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Prénom : . . . . Devoir n
o10
Janv.2020 . . ./. . .
DS 05
Le soin et la rédaction seront pris en compte dans la notation.Faites des phrases claires et précises.
Le barème est approximatif. La calculatrice est autorisée.
Attention ! Le sujet est sur 3 pages.
Exercice 1 5 points
Je connais mon cours ! 2.5 pts 1
Conditions f(x) = F(x) = a∈R a ax+C x∈Retn∈N xn xn+1
n+ 1+C x∈]0; +∞[ 1
x2 −1 x+C x∈]0; +∞[ 1
√
x 2√ x+C x∈R cosx sinx+C x∈R sinx −cosx+C
2.5 pts 2 uest une fonction dérivable sur un intervalle I
Conditions f = F=
n∈Z\ {−1} un×u0 un+1 n+ 1+C u(x),0 surI u0
u2 −1 u+C u(x)>0 surI u0
√
u 2√
u+C u0×cosu sinu+C u0×sinu −cosu+C
Exercice 2 13 points
Calculer les primitives des fonctions suivantes : 1.5 pt 1 a(x) = 5x4+ 12x2−6x+ 1
Les primitives deasurRsont les fonctionsAdéfinies parA(x) =x5+ 4x3−3x2+x+C.
1.5 pt 2 b(x) =−1 x2+ 2
x4 On écritb(x) =− × 1
x2 + 2x−4, doncB(x) =1
x+ 2x−4+1
−4 + 1=1 x− 2
3x3
Les primitives debsur ]0; +∞[ sont les fonctionsBdéfinies parB(x) =1 x− 2
3x3+C.
2 pts 3 c(x) =4 3x+1
2− 4
√ x
2
Les primitives decsur ]0; +∞[ sont les fonctionsCdéfinies parC(x) =2 3x2+1
2x−8√ x+C. 2 pts 4 d(x) = (2x+ 9)4
• On poseu(x) = 2x+ 9
• u0(x) = 2
• d=u4×u0 2 =1
2u0u4.
• On déduit une primitiveD=1 2×u4+1
4 + 1=− 1 10u5
Les primitives dedsurRsont les fonctionsDdéfinies parD(x) = 1
10(2x+ 9)5+C.
2 pts 5 e(x) = 6x
√ x2+ 1
• On poseu(x) =x2+ 1
• u0(x) = 2x
• e=3u√ 0
u = 3×√u0 u.
• On déduit une primitiveE= 3×2√ u= 6√
u
Les primitives deesurRsont les fonctionsEdéfinies parE(x) = 6
√
x2+ 1 +C.
2 pts 6 f(x) =1
3cos(3x+ 7)
• On poseu(x) = 3x+ 7
• u0(x) = 3
• f =1 3×u0
3 ×cosu=1
9×u0cosu.
• On déduit une primitiveF=1 9×sinu
Les primitives def surRsont les fonctionsFdéfinies parF(x) =−1
9sin(3x+ 7) +C.
2 pts 7 h(x) = (x+ 2)(x2+ 4x+ 1)3
• On poseu(x) =x2+ 4x+ 1
• u0(x) = 2x+ 4 = 2(x+ 2) , doncx+ 2 =1 2u0(x)
• g=1 2u0u3.
• On déduit une primitiveG=1 2×u3+1
3 + 1=1 2×u4
4 =1 8u5
Les primitives dehsurRsont les fonctionsHdéfinies parH(x) = 1
8(x2+ 4x+ 1)4+C.
Exercice 3 3 points
Calculer les intégrales suivantes :1 pt 1 I= Z2
0
x3dx
• On posef(x) =x3
• Fune primitive def :F(x) =x4
• 4
I = Z2
0
x3dx
= Z2
0
f(x) dx
=F(2)−F(0)
=24 4 −0 = 4 I=
Z2 0
x3dx= 4
1 pt 2 J= Z1
0
2x+ 1 dx
• On posef(x) = 2x+ 1
• Fune primitive def :F(x) =x2+x
•
I = Z 1
0
2x+ 1 dx
= Z 1
0
f(x) dx
=F(1)−F(0)
= 12+ 1−0 = 2
I= Z1
0
2x+ 1 dx= 2
1 pt 3 J= Zπ
0
sin(x) dx
• On posef(x) = sin(x)
• Fune primitive def :F(x) =−cos(x)
•
I = Zπ
0
sin(x) dx
= Zπ
0
f(x) dx
=F(π)−F(0)
=−cos(π)−(−cos(0)) = 1 + 1 J=
Zπ 0
sin(x) dx= 2
Exercice 4 7 points
La courbeCde la figure est la courbe représentative, dans un repère orthogonal (unités graphiques :2 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées) d’une fonctionf définie sur I =[- 1,3]. La tangente àCau point d’abscisse 2 est parallèle à l’axe des abscisses, ainsi que celle au point d’abscisse 0.1 pt 1 À partir du graphique, construire le tableau de variation def. x
f0(x)
Variations de f
−1 0 2 3
+ 0 − 0 +
0 0
4 4
0 0
4 4
1.5 pt 2 Par lecture graphique, donner les valeurs def(0) ,f(−1) etf(1).
f(−1) = 0, f(0) = 4 etf(1) = 2
2 pts 3 On admet que la fonctionf est définie sur [−1,3] parf(x) =ax3+bx2+coùa, b, csont des constantes réelles à déterminer.À l’aide des résultats obtenus à la question 2., calculer la valeur des nombres réelsa, betc.
•
f(0) = 4 ⇐⇒ a×03+b×02+c= 4
⇐⇒ c= 4
•
f(1) = 2 ⇐⇒ a×13+b×12+c= 2
⇐⇒ a+b+ 4 = 2
⇐⇒ a+b=−2
•
f(−1) = 0 ⇐⇒ a×(−1)3+b×(−1)2+c= 2
⇐⇒ −a+b+ 4 = 0
⇐⇒ −a+b=−4 On résout le système
( a+b=−2
−a+b=−4 ⇐⇒
( a+b=−2 2b=−6
( b=−3 a=−2−b= 1 pour toutxde I, on af(x) =x3−3x2+ 4 2.5 pts 4 On admet par la suite, que pour toutxde I, on af(x) =x3−3x2+ 4.
Calculer la valeur exacte en cm2de l’aire de la partie du plan hachurée.
D’après le graphique, la fonctionf est positive sur [−1; 2], l’aire hachurée vaut donc : A =
Z2
−1
f(x) dx
=F(2)−F(−1) f(x) =x3−3x2+ 4 F(x) =x44−x3+ 4x F(2) =244−23+ 4×2
= 4−8 + 8 = 4
F(−1) =(−41)4−(−1)3+ 4×(−1)
=14+ 1−4 = 14−3 =14−12
4 =−11
4
A= = 4 +114 =274 A=274u.a., ici l’unité d’aire vaut 2 cm×1cm = 2cm2. A=274u.a.=274 ×2cm2= 13,5cm2
A= 13,5cm2
