L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Devoir maison n˚5
Pour le mercredi 22 juin.
Exercice d’analyse du sujet du concours A-TB 2011
Consid´erons la suite r´eelle (xn) d´efinit par :
x0∈]1,+∞[
∀n∈N xn+1=xn+ 1 + 1 xn−1. 1. Etude de la fonction´
(a) ´Etudier la fonctionf: x7→x+ 1 + 1 x−1.
Seul un tableau de variations avec les limites aux bornes est attendu.
(b) D´eterminer le signe de la fonctiong:x7→f(x)−x.
2. Etude de la suite´ (xn)
(a) Montrer que la suite (xn) est parfaitement d´efinie et `a valeurs dans ]1,+∞[.
(b) Montrer que la suite (xn) est croissante.
(c) Montrer que la suite (xn) diverge vers +∞.
3. Recherche d’un ´equivalent
(a) Montrer que pour tout entier natureln: xn≥n+ 1.
(b) Montrer que pour tout entier naturelnsup´erieur ou ´egal `a 2 : 0≤xn−xn−1−1≤ 1 n−1. (c) En d´eduire que pour tout entier naturelnsup´erieur ou ´egal `a 2 :
0≤xn−x1−(n−1)≤
n−1
X
k=1
1 k.
(d) Montrer que pour tout entier naturelk sup´erieur ou ´egal `a 2 : 1
k ≤ln(k)−ln(k−1), et en d´eduire que pour tout entier naturelnsup´erieur ou ´egal `a 2 :
n−1
X
k=1
1
k ≤1 + ln(n−1).
(e) Montrer alors que pour tout entier naturelnsup´erieur ou ´egal `a 2 : n+ 1≤xn ≤x1+n+ ln(n−1).
(f) En d´eduire la limite de la suitexn n
n∈N∗
.
