GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS
I) DÉFINITIONS
Définition :
Soit I une partie de ℝ .
Une fonction f définie sur I est un procédé qui à tout x de I associe un et un seul réel y noté f (x).
I s’appelle l’ensemble de définition de f.
f(x) s’appelle l’image de x par f.
x s’appelle l'antécédent de y par f.
Notation : f : I ℝ x f(x) Définition :
L’ensemble des points M ( x ; f(x) ) où x décrit I s’appelle la courbe représentative de f et y = f(x) s’appelle une équation de cette courbe.
.
Définition :
Deux fonctions sont égales ⇔ elles ont le même ensemble de définition I et pour tout x de I, f(x) = g(x)
II) EXTREMUM ( faire ex 1 feuille)
Soit f une fonction définie sur I et a et b deux éléments de I.
Définition :
f présente un maximum f(a) en a sur I si pour tout x de I , f(x) f(a).
f présente un minimum f(b) en b sur I si pour tout x de I , f(x) f(b).
Exemple :
x –5 –2 1 5 8
f(x) 8
–3
10
–4
9
10 est le maximum de f - 4 est le minimum de f.
-3 est le minimum de f sur [ -5;1]
III) SENS DE VARIATION ET PAPPELS DE SECONDE ( faire ex 2)
Définition :
Soit f définie sur un intervalle I.
f est croissante sur I signifie que pour tout couple ( a ; b ) de I avec a b alors f(a) f(b).
f est décroissante sur I signifie que pour tout couple ( a ; b ) de I avec a b alors f(a) f(b).
Fonctions de référence de seconde :
Si m > 0 alors x mx+p est croissante sur ℝ Si m < 0 alors x mx+p est décroissante sur ℝ Et leur représentation graphique est une droite
x –∞ 0 +∞
x2
0
x –∞ 0 +∞
1 x
C'est une parabole
C'est une hyperbole Ex 3 p 40 ( comparaisons à l'aide des variations)
IV) LA FONCTION RACINE CARREE ( faire ex 3)
x 0 +∞
x0
13 p 50 ( antécédents) 15 p 50 (comparaison) 16 p 50 (encadrement) 17 – 18 p 50 (inéquations) 19 p 50 (équa ) ( faire ex 4)
Propriété :
Si x∈ [ 0 ; 1] alors x2 x
x . Si x ∈ [ 1 ; +∞[ alors
x x x2. IV) LA FONCTION VALEUR ABSOLUEDéfinition :
Sur une droite munie d'un repère ( O; I ), si x est l'abscisse de M alors on appelle valeur absolue de x le réel noté ∣x∣= OM
Exemples ∣– 2,7∣=2,7 et ∣5,6∣=5,6
Rq : sur une droite de repère (O;I) si A(a) et B(b) alors AB = ∣b – a∣ Propriété :
Pour tout réel x , ∣x∣0 , ∣– x∣=∣x∣ et
x2=∣x∣Propriété :
Si x 0 alors ∣x∣=x et si x 0 alors ∣x∣=– x
0 1
1
x y
0 1
1
x y
0 1
1
x y
D'après la propriété précédente on peut en déduire
x –∞ 0 +∞
∣x∣
0
22 p 50 (encadrement de v.a.) 23 p 50 (inéquation ∣x∣3... ) V) OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS ( faire ex 5)
Propriété :
Soit u une fonction définie sur I et k un réel.
Les fonctions u et u+k ont les mêmes variations sur I.
Ex 25 p 51 Propriété :
Soit u une fonction définie sur I
Si k > 0 alors u et ku ont les mêmes variations sur I.
Si k < 0 alors u et ku ont des variations contraires sur I.
Ex p 31 p 51 Propriété :
Soit u une fonction définie sur I telle que pour tout x de I, u(x) 0.
Les fonctions u et
u ont les mêmes variations.Ex 32 p 51 Propriété :
Soit u une fonction définie sur I telle que pour tout x de I, u(x) ≠ 0 et u(x) garde le même signe.
Les fonctions u et 1
u ont des variations contraires.
Ex 34 p 51 Ex 72 p 60 - 81 p 62 (pb concrets) Propriété :
Soit u une fonction définie sur I telle que pour tout x de I, u(x) 0 alors u et u2 ont les mêmes variations sur I.
Soit u une fonction définie sur I telle que pour tout x de I, u(x) 0 alors u et u2 ont des variations contraires sur I..
( faire ex 6 ) Propriété :
Si u et v sont croissantes sur I alors u + v est croissante sur I.
Si u et v sont décroissantes sur I alors u + v est décroissante sur I.
Démo : si a b alors u(a) u(b) et v(a) v(b) donc u(a) + v(a) u(b) + v(b)...
Rq : on ne peut rien conclure sur les variations de u + v si u et v ont des variations contraires.
Rq : on ne peut rien conclure sur les variations de u.v même si l’on connaît celles de u et v.
0 1
1
x y
EXERCICES
Exercice 1 :
Tracer sur la calculatrice les courbes représentatives des fonctions définies par f(x) = x28
x22 et g(x) = – 8 x24 Quelles conjectures pouvez-vous faire sur les extremums de ces fonctions?
Démontrer ces conjectures.
Exercice 2 :
1) Pour a < b, comparer f(a) et f(b) et en déduire le sens de variation de f si : a) f(x) = 2 x – 7
b) f(x) = - 3 x + 4
2) Soit la fonction f définie sur ℝ par f(x) = x2.
Pour a b, factoriser f(b) - f(a). En déduire les variations de f sur ] –∞;0] et sur [0;+∞[.
3) Soit la fonction f définie sur ℝ-{0} par f(x) = 1 x
Déterminer les variations de f sur ] –∞;0[ et sur ]0;+∞[.
Exercice 3 :
Pour 0ab , montrer que
b -
a =
b – ab
a . En déduire les variations de la fonction x
x sur ℝ+Exercice 4 :
Soient les fonctions f, g et h définies sur ℝ+ par f(x) =
x , g(x) = x et h(x) = x2 Etudier, sur ℝ+, la position relative des courbes représentatives de ces trois fonctions.Exercice 5 :
1) a) Soit u une fonction croissante sur I et k un réel, déterminer les variations de la fonction u+k sur I b) Refaire la même question quand u est décroissante sur I.
2) a) Soit u une fonction croissante sur I et k un réel, déterminer les variations de la fonction k.u sur I b) Refaire la même question quand u est décroissante sur I.
3)
a) Soit u une fonction croissante sur I telle que pour tout x de I, u(x) 0.Déterminer les variations de
u sur I.b) Refaire la même question quand u est décroissante sur I.
4)
a) Soit u une fonction croissante sur I telle que pour tout x de I, u(x) >0. Déterminer les variations de 1 u sur I.
b) Refaire la même question quand u est décroissante sur I.
c) Refaire les questions précédentes quand u(x)<0 sur I.
Exercice 6 :
a) Tracer sur la calculatrice les courbes représentatives des fonctions définies sur ℝ+ par : u (x) = x2 v (x) = -6 x + 1 (u+v) (x) = x2 - 6 x + 1 b) Tracer sur la calculatrice les courbes représentatives des fonctions définies sur ℝ par :
u (x) = x v (x) = 3 x + 2 (u.v) (x) =3 x2 +2 x