I.1 - Rappels sur les fonctions de répartition

Probabilités - Chapitre 18

Variables aléatoires à densité

I - Variables aléatoires à densité

I.1 - Rappels sur les fonctions de répartition

Définition 1 : Fonction de répartition d’une variable aléatoire

SiXest une variable aléatoire, la fonction de répartition deXest la fonctionF_Xdéfinie surRpar :

∀x∈R, F_X(x)=P([X6^x]).

Proposition 1 : Caractérisation d’un fonction de répartition

Une fonctionF:R→Rest la fonction de répartition d’une variable aléatoireXsi et seulement si : 1. Fest croissante surR;

2. Fest continue à droite en tout point ;

3. Fadmet des limites en−∞et+∞et vérifie lim

x→−∞F_X(x)=0 et lim

x→+∞F_X(x)=1.

I.2 - Densité de probabilité

SoitXune variable aléatoire etF_Xsa fonction de répartition.

On dit queXestune variable aléatoire à densités’il existe une fonctionf_X:R→Rvérifiant : 1. f_Xest positive surR;

2. f_Xest continue surR, sauf éventuellement en un nombre fini de points ; 3.

Z_+∞

−∞

f_X(t) dtest convergente et Z_+∞

−∞

f_X(t) dt=1 ; 4. ∀x∈R,F_X(x)=

Zx

−∞

f_X(t) dt.

On dit alors que la fonctionf_Xestune densitéde la variable aléatoireX. Remarque 1

• La fonctionf_Xn’est pas unique c’est pourquoi on dit que c’estunedensité deX. En effet sigest une fonction égale àf_Xsauf en un nombre fini de points alorsgest aussi une densité deX.

• La fonction de répartition est une primitive de la densité.

Le théorème suivant permet de déterminer si une fonction f donnée est une densité de probabilité d’une variable à densitéX.

Théorème 1

Soitf:R→Rune fonction vérifiant : 1. fest positive surR;

2. fest continue surR, sauf éventuellement en un nombre fini de points ; 3.

Z_+∞

−∞

f(t) dtest convergente et Z_+∞

−∞

f(t) dt=1.

Probabilités : Chapitre 18 –1/5– Variables aléatoires à densité

Alors il existe une variable aléatoireXtelle quefsoit une densité de la variableX. On dit alors quef est unedensité de probabilité.

Méthode 1 : Obtenir la fonction de répartition à partir d’une densité Soitfune fonction réelle.

• On peut vérifier quefest une densité d’une variable aléatoireXen utilisant le théorème 1.

On la notera alorsf_X.

• Dans ce cas, la fonction de répartition deXest alors donnée par :

∀x∈R, F_X(x)= Zx

−∞

f_X(t) dt.

Exercice 1

Montrer que la fonctionfdéfinie surRparf(x)=







0 six<1 1

x² six>1est une densité de probabilité Exercice 2

Soitλ∈R^∗₌. Montrer que la fonctionfdéfinie surRpar : f(x)=

(λe^−λx six>0

0 six<0 est une densité de probabilité d’une variableX. Donner la fonction de répartition deX.

Exercice 3

Soitfla fonction définie par :

f(x)= (

xe^−x

2

2 six>⁰ 0 six<0 1. Montrer quef est une densité de probabilité.

2. La durée de vie d’un certain composant électronique est une variable aléatoireXdont une densité estf (on dit queXsuit laloi de Rayleigh)

(a) Déterminer la fonction de répartition deX, notéeF.

(b) Déterminer le réelµ, appelémédianedeX, tel queF(µ)=1 2.

3. On appellemodedeXtout réelxen lequelfatteint son maximum. Montrer queXa un seul mode M₀et le déterminer.

Probabilités : Chapitre 18 –2/5– Variables aléatoires à densité

I.3 - Caractérisation par la fonction de répartition

SiFest la fonction de répartition d’une variable à densitéXet sifest une densité deXalors :

• Fest continue surR.

• Fest de classeC¹sauf éventuellement en un nombre fini de points et lorsqueFest dérivable enx, F⁰(x)=f(x).

Le théorème suivant permet de déterminer si une fonctionFdonnée est la fonction de répartition d’une variable à densitéX.

Théorème 3

SoitFune fonction deRdansRvérifiant : 1. Fest une fonction continue surR;

2. FestC¹surRsauf en un nombre fini de points ; 3. Fest croissante surR;

4. lim

x→−∞F(x)=0 et lim

x→+∞F(x)=1.

Alors il existe une variable aléatoire à densitéXtelle queFsoit la fonction de répartition deX. De plus, sifest une fonction positive telle queF⁰(x)=f(x) en tout pointxoùFest dérivable, alorsf est une densité deX.

Méthode 2 : Obtenir une densité à partir de la fonction de répartition SoitFune fonction réelle.

• On peut vérifier queFla fonction de répartition d’une variable aléatoire à densitéXen utilisant le théorème 3.

• Dans ce cas, on obtient une densité deXen dérivant la fonctionF(quand c’est possible) : f_X(x)=F⁰(x).

Exercice 4

SoitFla fonction définie surRpar : F(x)=







0 six<2 1− 8

x³ six>^2.

1. Montrer queFest la fonction de répartition d’une variable à densitéZ. 2. Déterminer une densité deZ.

I.4 - Quelques propriétés

SoitXune variable aléatoire admettant une densitéf_X. On noteF_Xsa fonction de répartition.

1. Pour tout réelx, on a : P(X6^x)=

Z_x

−∞

f_X(t) dt=F_X(x) et P(X>^x)= Z_+∞

x

f_X(t) dt=1−FX(x) 2. Pour tout réelsaetbtels quea6^{b, on a :}

P(a6^X6^b)= Z_b

a

f_X(t) dt=F_X(b)−F_X(a) 3. Pour tout réela, on a :

P(X=a)=0

Probabilités : Chapitre 18 –3/5– Variables aléatoires à densité

Remarque 2

• Les probabilitésP(X6^x),P(X>^{x) etP(a}6^X6b) s’interprètent comme des aires sous la courbe représentative de la densitéf.

• On a : P(X<x)=P(X6^{x) et P(a}<X<b)=P(a6^X<b)=P(a<X6^b)=P(a6^X6^b).

• Contrairement aux variables discrètes, on a pour toutx∈R,P(X=x)=0. Ainsi la loi deXn’est pas donnée par les probabilitésP(X=x) mais plutôt par la fonction de répartition ou de la densité.

Exercice 5

SoientXetZles variables aléatoires définies dans les exercices 2 et 4. Calculer :

• P(X6²⁾

• P(Z<4)

• P(2<X6³⁾

• P(Z>⁰⁾

• P(X>¹⁾

• P(Z∈[−1, 3[)

II - Moments d’une variable aléatoire à densité

II.1 - Espérance

SoitXune variable aléatoire de densitéf. Si l’intégrale

Z_+∞

−∞

t f(t) dtestabsolument convergente, on dit queX admet une espérance, notée E(X) et on a :

E(X)= Z_+∞

−∞

t f(t) dt Exercice 6

• La variable aléatoireXdéfinie dans l’exercice 2 admet-elle une espérance ? Si oui, la calculer.

• Montrer que la fonctiongdéfinie surRpar : g(x)=

(0 six<1

1/x² six>¹est une densité d’une variable aléatoireX.Xadmet-elle une espérance ? Si oui, la calculer.

Théorème 4 : Linéarité de l’espérance

SoientXetYdeux variable aléatoire à densité admettant une espérance. Soientaetbdeux réels.

• Pour tous réelsaetb, on a : E(a X+b)=aE(X)+b.

• SiX+Y est une variable à densité alors elle admet une espérance et on a : E(X+Y)=E(X)+E(Y).

II.2 - Théorème de transfert et moment d’ordre

SoientXest une variable aléatoire de densitéf etϕune fonction continue surRsauf éventuelle- ment en un nombre fini de points.

Si l’intégrale Z_+∞

−∞ ϕ(t)fX(t) dtestabsolument convergente, alors la variable aléatoireϕ(X) admet une espérance et on a :

E(ϕ(X))= Z_+∞

−∞ ϕ(t)f_X(t) dt.

Exercice 7

SoitXla variable aléatoire définie dans l’exercice 2. La variablee^Xadmet-elle une d’espérance ?

Probabilités : Chapitre 18 –4/5– Variables aléatoires à densité

Définition 4

Soitr∈N^∗. Si l’intégrale Z_+∞

−∞

t^rf(t) dtest absolument convergente alors on dit queXadmet un moment d’ordrer, notéem_r(X) et on a : m_r(X)=E(X^r)=

Z_+∞

−∞

t^rf(t) dt.

II.3 - Variance et écart-type

Si la variable aléatoireXadmet une espérance et si la variable (X−E(X))²admet une espérance, on appellevariance deXle réel

V(X)=E¡

(X−E(X))²¢ Théorème 6

Une variable à densitéXadmet une variance ssiXadmet un moment d’ordre 2 et dans ce cas, on a :

V(X)=E(X²)−[E(X)]² Exercice 8

• La variable aléatoireXdéfinie dans l’exercice 2 admet-elle une variance ? Si oui, la calculer.

• SoitXune variable aléatoire de densitéfdéfinie surRpar : f(x)=

(0 six<1 2/x³ six>^1. Xadmet-elle une variance ? Si oui, la calculer.

Définition 6

SiXadmet une variance alorsV(X)>0. On appelle alorsécart-typele réelσ(X)=p V(X) Proposition 3

SoitXune variable à densité admettant une variance.

Alors pour tout réelsaetb,a X+badmet une variance et on a :V(a X+b)=a²V(X).

Définition 7

• SiXest une variable à densité telle queE(X)=0 on dit queXest une variable centrée.

• SiXest une variable à densité telle queσ(X)=1, on dit queXest une variable réduite.

• SiX admet une espérance et un écart-type non nul, la variableX^∗=X−E(X)

σ(X) est appeléela va- riable centrée réduite associée àX.

Probabilités : Chapitre 18 –5/5– Variables aléatoires à densité