I. RAPPELS DES FONCTIONS THERMODYNAMIQUES I.1. Concepts et Définitions

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Chapitre 1- I : Généralités sur la thermodynamique : RAPPELS ¹ Chapitre 1-I :

GENERALITES SUR LA THERMODYNAMIQUE

I. RAPPELS DES FONCTIONS THERMODYNAMIQUES I.1. Concepts et Définitions

La Thermodynamique joue un rôle fondamentale dans la connaissance du monde qui nous entoure, et notamment de ses évolutions. C’est une science qui permet de décrire, d'étudier et de quantifier le comportement thermique des corps subissant des transformations (évolutions, échanges) entre un système donné et l'extérieur. Elle a pour objet l'étude des phénomènes mécaniques (Forces pressantes, travail, pression…) couplées à des phénomènes thermiques (chaleur, température,…).

De façon plus générale, la thermodynamique s'intéresse à l'étude de l'énergie (en particulier l'énergie interne) et de ses transformations et correspond à une branche de la physique qui étudie plus exactement les mouvements de chaleur.

C'est au XIXe siècle, début de l'ère industrielle et des machines thermiques, que cette discipline a connu son essor à partir de la nécessité de produire de l’énergie en général et plus particulièrement de l’énergie travail. Elle permet en effet, de comprendre le comportement des machines thermiques, comme les machines à vapeur centrales, qui sont au cœur de la révolution industrielle. Depuis, la thermodynamique est devenue une discipline essentielle pour l'ingénieur.

L'étude thermodynamique des corps comprend notamment la conception et la validation de modèles du comportement thermique des corps, les équations d'état établies à partir de valeurs expérimentales. Elle permet, entre autres, d’étudier le fonctionnement et le bilan énergétique de celles-ci ainsi que les transferts de chaleur entre deux ou plusieurs corps.

Tout l’univers est régi par les quatre principes de la thermodynamique. L’énergétique du corps humain est l’application directe de ces principes à l’homme et à la femme.

En raison du caractère universel de ses principes fondamentaux, la thermodynamique a, par la suite, dépassé le cadre strict de l'étude des machines thermiques pour toucher à tous les domaines de la physique dans lesquels la chaleur joue un rôle déterminant (l’électromagnétisme, l’optique, l’électronique,…), ainsi que d'autres disciplines scientifiques (chimie, biologie,.etc.). Elle permet, entre autre, d’expliquer un certain nombre de phénomène complexes liés à l’être humain et à son milieu extérieur.

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Chapitre 1- I : Généralités sur la thermodynamique : RAPPELS ² Exemples :

1- dans les machines thermiques motrices, on assiste à une conversion de l’énergie chaleur en travail (moteur thermique, centrale thermique, centrale nucléaire etc .)

2- Dans les machines thermiques génératrices, on assiste à une conversion de l’énergie travail en énergie chaleur (machine frigorifique, pompe à chaleur, liquéfacteurs de gaz …)

3- En physique de l’atmosphère la thermodynamique explique le cycle de l’eau (évaporation, pluie, neige et grêle).

4- Le corps humain, considéré comme un système ouvert (avec entrées et sorties), échange, avec son environnement, de l’énergie (travail et chaleur) et de la masse sous forme de travail musculaire, métabolisme, nourriture , sudation respiration, etc. Il est le siège d’irréversibilités internes dues aux pertes provoquées par la dissipation énergétique dans les vaisseaux sanguins.

I.2. Principes généraux

La thermodynamique est basée sur quatre principes fondamentaux :

 Le principe zéro : concerne la notion d'équilibre thermique.

 Le premier principe ou principe d'équivalence : concerne le caractère conservatif de l'énergie.

 Le deuxième principe ou principe de Carnot : concerne la notion d'irréversibilité et le concept d'entropie.

 Le troisième principe ou principe de Nernst : concerne les propriétés de la matière au voisinage du zéro absolu.

I.3. Aspects descriptifs

La thermodynamique est susceptible d'être décrite à l’aide de deux aspects différents :

 l'aspect microscopique : s'intéresse aux propriétés de la matière à l'échelle moléculaire ou atomique en utilisant comme variables les grandeurs cinétiques des atomes ou des molécules individuelles (Pi ,vi ,Ei ...), Ei l’énergie cinétique de l’espèce i, vi son volume et Pi sa pression partielle.

Selon que l'on considère l'un ou l'autre de ces aspects, on distingue alors entre la Thermodynamique phénoménologique (classique) et la Thermodynamique Statistique.

La Thermodynamique phénoménologique n'a besoin d'aucune hypothèse sur la structure atomique de la matière, elle explique le comportement de la matière ou des systèmes en fonction de leurs variations d'énergie et d'entropie, elle ne cherche pas à élucider les mécanismes des transformations mais décrit uniquement les états initiaux et finaux des systèmes en évolution et dresse leurs bilans énergétiques.

La nature (réversible ou irréversible) de la transformation du système peut jouer un rôle important sur les énergies mises en jeu. La Thermodynamique qui nous intéresse se place à l'échelle macroscopique (observable).

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Chapitre 1- I : Généralités sur la thermodynamique : RAPPELS ³ La Thermodynamique Statistique par contre, cherche à expliquer l'origine et la signification des variables macroscopiques (P, T) et des notions de chaleur, de travail et d'entropie, en les reliant directement au mécanisme de l'agitation moléculaire. Ainsi, on explique les notions de température, de pression et de chaleur :

La température, par exemple, est reliée au degré d'agitation moléculaire de la matière. Si la vitesse vi des particules et donc leur énergie cinétique Ei augmente, alors le degré d'agitation thermique du milieu est plus grand. Au zéro absolu (0K ou -273°C), on conçoit que les atomes ou molécules occupent des positions figées dans l’espace.

Dans une enceinte fermée, les molécules d’un gaz se déplacent dans toutes les directions et tous les sens, elles n’ont aucune direction privilégiée.

En se basant sur des considérations statistiques et des calculs de probabilité, Boltzman avait montré que l'énergie cinétique de translation d'une molécule de masse m dans une direction donnée est proportionnelle à la température absolue T du gaz (voir plus loin) : m

2 C²

= 2 3kT k est la constante de Boltzman et C la vitesse moyenne de déplacement de la particule.

La pression : elle est due aux chocs des atomes ou molécules contre les parois du récipient, sa valeur augmente avec le taux d’agitation thermique du gaz et est proportionnelle au nombre de

molécules par unité de volume : P =

3

1n.m.C² n étant le nombre de molécules de gaz par unité de volume.

 L'aspect macroscopique ou phénoménologique : il vise à décrire et prévoir les phénomènes sans chercher à les expliquer. Ceci n’est possible qu'à la condition d’adopter un point de vue macroscopique, seuls les phénomènes étant alors pris en compte indépendamment de leur support matériel. Les variables et les grandeurs mises jeu telles que ( P, v, T, m...) ont précisément ce caractère macroscopique.

Dans ce cours, nous développerons uniquement la thermodynamique phénoménologique afin de montrer les applications pratiques et industrielles liées à cette démarche.

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Chapitre 1- I : Généralités sur la thermodynamique : RAPPELS ⁴

I.4. Système thermodynamique et état d'équilibre.

I.4.1. Définition d’un système

Un système thermodynamique est une partie de l’univers qui présente un intérêt particulier.

En général, c'est un corps ou ensemble d’éléments situés à l'intérieur d'une surface fermée réelle ou imaginaire appelée frontière.

Cette frontière, déformable ou indéformable, mobile ou fixe, le sépare de son environnement. Tout ce qui n’est pas le système constitue le milieu extérieur.

I.4.2. Interaction du système thermodynamique avec son environnement

Un système est constamment en interaction avec son milieu extérieur et peut échanger, à travers cette frontière, de la matière et/ou de l’énergie¹. Selon leurs échanges avec leur environnement, on peut distinguer trois catégories de systèmes :

Système fermé : Système qui échange de l’énergie (travail, chaleur…) avec le milieu extérieur mais pas de matière

Système ouvert : Système qui échange de l’énergie et de la matière avec l'extérieur.

Système Isolé :

Système qui n'échange rien avec l'extérieur (ni matière ni énergie).

I.4.3. Variables d’état d’un système thermodynamique

La thermodynamique s’attache à décrire le comportement d’un système lorsqu’il est le siège de plusieurs modifications à cause des échanges, avec le milieu extérieur, de la matière ou/et de l'énergie sous forme de travail ou de chaleur.

En mesurant certaines variables qui nous paraissent pertinentes (n, P, V, T, etc.), on arrive à caractériser l'état de ce système.

L'état thermodynamique du système est défini par l’ensemble des variables macroscopiques (n, T, P, V, C,...) indépendantes qui caractérisent son évolution et que l’on appelle variables d'état.

1 L’énergie échangée peut être sous forme mécanique, thermique, électrique, magnétique, chimique ou autre.

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Chapitre 1- I : Généralités sur la thermodynamique : RAPPELS ⁵ On distingue deux types de variables d’états dont le choix est fait selon la nature du problème posé : variables thermiques ou calorifiques.

I.4.3.1. variables thermiques :

Toute fonction dont la détermination ne fait intervenir que des mesures de mécanique et de la température. Exemple P, v et T ;

I.4.3.2. variables calorifiques :

Toute fonction dont la détermination exige, en plus des mesures de mécanique et de la température, des mesures d'énergie chaleur. exemple u, h, f, g, s ;

Ces variables peuvent être extensives ou intensives.

I.4.3.3. variables extensives :

Elles ont une signification quantitative et sont additives, proportionnelles à la quantité de matière. Les plus connues et les plus courantes sont la masse m, le nombre de moles n, le volume V, l’énergie interne U, l’enthalpie H; etc.

I.4.3.4. variables intensives :

Ce sont des grandeurs non additive, indépendantes de la quantité de matière. On peut citer la pression P, la température T, la masse volumique  et la concentration C comme étant les plus usuelles, la conductivité thermique K, la viscosité , etc.

Pour un système homogène, il peut être commode de ramener les variables extensives à l'unité de masse du système. On parle alors de grandeurs massiques (ou spécifiques), généralement notées en minuscules telles que :

- le volume massique : v = V/m en [m³/kg]

- l'énergie interne massique: u = U/m en [J/kg]

- l'enthalpie massique : h = H/m en [J/kg], etc. … Ces grandeurs sont reliées entre elles par des relations, exemple :

m = V ou m = V avec m le débit de masse, V le débit volumique.

On peut aussi les ramener à l’unité de matière (la mole) et on les appelle grandeurs molaires :

- le volume molaire : vml = V/n en [m³/mole]

- l'énergie interne molaire : uml = U/n en [J/mole]

- l'enthalpie molaire : hml = H/n en [J/mole], etc. …

Les variables sont en général définies localement. Ce n'est que si le système est homogène et uniforme que la position n'intervient pas.

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Chapitre 1- I : Généralités sur la thermodynamique : RAPPELS ⁶ I.4.4. Équilibre thermodynamique d’un système

Un système est dit en équilibre thermodynamique, si les variables d'état qui caractérisent son évolution ont des valeurs bien définies et constantes dans le temps. Une petite perturbation n’a pas de conséquence sur l’équilibre du système qui retourne à son état d’équilibre lorsque la perturbation cesse.

Pour qu’un système soit à l’équilibre, il faut que celui-ci soit d’abord à l’équilibre mécanique puis à l’équilibre thermique et chimique.

L’équilibre mécanique d’un solide exige que la résultante des forces appliquées au système soit nulle. Pour un liquide ou un gaz, il faut que la pression qui règne au sein du fluide soit partout la même et compense la réaction des parois.

L’équilibre thermique au sein d’un système exige que la température à l’intérieur du système soit uniforme à moins que certaines parties de ce système ne soient séparées par des parois parfaitement adiabatiques.

L’équilibre chimique est un équilibre dynamique, la composition de chaque phase est uniforme et constante dans le temps.

Dans certains cas, le système peut être en état d’équilibre métastable ne correspondant pas à un vrai état d’équilibre, dû à diverses raisons empêchant l’évolution spontanée vers un état d’équilibre. Une petite perturbation de nature appropriée peut alors entraîner une retour spontanée vers son état d’équilibre stable.

Remarque : la pression et la température d’un système ne sont définies que si celui-ci est en équilibre thermodynamique.

I.5. Notions de Température et de Pression

I.5.1. Notions de Température

L’être humain touchant un corps le considère comme chaud ou froid, mais il est incapable de différencier entre deux corps de températures voisines.

I.5.1.1 Principe zéro de la thermodynamique :

Considérons deux systèmes A et B initialement dans des états d’équilibre A1 et B1, mettons les en contact thermique, en général si A1 est différent de B1, les systèmes évoluent et tendent plus au moins rapidement vers des états d’équilibre finaux A2 et B2 : On dit que les deux systèmes A et B sont en équilibre thermique.

Notons que les états finaux A2 et B² ne sont généralement pas identiques (les volumes massiques sont différents, les pressions sont différentes ).

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Chapitre 1- I : Généralités sur la thermodynamique : RAPPELS ⁷ Énoncé du principe zéro :

Si deux systèmes thermodynamiques A et B sont en équilibre thermique avec un troisième C, ils sont eux même en équilibre thermique .

Le principe zéro est une loi empirique établie seulement par des observations expérimentales. Ce principe montre qu'il existe une grandeur commune caractéristique de l’évolution des trois systèmes A , B et C, cette grandeur c'est la température T.

On en déduit que tous les systèmes qui sont en équilibre thermique ont la même température. Inversement, deux systèmes qui ne sont pas en équilibre thermique ont des températures différentes.

Le principe zéro contribue à la définition de l'égalité, dans toute échelle de température et justifie l'utilisation des thermomètres, son énoncé a été jugé utile à une époque où les autres principes étaient déjà connus et numérotés, or logiquement il devait les précéder, d'où l’appellation zéro.

I.5.1.2 Échelles thermométriques et appareils de mesure de température

L’expérience montre qu’un très grand nombre de grandeurs physiques, ont des mesures dépendant de la température, par exemple : la dilatation d’un solides, d’un liquides ou d’un gaz, la résistance électrique d’un fil, etc.

Sous l’effet de la chaleur la plus part des corps se dilatent en longueur et en volume.

La longueur d’un fil par exemple dépend de la température puisque, si je chauffe le fil (je change ma sensation de toucher, je conclus que la température a varié) je constate que la longueur varie. La température peut être définie soit comme la valeur de la longueur elle-même, soit comme une fonction monotone arbitraire de cette longueur.

Il suit que pour rendre la notion de température quantitativement utilisable par chacun, il a fallu définir une échelle universelle, c’est à dire un thermomètre de référence, une grandeur thermométrique (longueur par exemple) et une fonction entre cette grandeur et la température.

La définition actuelle de l’échelle légale de température est le résultat de tâtonnements successifs. C’est pourquoi, de nos jours coexistent l’échelle Kelvin, l’échelle Celsius, l’échelle Fahrenheit, seule l’échelle Réaumur est tombée en désuétude (n’est plus utilisable).

ECHELLES THERMOMETRIQUES

On réalise n’importe quelle échelle de température de la manière suivante :

On choisit deux points fixes auxquels on attribue dans l’échelle considérée deux valeurs particulières. L’intervalle de température correspondant est appelé intervalle fondamental.

On divise cet intervalle en parties égales, chaque partie représente un degré de l’échelle thermométrique considérée.

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Chapitre 1- I : Généralités sur la thermodynamique : RAPPELS ⁸

ECHELLE DE REAUMUR :

Formée de 80 parties égales et ayant comme points fixes la fusion de la glace à 0°R et l’ébullition de l’eau sous la pression atmosphérique normale (760 mmHg) à 80°R.

ECHELLE DE FAHRENHEIT :

Formée de 180 parties égales et ayant comme points fixes la fusion de la glace à 32°F et l’ébullition de l’eau sous la pression atmosphérique à 212°F.

ECHELLE CENTESIMALE OU CELSIUS :

Formée de 100 parties égales et ayant comme points fixes la température de fusion de la glace (0°C) et la température d’ébullition de l’eau (100°C) sous la pression atmosphérique normale (1bar ou 1 atm).

ECHELLE KELVIN :

Cette échelle est définie à partir du second principe de la thermodynamique (voir plus loin) basé sur la relation de Carnot : Q1/T1 + Q2/T2 = 0 T2 = - T1 Q2/Q1

Cette relation montre qu’il suffit de se donner une température arbitraire T1 pour pouvoir connaître toutes les autres. L’échelle ainsi définie est donc une échelle à un seul point fixe.

On choisit le point triple de l’eau, point où sont en équilibre les trois phases liquide, solide et vapeur. On attribue à ce point fixe la température 273.16K. le Kelvin (K) étant l’unité avec laquelle on exprime la température thermodynamique.

Échelles thermométriques

La conférence internationale des poids et mesures (mai 1961), définit le degré Kelvin grâce à un seul point fixe, la température du point triple de l’eau : 273.15 K ; la température Celsius t est reliée à la température absolue T:

t (°C) = T (K) - 273.1500

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Chapitre 1- I : Généralités sur la thermodynamique : RAPPELS ⁹ I.5.1.3. APPAREILS DE MESURE DE TEMPÉRATURE

Les principaux thermomètres utilisés sont :

les thermomètres à mercure, à alcool et à gaz parfait : utilisent la variation du volume comme grandeur physique pour déterminer la température.

La thermistance, composée d’une résistance de platine : sa résistance électrique varie avec la température, la mesure de cette variation permet de déterminer la température.

les thermocouples utilisent un phénomène électrique. C’est un circuit composé de fils de métaux différents fixés bout à bout. Lorsque les deux jonctions sont à des températures différentes, il se crée une force électromotrice dans le circuit.

les pyromètres optiques utilisé pour la mesure des hautes températures basés sur la comparaison des luminances de deux sources de lumière.

1.5.2. Notion de Pression I.5.2.1 ; Définition

Dans le système d’unités internationales (SI), l’unité de la pression est le Pascal (Pa).

1 Pa = 1 N/m². D’autres unités sont utilisées en pratique : le bar (bar), l’atmosphère (atm) et le millimètre de mercure (mmHg).

1bar = 10⁵ Pa 1atm = 1.013 10⁵ Pa = 760 mmHg.

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Chapitre 1- I : Généralités sur la thermodynamique : RAPPELS ¹⁰ I.5.2.2. Loi Fondamentale de l’hydrostatique

La pression hydrostatique P (x, y, z) est une fonction scalaire définie par dF PdS

= où dF est la force appliquée à l’élément de surface ^dS de centre M (x, y, z).

Considérons un repère orthonormé directe (O,i,j,k)

dans le champ de pesanteur g =−g.k, l'axe Oz étant orienté vers le haut.

La variation d’altitude dz et la différence de pression dP s’exerçant sur les deux faces supérieure et inférieure d’une portion de volume élémentaire dx.dy.dz d’un fluide de masse volumique  en équilibre dans le champs de pesanteur

Bilan des forces : P=dm.g, F_x , F_x+dx , F_y, F_y+dy, F_z , F_z+dz Par projection sur les trois axes :







= +

= +

= +

0 dm.g - dz Fz - Fz

0 dy Fy - Fy

0 dx Fx - Fx







=

=

=

+ + +

dm.g .dx.dy P

- dy . dx . P

0 .dx.dz P

- dz . dx . P

0 .dy.dz P

- dz . dy . P

dz z z

dy y y

x x d x









=

=

=

=

+ + +

dx.dy.dz .

g . - dm.g - )dx.dy P

- (P

0 )dx.dz P

- (P

0 )dy.dz P

- (P

z dz z

y dy y

x x x d







=

=

=

.g.dz - dP

0 dP

0 dP

z y x



La pression reste constante suivant x et y ; elle varie uniquement en fonction de z.

La pression reste la même dans un plan horizontal, par contre, elle diminue avec l’altitude La relation fondamentale de la statique des fluides s'écrit donc :

dP = -gdz (Oz étant orienté vers le haut)

La pression P à une certaine altitude z dans une atmosphère de masse volumique  supposée constante où la pression atmosphérique au niveau de la mer vaut P0.

dP = -gdz  _P^PdP=- .g_0^zdz

0  en prenant P = P0 pour z = z0 = 0 Il vient P-P₀ =-.g(z-0) ou P= P₀ - .g.z

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Chapitre 1- I : Généralités sur la thermodynamique : RAPPELS ¹¹ I.5.2.3 Appareils de mesure de la pression

On distingue deux catégories d’appareils de mesure des pression : les baromètres et les manomètres.

Baromètres : un baromètre sert à mesurer la pression atmosphérique. Il y a le baromètre à mercure et le baromètre anéroïde.

Le baromètre à mercure est composé d’un tube vide plongeant dans une cuvette de mercure . A la pression atmosphérique normale correspond une hauteur de 760 mm Hg à 0°C sous l’accélération normale de la pesanteur (g = 9.8 m/s²).

Le baromètre anéroïde est formé d’une caisse cylindrique en cuivre, vide. La paroi supérieure de cette caisse , mince, déformable (sous l’effet de la pression

atmosphérique) est reliée à une aiguille mobile devant un cadrant gradué.

Manomètres : Un manomètre sert généralement à mesurer la différence entre la pression d’un fluide et la pression atmosphérique. Il y a le manomètre en forme de U et le manomètre de Bourdon.

le manomètre en forme de U est formé par un tube en

U contenant du mercure relié par l’une de ses extrémités à un système fermé fluide, l’autre extrémité est à l’air libre . (figure ci-contre)

En utilisant le principe de l’hydrostatique nous pouvons démontrer que la différence de pression en Pa est donnée par la relation :

P

– P

= P =  g h

où  est la masse volumique du liquide (Kg /m³), g l’accélération de la pesanteur (m / s²) et h la dénivellation du mercure de part et d’autre du fluide et de l’atmosphère.

Le manomètre de Bourdon, utilisé dans les stations d’essence, est composé d’un tube métallique courbé comme le montre la figure ci-contre. Ce tube se redresse lorsqu’il est soumis intérieurement à une pression d’un fluide. Le bout du tube est relié à une aiguille mobile devant un cadran.

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Chapitre 1- I : Généralités sur la thermodynamique : RAPPELS ¹² I.5.2.3 tension superficielle – Cas d’une surface plane.

La tension superficielle



I.6. Équations d'état – Fonctions d’état

I.6.1. Équations d'état

Une équation d'état ou encore loi d’état ou relation de comportement est une relation qui relie entre elles les différentes variables d'état d'un système. Lorsque ce dernier est en équilibre thermodynamique, les variables d’état ont des valeurs bien déterminées dans chaque phase. Ces variables ne sont pas toutes indépendantes.

Ainsi, un fluide uniforme au repos peut être caractérisé par sa pression P, son volume V et sa température T et vérifie une loi d'état de la forme : f(P,V,T) = 0.

Pour un milieu continu décrit entre autres par ses tenseurs des contraintes  et des déformations , on aura par exemple dans le cas élastique : f(,) = 0; thermoélastique : f(,,T) = 0; viscoélastique : f(,,) = 0 ; thermoviscoélastique : f(,,,T) = 0

Exemple :

Considérons un cylindre muni d’un piston et rempli d’un gaz, les parois du cylindre sont supposées parfaitement calorifugées. si l’on fait varier le volume du gaz, la pression et la température varient en même temps, le volume est donc une fonction de la température et de la pression :

v = f(P,T), P = f(v, T), T = f(P, v) ou encore f(P, v, T) = 0.

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Chapitre 1- I : Généralités sur la thermodynamique : RAPPELS ¹³ I.6.2. Relations Mathématiques

soit une phase, dont les variables d’état sont x, y, et z, l’équation d’état de la phase : f(x, y, z) =0 ou encore : x(y,z) ; y(x,z) et z(x,y)

on peut écrire alors : ) dz (1)

z ( x dy y)

dx x _{z y}

 + 



=  ) dz (2)

z ( y dx x) ( y

dy _{z x}

 + 



= 

on remplace (2) dans (1) : ) dz

z ( x dz z) ( y dx x) ( y y) ( x

dx _{z z x y}

 + 





 + 







= 

C-à-d : ) dz

z ( y y) ( x z) ( x dx x) ( y y) ( x

dx _{z z y z x}



 









 + 

 + 







= 

En identifiant membre à membre, on obtient :

0 z) ( y y) ( x z) ( x et 1 x) ( y y)

( x _{z z y z x} =





 + 



= 









On en déduit alors les deux relations suivantes :

1 x)

( z z) ( y y) ( x et x)

( y ) 1 y

( x _{z x y}

z

z =−















= 





I.6.3. Fonctions d'état

Une fonction d'état ou variable d’état, est une grandeur dont la valeur dépend de celle de chacune des variables d’état choisies pour décrire le système (P, T ou P, V…). Nous verrons que ces fonctions thermodynamiques (exemple l’énergie interne, enthalpie…) sont dans la plupart des cas, univoques (pour une valeur de la variable correspond une valeur et une seule de la fonction), continues et différenciables. Ce sont des fonction dont la forme différentielle est une différentielle totale exacte.

Une forme différentielle dy

y dx F x

dF ( F)_y ( )_x

 + 



=  = P(x,y) dx + Q(x,y) dy est dite

différentielle totale exacte si et seulement si : ^xy _y ^xy _x y Q x

P ) ( )

( ^{( , ) ( , )}



= 



 ou encore ( ) ( )

x y

F y

x

F ²

2





= 







L’intégrale de dF est, dans ce cas, égale à la différence des valeurs que prend la fonction F aux états 1 et 2 est : F(1,2) = ^{ét at}²

1 ét at

dF = F(x2,y2) - F(x1,y1)

L'accroissement de F entre les deux états 1 et 2 ne dépend que de l'état initial 1 et de l'état final 2.

Pour distinguer entre une différentielle totale et une forme différentielle quelconque on note :

: symbole pour une différentielle quelconque d: symbole pour une différentielle totale Nous noterons ainsi: W, Q, dU, dS, dH, etc.

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Chapitre 1- I : Généralités sur la thermodynamique : RAPPELS ¹⁴

I.7. Transformations thermodynamiques

Une transformation est un phénomène physique ou chimique qui produit la variation d’au moins une variable d’état du système. Elle se produit entre deux états d’équilibre : l’état initial (1) et l’état final (2).

I.7.1. Transformation réversible et irréversible

Au cours d'une transformation, les fonctions d’état qui caractérisent l’évolution du système varient jusqu’à ce que le système atteint un autre état d’équilibre. Le passage de l'état d'équilibre (1) à l'état d'équilibre (2) se déroule généralement hors équilibre. Lorsque le système évolue en restant, à chaque instant, très voisin d’un état d’équilibre, la transformation est dite quasi-statique (ou encore réversible) : les variables d’état restent à chaque instant, définies en première approximation.

I.7.2 Transformation ouverte ou fermée et Diagramme de Clapeyron

On distingue alors entre transformation ouverte (a) ou cyclique (b). Pour une transformation fermée ou cyclique, l’état final est identique à l’état initial.

Nous utilisons assez Souvent, des diagrammes pour représenter des transformations thermodynamiques. Le diagramme généralement utilisé, à ce stade, est le diagramme (P-v) de Clapeyron. Nous verrons plus tard d’autres diagrammes entropiques (T-s) et (h-s) par exemple.

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Chapitre 1- I : Généralités sur la thermodynamique : RAPPELS ¹⁵ I.7.3 Transformation quasi-statiques polytropes - Cas d’un Gaz Parfait

Considérons des transformations quasi-statiques qui sont facilement représentées dans les diagrammes précédents puisqu’il s’agit d’une succession infinie d’états d’équilibre :

- la transformation isochore (V = cte) - la transformation isobare (P = cte) - la transformation isotherme (T = cte) - la transformation adiabate (Q = 0).

Pour un gaz parfait f(P,V,T) = PV – nRT = 0

La transformation polytrope du genre PV^K = cte (ou encore P^1/K V = cte) résume l’ensemble des transformation décrites plus haut .

- la transformation isotherme (T = cte)  PV¹ = Cte  K= 1 - la transformation isobare (P = cte)  P V⁰ = Cte  K= 0 - la transformation adiabate (Q = 0).  PV^ = cte  K= 0 - la transformation isochore (V = cte)  P^1/ V = cte  K= 