : Description des sous-espaces vectoriels de Rn D´emontrer l’assertion suivante.
L’ensemble solution d’un syst`eme lin´eaire homog`ene d’inconnue dansRnest un
sous-espace vectoriel deRn. R´eciproquement, siF est un sous-espace vectoriel de Rn, alors il existe un syst`eme lin´eaire homog`ene d’inconnue dansRn dont F est l’ensemble solution.
Indication : On pourra citer des r´esultats pr´ec´edemment ´etablis dans ce probl`eme pour argumenter, mais pas uniquement. En effet, dans la partie F, les sous-espaces vectoriels {(0, . . . ,0)} et Rn de Rn ont ´et´e exclus de l’´etude.
