Devoir maison n°5
Fonction dérivée
À rendre pour le vendredi 27 février.
Le devoir peut se faire à deux.
Dans un cinéma, deux parties sont à des niveaux différents, le denivelé étant d’un mètre. On désire créer une rampe d’accès reliant les deux plates-formes.
4 m
1 m
b b
A
B
niveau supérieur
niveau inférieur
Un bureau d’études est chargé de trouver une solution dont le profil sera donné par la courbe d’une fonction.
On choisit le repère orthonormé dans lequelAetBont pour coordonnées respectives (0 ; 0) et (4 ; 1).
La courbe doit respecter les contraintes suivantes :
• elle doit passer par les pointsAetB
• les tangentes à la courbe en ces points doivent être horizontales
1. (a) Soitf une fonction définie et dérivable sur [0 ; 4]. On note f′sa dérivée.
Traduire les contraintes que doit respecter la courbe de f à l’aide def et de f′. (b) Déterminer les réelsa,b,cetdtels que la courbe de f définie par
f(x)=ax3+bx2+cx+d sur [0 ; 4] respecte les contraintes.
2. Pour la suite la fonction f sera celle obtenue à la question1bet sa courbe est notéeC.
Dans un repère orthonormé, la pente d’une courbe en un point est égale au coefficient direc- teur de la tangente à la courbe en ce point.
(a) Déterminer la pente maximale deC.
(b) Déterminer les coordonnées du pointK deC où ce maximum est atteint.
Que représenteK pour les pointsAetB?
(c) Déterminer l’angle de la rampe par rapport à l’horizontale enK à 0,1◦près.
(d) Déterminer l’équation de la tangenteDàC enK. (e) Étudier les positions relatives deDet deC sur [0 ; 4].
Indication à justifier :−321x3+163x2−38x+14=(x−2)¡
−321x2+18x−18¢ .
3. Représenter avec soin dans un repère d’unités graphiques 4 cm l’ensemble des éléments ren- contrés dans les questions précédentes (points, droites, courbe, angle, etc.).
