GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS I) DÉFINITIONS Définition : Soit I une partie de

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GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS

I) DÉFINITIONS

Définition :

Soit I une partie de ℝ .

Une fonction f définie sur I est un procédé qui à tout x de I associe un et un seul réel y noté f (x).

I s’appelle l’ensemble de définition de f.

f(x) s’appelle l’image de x par f.

x s’appelle l'antécédent de y par f.

Notation : f : I  ℝ x f(x) Définition :

L’ensemble des points M ( x ; f(x) ) où x décrit I s’appelle la courbe représentative de f et y = f(x) s’appelle une équation de cette courbe.

.

Définition :

Deux fonctions sont égales ⇔ elles ont le même ensemble de définition I et pour tout x de I, f(x) = g(x)

II) EXTREMUM ( faire ex 1 feuille)

Soit f une fonction définie sur I et a et b deux éléments de I.

Définition :

f présente un maximum f(a) en a sur I si pour tout x de I , f(x)  f(a).

f présente un minimum f(b) en b sur I si pour tout x de I , f(x)  f(b).

Exemple :

x –5 –2 1 5 8

f(x) 8

–3

10

–4

9

10 est le maximum de f - 4 est le minimum de f.

-3 est le minimum de f sur [ -5;1]

III) SENS DE VARIATION ET PAPPELS DE SECONDE ( faire ex 2)

Définition :

Soit f définie sur un intervalle I.

f est croissante sur I signifie que pour tout couple ( a ; b ) de I avec a  b alors f(a)  f(b).

f est décroissante sur I signifie que pour tout couple ( a ; b ) de I avec a  b alors f(a)  f(b).

Fonctions de référence de seconde :

Si m > 0 alors x mx+p est croissante sur ℝ Si m < 0 alors x mx+p est décroissante sur ℝ Et leur représentation graphique est une droite

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x –∞ 0 +∞

x²

0

x –∞ 0 +∞

1 x

C'est une parabole

C'est une hyperbole Ex 3 p 40 ( comparaisons à l'aide des variations)

IV) LA FONCTION RACINE CARREE ( faire ex 3)

x 0 +∞



^x

0

13 p 50 ( antécédents) 15 p 50 (comparaison) 16 p 50 (encadrement) 17 – 18 p 50 (inéquations) 19 p 50 (équa ) ( faire ex 4)

Propriété :

Si x∈ [ 0 ; 1] alors x² x 



x . Si x ∈ [ 1 ; +∞[ alors



x  x  x². IV) LA FONCTION VALEUR ABSOLUE

Définition :

Sur une droite munie d'un repère ( O; I ), si x est l'abscisse de M alors on appelle valeur absolue de x le réel noté ∣x∣= OM

Exemples ∣– 2,7∣=2,7 et ∣5,6∣=5,6

Rq : sur une droite de repère (O;I) si A(a) et B(b) alors AB = ∣b – a∣ Propriété :

Pour tout réel x , ∣x∣0 , ∣– x∣=∣x∣ et



^x²^=∣^x^∣

Propriété :

Si x 0 alors ∣x∣=x et si x 0 alors ∣x∣=– x

0 1

1

x y

0 1

1

x y

0 1

1

x y

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D'après la propriété précédente on peut en déduire

x –∞ 0 +∞

∣x∣

0

22 p 50 (encadrement de v.a.) 23 p 50 (inéquation ∣x∣3... ) V) OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS ( faire ex 5)

Propriété :

Soit u une fonction définie sur I et k un réel.

Les fonctions u et u+k ont les mêmes variations sur I.

Ex 25 p 51 Propriété :

Soit u une fonction définie sur I

Si k > 0 alors u et ku ont les mêmes variations sur I.

Si k < 0 alors u et ku ont des variations contraires sur I.

Ex p 31 p 51 Propriété :

Soit u une fonction définie sur I telle que pour tout x de I, u(x) 0.

Les fonctions u et



u ont les mêmes variations.

Ex 32 p 51 Propriété :

Soit u une fonction définie sur I telle que pour tout x de I, u(x) ≠ 0 et u(x) garde le même signe.

Les fonctions u et 1

u ont des variations contraires.

Ex 34 p 51 Ex 72 p 60 - 81 p 62 (pb concrets) Propriété :

Soit u une fonction définie sur I telle que pour tout x de I, u(x) 0 alors u et u² ont les mêmes variations sur I.

Soit u une fonction définie sur I telle que pour tout x de I, u(x)  0 alors u et _u² ont des variations contraires sur I..

( faire ex 6 ) Propriété :

Si u et v sont croissantes sur I alors u + v est croissante sur I.

Si u et v sont décroissantes sur I alors u + v est décroissante sur I.

Démo : si a  b alors u(a)  u(b) et v(a)  v(b) donc u(a) + v(a)  u(b) + v(b)...

Rq : on ne peut rien conclure sur les variations de u + v si u et v ont des variations contraires.

Rq : on ne peut rien conclure sur les variations de u.v même si l’on connaît celles de u et v.

0 1

1

x y

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EXERCICES

Exercice 1 :

Tracer sur la calculatrice les courbes représentatives des fonctions définies par f(x) = x²8

x²2 et g(x) = – 8 x²4 Quelles conjectures pouvez-vous faire sur les extremums de ces fonctions?

Démontrer ces conjectures.

Exercice 2 :

1) Pour a < b, comparer f(a) et f(b) et en déduire le sens de variation de f si : a) f(x) = 2 x – 7

b) f(x) = - 3 x + 4

2) Soit la fonction f définie sur ℝ par f(x) = x².

Pour a  b, factoriser f(b) - f(a). En déduire les variations de f sur ] –∞;0] et sur [0;+∞[.

3) Soit la fonction f définie sur ℝ-{0} par f(x) = 1 x

Déterminer les variations de f sur ] –∞;0[ et sur ]0;+∞[.

Exercice 3 :

Pour 0ab , montrer que



^{b -}



^{a =}



^{b – a}b



a . En déduire les variations de la fonction x



^{x sur ℝ}⁺

Exercice 4 :

Soient les fonctions f, g et h définies sur ℝ⁺ par f(x) =



x , g(x) = x et h(x) = x² Etudier, sur ℝ⁺, la position relative des courbes représentatives de ces trois fonctions.

Exercice 5 :

1) a) Soit u une fonction croissante sur I et k un réel, déterminer les variations de la fonction u+k sur I b) Refaire la même question quand u est décroissante sur I.

2) a) Soit u une fonction croissante sur I et k un réel, déterminer les variations de la fonction k.u sur I b) Refaire la même question quand u est décroissante sur I.

3)

a) Soit u une fonction croissante sur I telle que pour tout x de I, u(x) 0.Déterminer les variations de



u sur I.

b) Refaire la même question quand u est décroissante sur I.

4)

a) Soit u une fonction croissante sur I telle que pour tout x de I, u(x) >0. Déterminer les variations de 1 u sur I.

b) Refaire la même question quand u est décroissante sur I.

c) Refaire les questions précédentes quand u(x)<0 sur I.

Exercice 6 :

a) Tracer sur la calculatrice les courbes représentatives des fonctions définies sur ℝ⁺ par : u (x) = x² v (x) = -6 x + 1 (u+v) (x) = x² - 6 x + 1 b) Tracer sur la calculatrice les courbes représentatives des fonctions définies sur ℝ par :

u (x) = x v (x) = 3 x + 2 (u.v) (x) =3 x² +2 x