L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Devoir maison n˚5
Pour le mercredi 11 avril.
Exercice (185 de la feuille d’exercices n˚14) 1. Soient les matricesN =
0 1
0 0
etT =
2 1
0 2
. (a) CalculerNn, pour toutn∈N.
(b) En d´eduireTn, pour toutn∈N. 2. SoitA∈ M2(R) la matrice d´efinie par :
A=1 3
8 −4
1 4
.
(a) D´emontrer queAadmet une unique valeur propre λ∈R. On d´etermineraλ.
(b) D´eterminer l’unique vecteure01 deEλ dont la deuxi`eme composante est 1.
(c) D´eterminer l’unique vecteure02 deR2tel que :
(i) la premi`ere composante dee02 est 1 ; (ii) Ae02=e01+ 2e02.
(d) D´emontrer que la familleB0= (e01, e02) est une base deR2.
(e) Calculer la matrice de l’endomorphismeϕA deR2canoniquement associ´e `aAdans la baseB0. (f) D´emontrer qu’il existe une matriceP ∈ M2(R) inversible tel que :
A=P T P−1. (g) D´emontrer queAn =P TnP−1, pour toutn∈N∗. (h) CalculerAn, pour toutn∈N∗.
